高二期中考试数学试题

2010 年下期高二年级第二次考试
数学试卷(汉班理科)

时量:120 分钟 分值:150 分 命题人:廖再思

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的)

1.平面内两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点 P 的轨

迹是以 A.B 为焦点的椭圆”,那么

(B)

A.甲是乙成立的充分不必要条件

B.甲是乙成立的必要不充分条件

C.甲是乙成立的充要条件

D.甲是乙成立的非充分非必要条件

2.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程是( A ) 49

A. y ? ? 3 x 2
3.下列四个结论:C

B. y ? ? 2 x 3

C. y ? ? 9 x 4

D. y ? ? 4 x 9

①若 p :2 是偶数, q :3 不是质数,那么 p ? q 是真命题;

②若 p :? 是无理数, q :? 是有理数,那么 p ? q 是真命题;

③若 p :2>3, q :8+7=15,那么 p ? q 是真命题;

④若 p :每个二次函数的图象都与 x 轴相交,那么 ?p 是真命题;

其中正确结论的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

4.与曲线 x 2 ? y 2 ? 1共焦点,而与曲线 x 2 ? y 2 ? 1 共渐近线的双曲线方程为( A )

24 49

36 64

A. y 2 ? x 2 ? 1 16 9

B. x 2 ? y 2 ? 1 16 9

C. y 2 ? x 2 ? 1 9 16

D. x 2 ? y 2 ? 1 9 16

5. 椭圆 mx2 ? ny2 ? 1 与直线 y ? ?x ?1 相交于 A,B 两点,过原点和线段 AB 中点的

2m 直线斜率为 2 ,则 n 的值是

(B)

A. 2

2 B. 2

3 C. 2

3 D. 9

6.若椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1、F2,线段

F1F2 被抛物线

y2=2bx



焦点分成 5∶3 的两段,则此椭圆的离心率为

(D)

A. 16 17

B. 4 17
17

C. 4 5

D. 2 5 5

7. 已知点 P 是抛物线 y 2 = 2x 上的动点,点 p 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是 A?? 7 ,4?? , ?2 ?

则| PA | + | PM |的最小值是

A. 11 2

B.4

C. 9 2

D.5

(C)

8.一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF1 (F 1 为椭圆的

左焦点)是该圆的切线,则椭圆的离心率为

(C)

A. 1 2

B. 2 2

C. 3 2

D. 3 ?1

9.当 0 ? k ? 1 时,方程 1 ? x ? kx的解的个数是 2

(D)

A.0

B.1

C.2

D.3

10.已知椭圆 E 的离心率为 e,两焦点为 F1,F2. 抛物线 C 以 F1 为顶点,F2 为焦点.P 为两

曲线的一个交点.若 PF1 ? e ,则 e 的值为 PF2

(A)

A. 3

B. 3

C. 2

3

2

2

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

D. 6
3

11. 命题“ ?x0 ? R, x02 ?1 ? 0. ”的否定为:

?x ? R, x2 ?1 ? 0



12.若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△A BC 的形状是锐角三角形

13.已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1( a ? 0,b ? 0 )有相同的焦点 F1、F2、P

mn

ab

是两曲线的一个交点,则 PF1 ? PF2 等于 m ? a

.

14. 过 抛 物 线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 作 一 条 直 线 交 抛 物 线 于

A? x1, y1 ? , B? x2, y2 ?

,则 x1x2 为___ ? 1 ___.

y1 y2

4

15.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱

CC1 的中点,则异面直线 AB1和BM 所成的角的大小是



三、解答题:(本大题共 6 小题,75 分)

16.(10 分)求与双曲线 x2 ? y2 ? 1 有共同的渐近线,并且经过点 ( 3, ?4) 的双曲线方程. 93

解:由题意可设所求双曲线方程为: x2 ? y2 ? ? ?? ? 0?
93

Q 双曲线经过点 ( 3, ?4) ? ? ? ( 3)2 ? (?4)2 ? ?5

9

3

?所求双曲线方程为: y2 ? x2 ? 1
15 45

17.给定两个命题, P :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ?1 ? 0 恒成立; Q :关于 x 的方程

x2 ? x ? a ? 0 有实数根.如果 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

解:对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ?1 ? 0 恒成立

?

a

?

0或????a

? ?

0 0

?

0

?

a

?

4



关于 x 的方程 x2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? 1 ; 4

P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,即 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真,

如果 P 真 Q 假,则有 0 ? a ? 4,且a ? 1 ? 1 ? a ? 4 ; 44

?a ? 0或a ? 4

如果

P



Q

真,则有

? ???a

?

1 4

,? a ? 0.

所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ?? 1 ,4?? .
?4 ?
18.(12 分)如图,已知 Rt?PAB 的直角顶点为 B ,点 P(3, 0) ,点 B 在 y 轴上,点 A 在 x

轴负半轴上,在 BA 的延长线上取一点 C ,使 AC ? 2 AB .

(1)在 y 轴上移动时,求动点 C 的轨迹 C ;

(2)若直线 l : y ? k(x ?1) 与轨迹 C 交于 M 、 N 两点, 设点 D(?1, 0) ,当 ?MDN 为锐角时,求 k 的取值范围.

解:设 C(x,

y),

A(a, 0),

B(0, b),Q

k AB

?

?

b a

, kBP

?

?

b ,?? 3

b a

? (?

b) 3

?

?1,即b2

?

?3a.

(2)令

M (x1,

y1), N (x2 ,

y2 ), kMD

?

y1 x1 ?

