江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学试卷答案

江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学试卷

参考答案与试题解析

一. 选择题

BCADC 二.填空题
13.5 三.解答题

BBDBA

CA

14.3 15. 1

16.

6

17,解:(1)由已知及正弦定理得

…………………………2 分

因为

,所以

,即 sin(A+

,

…………………………4 分

因为

,,

( , ),所以

,所以 A=

…………………………6 分

( 2 ) 以 AB , AC 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABEC , 在 △ ACE 中 , .………………………………………………8 分
由余弦定理得 AE2=AC2+CE2﹣2AC?CE?cos120°,又 AB=CE

即:

,………………………………10 分

解得,AB=2.故

.…………………………12 分

18.【解析】(1)由题意得: (2)列联表为:

,解得

,男生人数为:50-20=30 人.…………2 分

………………………………3 分 …………………………………………………5 分
所以有 的把握认为选择科目与性别有关. ……………………………… 6 分 (3)从 25 个选择地理的学生中分层抽样抽 5 名, 所以这 5 名学生中有 2 名男生,3 名女生,………………………………7 分 男生编号为 1,2,女生编号为 a,b,c, 5 名学生中再选抽 2 个, 则所有可能的结果为 Ω={ab,ac, a1,a2,bc, b1,b2, c1,c2, 12},……………9 分
第1页共4页

至少一名男生的结果为{a1,a2,b1,b2,c1,c2, 12},

所以 2 人中至少一名男生的概率为

……………………………… 12 分

19.【解析】解法一:(1)因为

,所以





因为

,所以

, 所以 ∥ , 平面 ,

,…………………………5 分

(2)因为

,所以

为等边三角形,所以

又因为

,所以



又因为

所以 面

…………………………7 分

因为 平面 ,所以面





于 ,因为面



,所以



所以 EH 为点 到平面 的距离. …………………………9 分



中,设 边上的高为 ,则

平面 , 所以 ∥平面

,

,所以



因为

,所以

,即点 到平面 的距离为 1 …………12 分

解法二、(1)同解法一。

(2)因为

,所以

为等边三角形,所以

,

又因为

,所以



,所以



又因为

所以 面

…………………………7 分

设点 到平面 的距离为 ,因为

,所以

………9 分



因为

,



所以

,解得 ,即点 到平面 的距离为 1。…………12 分

20.解:(1)由题意知

椭圆方程为:

………………………… 4 分

(2)(1)当直线 斜率不存在,显然 x 轴上任意一点 T 均成立 ………………………… 5 分 (2)当直线 斜率存在,设直线 斜率为 k,假设存在 T(t,0)满足∠ATQ=∠BTQ.

设 A(x1,y1),B(x2,y2)联立


第2页共4页

得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣8=0,

由韦达定理有

①,其中△>0 恒成立,

由∠ATQ=∠BTQ(显然 TA,TB 的斜率存在),

故 kTA+kTB=0 即

②,………………………… 7 分

由 A,B 两点在直线 y=k(x﹣1)上, 故 y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1)代入 ②





即有 2x1x2﹣(t+1)(x1+x2)+2t=0③,…………………………9 分 将①代入③,即有:



要使得④与 k 的取值无关,当且仅当“t=8“时成立,综上所述存在 T(8,0),使得 ∠ATQ=∠BTQ.12 分

21.解:(1)函数 的定义域为

,……………………1 分



时, 恒大于 0, 在

上递增,无极值 …………………… 2 分





,

,且



,在

递减



,在

递增 故 在

的极小值为

=

……………………4 分

经检验,

使得函数 的极小值为

成立……………………5 分

(2)证明:由已知可得

,又

,所以。





,即证

………6 分

不妨设

,即证

,即证

。……………………8 分



,即证

,即证

,其中

。 ……9 分


调递增,因此 22.解:(1)由 C1 : 线 C1 的极坐标方程为

,则

得证. ……………………12 分

,得 由 C2 :

,得

第3页共4页

所以 在

上单

,即 ,即

,所以曲 ,所以

C2 的直角坐标方程为

…………………………………5 分

(2)法一:设直线 的倾斜角为 ,则直线 的极坐标方程为



代入曲线 C1 的极坐标方程







代入曲线 C2 的极坐标方程

所以

=

……………………………………10 分

法二:直线 的参数方程为

,将 的参数方程代入 C1 的直角坐标方程得

,所以

将 的参数方程代入 C2 的直角坐标方程得

=

…………………………………… 10 分

,所以

,所以

23.解:(1)当 时,

(3) 不等式

……………………………5 分 ,
时,使得 恒成立

不等式恒成立



, ……………………………9 分



…………………………… 10 分

,由

解得



……………………7 分

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