[配套K12]2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)导学案 新人教A版必修4

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1.2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为 自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内 的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
知识点一 任意角的三角函数 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点 P,作 PM⊥x 轴于 M,设 P(x,y),|OP|=r.
思考 1 角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么? 答案 sin α =yr,cos α =xr,tan α =yx. 思考 2 对确定的锐角 α ,sin α ,cos α ,tan α 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变? 答案 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点 P(x,y)在终边上的位置无关,只与角 α 的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 思考 3 在思考 1 中,当取|OP|=1 时,sin α ,cos α ,tan α 的值怎样表示? 答案 sin α =y,cos α =x,tan α =yx. 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义
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在平面直角坐标系中,设 α 是一个任意角,

它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么:

①y 叫做 α 的正弦,记作 sin α ,

即 sin α =y;

②x 叫做 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α =x;

y ③x叫做 α

的正切,记作 tan

α ,即 tan

y α =x

(x≠0).

对于确定的角 α ,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.

知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域

思考 对于任意角 α ,sin α ,cos α ,tan α 都有意义吗? 答案 由三角函数的定义可知,对于任意角 α ,sin α ,cos α 都有意义,而当角 α 的终 边在 y 轴上时,任取一点 P,其横坐标 x 都为 0,此时yx无意义,故 tan α 无意义.

梳理 三角函数的定义域

函数名

定义域

正弦函数

R

余弦函数

R

正切函数

??x|x∈R,且x≠kπ
?

+π2

,k∈Z??
?

知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗? 答案 由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆

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交于点

P(x,y),则

sin

α

=y,cos

α

=x,tan

α

y =x.当

α

为第一象限角时,y>0,

x>0,

故 sin α >0,cos α >0,tan α >0,同理可得当 α 在其他象限时三角函数值的符号,如图

所示.

梳理 记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 知识点四 诱导公式一 思考 当角 α 分别为 30°,390°,-330°时,它们的终边有什么特点?它们的三角函数 值呢? 答案 它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数值相等. 梳理 诱导公式一 sin?α + k·2π ? = sin α, cos?α + k·2π ? = cos α, tan?α + k·2π ? = tan α, 其中 k∈Z.

类型一 三角函数定义的应用 命题角度 1 已知角 α 终边上一点坐标求三角函数值

例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0),且 cos θ = 1100x,求 sin θ ,tan θ .

解 由题意知 r=|OP|= x2+9, xx
由三角函数定义得 cos θ =r= x2+9 .

又∵cos θ = 1100x,∴

x x2+9=

1100x.

∵x≠0,∴x=±1. 当 x=1 时,P(1,3),

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3 3 10

3

此时 sin θ = 12+32= 10 ,tan θ =1=3.

当 x=-1 时,P(-1,3),

3

3 10

3

此时 sin θ = ?-1?2+32= 10 ,tan θ =-1=-3.

反思与感悟 (1)已知角 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三

角函数值.

②在 α

的终边上任选一点

P(x,y),设

P

到原点的距离为

r(r>0),则

sin

α

y =r,cos

α



xr.当已知 α 的终边上一点求 α 的三角函数值时,用该方法更方便.

(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨 论. 跟踪训练 1 已知角 α 的终边过点 P(-3a,4a)(a≠0),求 2sin α +cos α 的值.

解 r= ?-3a?2+?4a?2=5|a|.

①若 a>0,则 r=5a,角 α 在第二象限,

y 4a 4

x -3a 3

sin α =r=5a=5,cos α =r= 5a =-5,

∴2sin α +cos α =85-35=1.

②若 a<0,则 r=-5a,角 α 在第四象限, sin α =-4a5a=-45,cos α =- -35aa=35,

∴2sin α +cos α =-85+35=-1.

综上所述,2sin α +cos α =±1. 命题角度 2 已知角 α 终边所在直线求三角函数值 例 2 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α +cos3 α 的值.

解 由题意知,cos α ≠0. 设角 α 的终边上任一点为 P(k,-3k)(k≠0),则

x=k,y=-3k,r= k2+?-3k?2= 10|k|.

(1)当 k>0 时,r= 10k,α 是第四象限角,

y -3k 3 10 1 r 10k sin α =r= 10k=- 10 ,cos α =x= k = 10,

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∴10sin α +cos3 α =10×???-3 1010???+3 10

=-3 10+3 10=0.

(2)当 k<0 时,r=- 10k,α 是第二象限角,

y -3k 3 10

sin α =r=-

= 10k

10



1 cos

α

=rx=-

k10k=-

10,

∴10sin α +cos3 α =10×3 1010+3×(- 10)

=3 10-3 10=0.

综上所述,10sin α +cos3 α =0.

反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分

两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a,b),则对应角的三角函数值分别

b

a

b

为 sin α =

,cos a2+b2

α



,tan a2+b2

α

=a.

跟踪训练 2 已知角 α 的终边在直线 y= 3x 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值.

解 因为角 α 的终边在直线 y= 3x 上,

所以可设 P(a, 3a)(a≠0)为角 α 终边上任意一点,

则 r= a2+? 3a?2=2|a|(a≠0). 若 a>0,则 α 为第一象限角,r=2a,

3a 3 所以 sin α = 2a = 2 ,

cos α =2aa=12,

tan α = a3a= 3.

