高中数学定积分习题


专题三:定积分 1、定积分的概念 说明: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [a, b] 上可积,则

?
3、常用定积分公式 ⑴ ? 0dx ? c ( c 为常数)
1 ⑷ ? dx ? ln x ? c x

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) ,

b

【其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数,因为 ? F ( x) ? C ?? ? F ?( x) ? f ( x) 】
x? ?1 ? c (? ? ?1) ? ?1

⑵ ? 1dx ? x ? c

⑶ ? x? dx ?

⑸ ? e dx ? e ? c
x x

ax ? c (a ? 0, a ? 1) ⑹ ? a dx ? ln a
x

⑺ ? sin xdx ? ? cos x ? c

⑻ ? cos xdx ? sin x ? c ⑽ ? cos axdx ?
b

1 ⑼ ? sin axdx ? ? cos ax ? c (a ? 0) a 4、定积分的性质

1 sin ax ? c (a ? 0) a
b b

⑴ ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k 为常数) ;
a a
b c b

b

b

⑵ ? f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a a

⑶ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b) ; a a c ⑷利用函数的奇偶性求定积分 :若 f ( x) 是 [?a, a] 上的奇函数,则 ? f ( x )dx ? 0 ;若 f ( x) 是 [?a, a] 上的 ?a 偶函数,则 ? f (x)dx ? 2? f (x)dx .
?a 0 a a
a

5、定积分的几何意义 定积分 ? f ( x)dx 表示在区间 [a, b] 上的曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a 、 x ? b 以及 x 轴所围成的平面
a b

图形(曲边梯形)的面积的代数和,即 ? f ( x)dx ? S x轴上方-S x轴下方 .(在 x 轴上方的面积取正号,在
a

b

x 轴下方的面积取负号) 6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像; ⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; ⑶写出定积分表达式; ⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.

1

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题
班级:__________ 姓名:__________ 学号:__________

一、选择题
1.(2010· 山东日照模考)a=?2xdx,b=?2exdx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是( ?0 ?0 ?0 A.a<c<b B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b ) )

2.(2010· 山东理,7)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A.12 1 B.4 1 C.3 7 D.12

同类题;(2010· 湖南师大附中)设点 P 在曲线 y=x2 上从原点到 A(2,4)移动, 如果把由直线 OP, 直线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别记作 S1,S2.如图所示,当 S1=S2 时,点 P 的坐标 是( ) ?4 16? B.?5, 9 ? ? ? ?4 15? C.?3, 7 ? ? ? ?4 13? D.?5, 7 ? ? ? )

?4 16? A.?3, 9 ? ? ?

3.由三条直线 x=0、x=2、y=0 和曲线 y=x3 所围成的图形的面积为( A.4 4 B.3 18 C. 5 D.6 )

4.(2010· 湖南省考试院调研)?1-1(sinx+1)dx 的值为( ? A.0 B.2

C.2+2cos1 )

D.2-2cos1

5.曲线 y=cosx(0≤x≤2π)与直线 y=1 所围成的图形面积是( A.2π B.3π 3π C. 2 )

D.π

6.函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上( ?0 A.有最大值 0,无最小值 32 C.有最小值- 3 ,无最大值

32 B.有最大值 0 和最小值- 3 D.既无最大值也无最小值

1 7.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n,函数 f(x)=?x t dt,若 f(x)<a3,则 x 的取值范围是 ?1 ( ) ? 3 ? A.? ,+∞? ?6 ? B.(0,e21) C.(e-11,e) D.(0,e11)

8. (2010· 福建厦门一中)如图所示, 在一个长为 π, 宽为 2 的矩形 OABC 内, 曲线 y=sinx(0≤x≤π) 与 x 轴围成如图所示的阴影部分, 向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一
2

点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是(

)

1 A.π

2 B.π

3 C.π

π D.4 的图象与 x 轴所围成的图形面积 S 为( )

x+2?-2≤x<0? ? ? 9.(2010· 吉林质检)函数 f(x)=? π 2cosx?0≤x≤2? ? ? 3 A.2 B.1 C.4 1 D.2

10.(2010· 沈阳二十中)设函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[-1.2]=-2, x [1.2]=1,[1]=1.又函数 g(x)=-3,f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m,f(x)与 g(x)的图象 交点的个数记为 n,则?n g(x)dx 的值是( ?m 5 A.-2 4 B.-3 ) 5 C.-4 7 D.-6

11.(2010· 江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛,比赛规则如下:甲从区间[0,1]上随机 等可能地抽取一个实数记为 b,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 c(b、c 可以 相等),若关于 x 的方程 x2+2bx+c=0 有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比赛中甲 获胜的概率为( 1 A.3 2 B.3 ) 1 C.2 3 D.4

12. (2010· 吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为 O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1), 曲线 y=x2(x≥0) 与 x 轴,直线 x=1 构成区域 M,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点落在区域 M 内 的概率是( 1 A.2 ) 1 B.4 1 C.3 2 D.5

二、填空题
13.(2010· 芜湖十二中)已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若?1-1f(x)dx=2f(a) ? 成立,则 a=________. π 1 14.已知 a=∫20(sinx+cosx)dx,则二项式(a x- )6 的展开式中含 x2 项的系数是________. x 15.抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________.
3

4 16.(2010· 安徽合肥质检)抛物线 y2=ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为3,若直线 l 与抛物线相切且平行于直线 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. 17.(2010· 福建福州市)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原 点处相切,且 x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 1 12,则 a 的值为________.

三、解答题
18.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定 t 的值,使图中阴影部分的面 积 S1+S2 最小.

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