高一数学人教B版必修4课件1-2-2单位圆与三角函数线_图文

1.2.2 单位圆与三角函数线 在用两个字母表示有向线段时,将起点 字母写在前, 终点 字母写在后,不能将字母顺序颠倒. 用有向线段表示三角函数值,有向线段的长度表示三 角函数值的 绝对值 ,其方向表示三角函数值的 正负 . 2.用单位圆中的线段表示三角函数值 如图所示,设角 α 的顶点在圆心 O ,始边与 x 轴的正半 轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P作PM垂直x轴于 M,则点M是点P在x轴上的 正射影 (简称射影).由三角函 数 的 定 义 可 知 , 点 P 的 坐 标为 (cosα , sinα) , 即 P(cosα , sinα). 其中cosα= OM ,sinα= MP. 也就是说,角α的余弦和正弦分别等于角 α终边与单位 圆交点的 横坐标 和 纵坐标 . 重点:正确运用单位圆中的三角函数线表示任意角的 三角函数值. 难点:正确用单位圆中的三角函数线表示三角函数值 及运用三角函数线求解简单三角不等式. 1.教材比较重视单位圆中的三角函数线.与单位圆有 关的三角函数线是对任意角三角函数定义的一种“形”上 的补充,它作为三角函数的几何表示,使我们对三角函数 的定义有了直观的理解,同时能帮助我们理解和掌握三角 函数的定义域及三角函数的符号规律,加深了形与数的结 合. 2.要清楚三角函数线的位置,正弦线为角α的终边与 单位圆的交点到 x 轴的垂直有向线段,余弦线在 x轴上,正 切线在过单位圆与x轴正半轴交点的切线上,三条有向线段 中有两条在单位圆内,一条在单位圆外. 3.要抓准三角函数线的方向,正弦线由垂足指向α终 边与单位圆交点,余弦线由原点指向垂足,正切线由切点 指向切线与α终边(或终边的反向延长线)的交点. 4.三角函数线的正负:即三条有向线段的正负.三条 有向线段与 x 轴或与 y 轴同向则为正值,与 x 轴或与 y 轴反向 则为负值. 如果角α的终边在坐标轴上,就要注意考虑特殊情况, 养成良好的思维习惯,正确处理特殊与一般的关系. [例1] 确定下式的符号:sin1-cos1. [分析] π 在单位圆中作出 1, 的正弦线、余弦线,将 4 π sin1,cos1 与 sin4比较即可. π π [解析] 因为 <1< ,如图所示,由三角函数线可得 4 2 2 sin1> >cos1, 2 故 sin1-cos1>0. [点评] 熟练运用三角函数线可使问题几何化,更加 直观.利用三角函数线比较三角函数值的大小,不仅要看 其长度,还要看其方向. 1 利用三角函数线,求 sinα<2的角 α 的范围. 1 [解析] 如图所示,首先在 y 轴上找到 ,过此点作平 2 行于 x 轴的直线,交单位圆于 P1 与 P2 两点. 1 π 5 若 sinα=2,则 α=2kπ+6或 α=2kπ+6π(k∈Z),角 α π 所对应的正弦线分别为 M1P1、M2P2,当角 2kπ+6的终边按 5π 1 逆时针方向旋转至 2kπ+ 6 时,显然 sinα>2,故应舍去,所 以 α 应取线 OP1 和线 OP2 以下的角, 如图的阴影部分所示. 故 α 的取值集合是 ? ? ? 5π 13π ?α?2kπ+ <α<2kπ+ ,k∈Z 6 6 ? ? ? ? ? ?. ? ? π [例 2] 若 0<α< ,证明 sinα<α<tanα. 2 [分析] 解答本题的思维步骤: (1) 在直角坐标系中,利用单位圆,作出角 α 的正弦线 和正切线; (2)根据图形,利用相关三角形及扇形的面积,构造不 等关系; (3)利用三角函数的几何意义,即证得结论. [解析] 如图所示, 连结 AP, 设△OAP 的面积为 S△OAP, 扇形 OAP 的面积为 S 扇形 OAP,△OAT 的面积为 S△OAT.弧 AP 的长为 l. ∵S△OAP<S 扇形 OAP<S△OAT, 1 1 1 ∴2OA· MP<2l· OA<2OA· AT. 又∵OA=1,∴MP<l<AT.即 sinα<α<tanα. [点评] 三角函数线的长度等于三角函数的绝对值, 方向表示三角函数的正负,这为利用几何图形解决问题提 供了方便. π 已知 0<α<2,求证:sinα+cosα>1. [解析] 如图,设α的终边与单位圆交于P点,作 PM⊥x轴,垂足为M, 则sinα=MP,cosα=OM. 在△OMP中,∵OM+MP>OP, ∴cosα+sinα>1. [例 3] 已知点 P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在 ( ?π π ? ? 5π? B.?4,2?∪?π, 4 ? ? ? ? ? ?π π? ?3π ? D.?4,2?∪? 4 ,π? ? ? ? ? [0,2π)内的角 α 的取值范围是 ?π 3π? ? 5π? A.?2, 4 ?∪?π, 4 ? ? ? ? ? ?π 3π? ?5π 3π? C.?2, 4 ?∪? 4 , 2 ? ? ? ? ? ) [解析] ∵点 P(sinα-cosα,tanα)在第一象限, , ① ② ? ?sinα-cosα>0 ∴? ? ?tanα>0 ? ?sinα>cosα 即? ? ?tanα>0 由②知 α 在第一、三象限. 由①sinα>cosα,用正弦线、余弦线得出图中的阴影部 分满足. 故α ?π π ? ? 5π? 的取值范围是:?4,2?∪?π, 4 ?,故选 ? ? ? ? B. [答案] B 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边. 2 (1)sinα=3; 3 (2)cosα=-5; (3)tanα=2. [解析] 如下列各图所示: [例 4] [误解] 2π 画出角 的正切线. 3 如图所示 2π 角 3 的终边与单位圆交于点 P,单位圆与 x 轴的负半 2π 轴交于点 A,过点 A 作单位圆的切线交角 3 的终边于点 T, 2π →

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