若 a<0,则 α 为第三象限角,r=-2a,

所以 sin α =-32aa=- 23,

cos α =-2aa=-12,

tan α = a3a= 3.

类型二 三角函数值符号的判断

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例 3 (1)若 α 是第二象限角,则点 P(sin α ,cos α )在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案 D

解析 ∵α 为第二象限角,∴sin α >0,cos α <0,

∴点 P 在第四象限,故选 D.

(2)确定下列各三角函数值的符号.

①sin 182°;②cos(-43°);③tan74π .

解 ①∵182°是第三象限角,

∴sin 182°是负的,符号是“-”.

②∵-43°是第四象限角,

∴cos(-43°)是正的,符号是“+”.

③∵74π 是第四象限角,

∴tan74π 是负的,符号是“-”.

反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的

终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦,三

正切,四余弦.

跟踪训练 3 (1)已知点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则 α 是第

象限角.

答案 二

解析 由题意知 tan α <0,cos α <0,

∴α 是第二象限角.

(2)判断下列各式的符号.

①sin 145°cos(-210°);②sin 3·cos 4·tan 5.

解 ①∵145°是第二象限角,∴sin 145°>0.

∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角,

∴cos (-210°)<0,∴sin 145°cos(-210°)<0.

②∵π2 <3<π <4<3π2 <5<2π ,

∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,

∴sin 3·cos 4·tan 5>0.

类型三 诱导公式一的应用

例 4 求下列各式的值.

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(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
(2)sin???-116π ???+cos125π ·tan 4π .
解 (1) 原 式 = sin( - 4×360° + 45°)cos(3×360° + 30°) + cos( - 3×360° + 60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°= 22× 23+12×12= 46+ 14=1+4 6.
(2)原式=sin???-2π +π6 ???+cos???2π +25π ???·tan(4π +0)=sinπ6 +cos25π ×0=12.
反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数,也可把大于 2π 的角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”. 跟踪训练 4 求下列各式的值.
(1)cos253π +tan???-154π ???;
(2)sin 810°+tan 765°-cos 360°.
解 (1)原式=cos???8π +π3 ???+tan???-4π +π4 ???
=cosπ3 +tanπ4 =12+1=32. (2)原式=sin(90°+2×360°)+tan(45°+2×360°)-cos 360°=sin 90°+tan 45° -1=1+1-1=1.

1.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α 等于( )

A.45

B.35

C.-35

D.-45

答案 D

解析 由题意可知 x=-4,y=3,r=5,

所以 cos α =xr=-45.故选 D.

2.cos(-116π )等于(

)

1

1

A.2

B.-2

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C.

3 2

D.-

3 2

答案 C

解析

cos(-116π

)=cos(-2π

+π6 )=cos

π 6



23.

3.若点 P(3,y)是角 α

终边上的一点,且满足 y<0,cos

α

3 =5,则 tan

α

等于(

)

A.-34

B.34

C.43

D.-43

答案 D

33 解析 ∵cos α = 32+y2=5,

∴ 32+y2=5,∴y2=16,

∵y<0,∴y=-4,∴tan

α

4 =-3.

4.当 α

为第二象限角时,|ssiinn

α α

|-|ccooss

α α

|的值是(

)

A.1

B.0

C.2

D.-2

答案 C

解析 ∵α 为第二象限角,∴sin α >0,cos α <0.

∴|ssiinn

α α

|-|ccooss

α α

|=ssiinn

α α

--cocsosαα

=2.

5.已知角 α 的终边上有一点 P(24k,7k),k≠0,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 解 当 k>0 时,令 x=24k,y=7k,

则有 r= ?24k?2+?7k?2=25k, ∴sin α =yr=275,cos α =xr=2254,tan α =yx=274.

当 k<0 时,令 x=24k,y=7k,则有 r=-25k, ∴sin α =yr=-275,cos α =xr=-2254,tan α =yx=274.

1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数. 2.角 α 的三角函数值的符号只与角 α 所在象限有关,角 α 所在象限确定,则三角函数值的
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符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 3.终边相同的三角函数值一定相等,但两个角的某一个函数值相等,不一定有角的终边相同, 更不一定有两角相等.

课时作业

一、选择题

1.sin(-1 380°)的值为( )

A.-12

B.12

C.-

3 2

D.

3 2

答案 D 解析 sin(-1 380°)=sin(-360°×4+60°)

=sin 60°= 23.

2.已知 α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 cos α = 42x,则 x 的值为(

)

A. 3

B.± 3

C.- 2 答案 D

D.- 3

解析

x ∵cos α =r=

x x2+5=

42x,

∴x=0 或 2(x2+5)=16,∴x=0 或 x2=3,

∴x=0(∵α 是第二象限角,∴舍去)或 x= 3(舍去)或 x=- 3.故选 D.

