2018版高考数学一轮复习:选修4-4 坐标系与参数方程(六十四) 参数方程

课时达标检测(六十四) 参数方程 1.(2017· 郑州模拟)已知曲线 C1 ?x=-2- 23t, 的参数方程为? 1 ?y=2t, 曲线 C2 的极坐标方 π 程为 ρ=2 2cosθ- ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. 4 (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. π? 解:(1)ρ=2 2cos? ?θ-4?=2(cos θ+sin θ), 即 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),可得 x2+y2-2x-2y=0, 故 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2. (2)C1 的普通方程为 x+ 3y+2=0, 由(1)知曲线 C2 是以(1,1)为圆心, 以 2为半径的圆, 且圆心到直线 C1 的距离 d= 3+ 3+2 2 . 2 π? π? ? 2.在极坐标系中,已知三点 O(0,0),A? ?2,2?,B?2 2,4 ?. (1)求经过点 O,A,B 的圆 C1 的极坐标方程; (2)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2 的参数方程为 ? ?x=-1+acos θ, ? (θ 是参数),若圆 C1 与圆 C2 外切,求实数 a 的值. ?y=-1+asin θ ? |1+ 3+2| 1 +? 3? 2 2 = 3+ 3 ,所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 2 π? π? ? 解:(1)O(0,0),A? ?2,2?,B?2 2,4 ?对应的直角坐标分别为 O(0,0),A(0,2),B(2,2), ?x=ρcos θ, ? 则过点 O,A,B 的圆的普通方程为 x2+y2-2x-2y=0,将? 代入可求得经过 ?y=ρsin θ ? π? 点 O,A,B 的圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2 2cos? ?θ- 4?. ?x=-1+acos θ, ? (2)圆 C2:? (θ 是参数)对应的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2,圆心 ? y =- 1 + a sin θ ? 为(-1,-1),半径为|a|,而圆 C1 的圆心为(1,1),半径为 2,所以当圆 C1 与圆 C2 外切时, 有 2+|a|= ?-1-1?2+?-1-1?2,解得 a=± 2. 3.(2017· 太原模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 ?x= 2cos θ, π 的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),曲线 C 的参数方程为? 4 ?y=sin θ. (1)写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程; 8 (2)过点 M 且平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A,B 两点,若|MA|· |MB|= ,求点 M 3 轨迹的直角坐标方程. x2 解:(1)直线 l 的直角坐标方程为 y=x,曲线 C 的普通方程为 +y2=1. 2 (2)设点 M(x0,y0),过点 M 的直线为 l1:?x=x0+ ? ? 2 2 t,y=y0+ t (t 为参数),由直线 2 2 l1 与曲线 C 相交可得: 2 2 3t2 8 2 + 2tx0+ 2 2 ty0+ x2 |MB| = ,得 t1t2= 0 + 2y0 - 2 = 0,由 |MA|· 2 3 ?x0+2y0-2? 8 ? ?= ,即 x2+2y2=6,x2+2y2=6 表示一椭圆,设直线 l 为 y=x+m,将 y=x 3 0 0 1 ? ? 3 2 ? ? x2 2 +m 代入 +y =1 得,3x2+4mx+2m2-2=0,由 Δ>0 得- 3<m< 3, 2 故点 M 的轨迹是椭圆 x2+2y2=6 夹在平行直线 y=x± 3之间的两段椭圆弧. ?x=t, ? ? 4. (2017· 江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系 xOy 中, C1: (t 为参数). 以 ?y=k?t-1? ? 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C2:ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ +33=0. (1)求 C1 的普通方程及 C2 的直角坐标方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 P,Q 分别为 C1,C2 上的动点,且|PQ|的最小值为 2,求 k 的值. ? ?x=t, 解:(1)由? 可得其普通方程为 y=k(x-1),它表示过定点(1,0),斜率为 k 的 ?y=k?t-1? ? 直线. 由 ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0 可得其直角坐标方程为 x2+y2+10x-6y+33=0,整 理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为(-5,3),半径为 1 的圆. (2)因为圆心(-5,3)到直线 y=k(x-1)的距离 d= |6k+3| 1+k 2-1,故 |-6k-3| |6k+3| = ,故|PQ|的最小值为 1+k2 1+k2 |6k+3| 1+k 2-1=2,得 4 3k2+4k=0,解得 k=0 或 k=- . 3 5. 在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已 3? 知点 P 的直角坐标为? ?-3,-2?,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=5,直线 l 过点 P 且与曲线 C 相交于 A,B 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若|AB|=8,求直线 l 的直角坐标方程. 解:(1)由 ρ=5 知 ρ2=25,所以 x2+y2=25, 即曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=25. x=-3+tcos α, ? ? (2)设直线 l 的参数方程为? (t 为参数),① 3 y=- +tsin α ? 2 ? 将参数方程①代入圆的方程 x2+y2=25, 得 4t2-12(2cos α+sin α)t-55=0, ∴Δ=169(2cos α+sin α)2+55]>0,上

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