1

,

k

ND

?

y2 , x2 ?1



y ? k(x ?1)代入y2 ? ?4x,

得k 2 x2

? (4 ? 2k 2 )x ? k 2

? 0,? x1

?

x2

?

2k 2 ? 4 k 2 , x1x2

? 1,

y1 y2

?

4



结合图形可得 ?1 ? k ? ? 2 或 2 ? k ? 1. 22

19.(12 分)已知直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 相切于点 T,且与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 相交于

A、B 两点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程. 解:直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x ? ky ? a 代入双曲线方程 整理得

(k 2 ?1) y 2 ? 2kay ? a 2 ?1 ? 0

而 k 2 ?1 ? 0 ,于是

yT

?

yA

? 2

yB

? ? ak k2 ?1

从而 xT

? kyT

?a?? a k2 ?1



T ( ak , a ) 1? k2 1? k2

? 点 T 在圆上 ?( ak )2 ? ( a )2 ? 2a ? 0 即 k 2 ? a ? 2



1? k2

1? k2 1? k2

由圆心 O?(?1,0) . O?T ? l 得 kO?T ? kl ? ?1

则 k ? 0 或 k 2 ? 2a ?1

当 k ? 0 时,由①得 a ? ?2, ?l 的方程为 x ? ?2 ;

当 k 2 ? 2a ?1 时 , 由 ① 得 a ? 1 K ? ? 3,?l 的 方 程 为 x ? ? 3y ? 1 . 故 所 求 直 线 l 的 方 程 为 x ? ?2 或

x ? ? 3y ? 1 …………………………8 分
20.(12 分)四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DD,
且 ?DAB ? 90?, PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC= 1 AB=1,M 是 PB 的中点.
2
(Ⅰ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅱ)求二面角 A-MC-B 的平面角的余弦值.
(Ⅰ) ? AC与PB所成的角为arccos 10 . 5
(Ⅱ) ? 2 3
21.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中
AB ? 4, BC ? 2,CC1 ? 3, BE ? 1. (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.
解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0, 0, 0) ,

B(2, 4, 0) A(2, 0, 0),C(0, 4, 0), E(2, 4,1),C1(0, 4,3) 设 F(0, 0, z) .

∵ AEC1F 为平行四边形,

(II)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量,

又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为? ,则 ∴ C 到平面 AEC1F 的距离为

22.已知椭圆

x2 2

?

y2

?1



(1)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程。

(2)过 A(2,1)的直线 L 与椭圆相交,求 L 被截得的弦的中点轨迹方程;

(3)过点 P(0.5,0.5)且被 P 点平分的弦所在直线的方程。 解(1)设这些平行弦的方程为 y=2x+m,弦的中点为 M(x,y).

联立直线方程和椭圆方程:y=2x+m,

x2 2

?

y2

? 1 消去 y 得,

9x2 ? 8mx ? 2(m2 ?1) ? 0 ,

因此

x1

?

x2

=-

8 9

m

,

?

?

64m2

? 72(m2

?1)

?

72

?

8m2

?

0,??3

?

m

?

3

.

M 的坐标是:x= ? 4 m ,y=2x+m, ?3 ? m ? 3 ,消去 m 得:y= ? 1 x,? 4 ? x ? 4 .

9

43

3

(2)设弦的端点为 P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 ),其中点是 M(x,y).

因此:

y ?1 x?2

=?

x 2y

,化简得:

x2

? 2x

? 2y2

?2y

?

0

(去除包含在椭圆

x2 2

?

y2

?1

内部的部

分).

(3)由(2)可得弦所在直线的斜率为 k= ? x = ? 1 ,因此所求直线方程是: 2y 2

y- ? 1 =- 1 (x- 1 ),化简得:2x+4y-3=0. 22 2
23.(本小题满分 10 分)A、B、C 是我军三个炮兵阵地,A 在 B 的正东方向相距 6 千米,

C 在 B 的北 30°西方向,相距 4 千米,P 为敌炮阵地.某时刻,A 发现敌炮阵地的某信号,由于 B、

C 比 A 距 P 更远,因此,4 秒后,B、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒 1

千米).若从 A 炮击敌阵地 P,求炮击的方位角.

解 : 以 线 段 AB 的 中 点 为 原 点 , 正 东 方 向 为 x 轴 的 正 方 向 建 立 直 角 坐 标 系 , 则

A(3,0) B(?3,0) C(?5,2 3) 依题意 PB ? PA ? 4 ? P 在以 A、B 为焦点的双曲

线的右支上.这里 a ? 2 ,c ?3 ,b2 ? 5.其方程为 x 2 ? y 2 ? 1 (x ? 0) 45

又 PB ? PC ? P 又在线段 AB 的垂直平分线上 x ? 3y ? 7 ? 0

? ? 由方程组

??x ?

? ??5

x

2

3y ? ? 4y2

7?0 ? 20

解得

??x ? 8(负值舍去) ???y ? 5 3

即 P 8,5 3

由于 k AP ? 3 ,可知 P 在北 30°东方向. 24.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面
AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2,CC1 ? 3, BE ? 1. (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0, 0, 0) ,

B(2, 4, 0) A(2, 0, 0),C(0, 4, 0), E(2, 4,1),C1(0, 4,3) 设 F(0, 0, z) .

∵ AEC1F 为平行四边形, (II)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量, 又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为? ,则 ∴ C 到平面 AEC1F 的距离为


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