3.已知 sin θ <0,且 tan θ <0,则 θ 为( )

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

答案 D

4.已知角 α 的终边上一点的坐标为???sin

2π 3

,cos

2π 3

???,则角

α

的最小正值为(

)

A.5π6

B.23π

C.4π3

D.116π

答案 D

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解析

∵sin

2π 3



23,cos

2π 3

=-12.

∴角 α 的终边在第四象限,

且 tan

α

cos =
sin

2π 3 2π =- 3

33,

∴角 α 的最小正值为 2π -π6 =116π .

5.已知角 α 的终边经过点 P(3,4t),且 sin(2kπ +α )=-35(k∈Z),则 t 等于(

)

A.-196

B.196

3

3

C.4

D.-4

答案 A

解析

sin(2kπ +α

3 )=sin α =-5<0,则 α

的终边在第三或第四象限.又点 P 的横坐标为

正数,所以 α

是第四象限角,所以 t<0.又 sin α =

4t ,则
9+16t2

4t

3

9+16t2=-5,所以

t

=-196.

6.某点从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 按逆时针方向运动23π 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐

标为( )

A.???-12, 23???

B.???- 23,-12???

C.???-12,- 23???
答案 A

D.???- 23,21???

解析

由三角函数定义可得

Q???cos23π

,sin

2π 3

???,

cos

2π 3

=-12,sin23π



23.

7.如果点 P(sin θ +cos θ ,sin θ cos θ )位于第二象限,那么角 θ 的终边在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案 C

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解析 由题意知 sin θ +cos θ <0,且 sin θ cos θ >0,

∴???sin θ <0, ??cos θ <0,

∴θ 为第三象限角.

8.若角 α 的终边在直线 y=-2x 上,则 sin α 等于( )

A.±15

B.±

5 5

C.±2 5 5

D.±12

答案 C

二、填空题

9.tan 405°-sin 450°+cos 750°=

.

答案

3 2

解 析 tan 405° - sin 450° + cos 750° = tan(360° + 45°) - sin(360° + 90°) +

33 cos(720°+30°)=tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+ 2 = 2 .

10.使得 lg(cos α tan α )有意义的角 α 是第

象限角.

答案 一或二

解析 要使原式有意义,需 cos α tan α >0,

即需 cos α ,tan α 同号,

所以 α 是第一或第二象限角.

11.若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sin α <0,又 P(m,n)是 α 终边上一点,且|OP|= 10,

则 m-n=

.

答案 2

解析 ∵y=3x 且 sin α <0,

∴点 P(m,n)位于 y=3x 在第三象限的图象上,

且 m<0,n<0,n=3m.

∴|OP|= m2+n2= 10|m|

=- 10m= 10,

∴m=-1,n=-3,

∴m-n=2.

12.函数 y=|ssiinn

xx|+|ccooss

xx|-2|ssiinn

xcos xcos

xx|的值域是

.

答案 {-4,0,2} 解析 由 sin x≠0,cos x≠0 知,x 的终边不能落在坐标轴上,

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当 x 为第一象限角时,sin x>0,cos x>0,

sin xcos x>0,y=0;

当 x 为第二象限角时,sin x>0,cos x<0,

sin xcos x<0,y=2;

当 x 为第三象限角时,sin x<0,cos x<0,

sin xcos x>0,y=-4;

当 x 为第四象限角时,sin x<0,cos x>0,

sin xcos x<0,y=2.

故函数 y=|ssiinn

x| |cos x + cos

x| 2|sin xcos x| x - sin xcos x 的值域为{-4,0,2}.

三、解答题

13.化简下列各式:

(1)sin

7 2π

+cos

5 2π

+cos(-5π )+tan

π 4



(2)a2sin 810°-b2cos 900°+2abtan 1 125°.



(1)原式=sin

3 2π

+cos

π 2

+cos

π +1

=-1+0-1+1=-1.

(2)原式=a2sin 90°-b2cos 180°+2abtan(3×360°+45°)

=a2+b2+2abtan 45°=a2+b2+2ab=(a+b)2.

四、探究与拓展

14.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ =-x,则 sin θ +cos θ



.

答案 0 或- 2 解析 ∵θ 的终边过点 P(x,-1)(x≠0), ∴tan θ =-1x. 又 tan θ =-x, ∴x2=1,即 x=±1.

当 x=1 时,sin θ =- 22,cos θ = 22,

因此 sin θ +cos θ =0;

当 x=-1 时,sin

θ

=-

2 2 ,cos

θ

=-

2 2,

因此 sin θ +cos θ =- 2.

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故 sin θ +cos θ 的值为 0 或- 2.

15.已知|sin1 α |=-sin1 α ,且 lg(cos α )有意义.

(1)试判断角 α 所在的象限;

(2)若角 α 的终边与单位圆相交于点 M???35,m???,求 m 的值及 sin α 的值.

1

1

解 (1)∵|sin α |=-sin α ,

∴sin α <0.



∵lg(cos α )有意义,

∴cos α >0.



由①②得角 α 在第四象限.

(2)∵点 M(35,m)在单位圆上,

∴(35)2+m2=1,解得 m=±45.

又 α 是第四象限角,

∴m<0,∴m=-45.

4 由三角函数定义知,sin α =-5.

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