[K12配套]2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数课时达

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1.3.2 函数的极值与导数

课时达标训练

1.“函数 y=f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y=f(x)在这点取得极值”的( )

A.充分 不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选 B.对于 f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,

不能推出 f(x)在 x=0 处取极值,反之成立.

2.下列结论中,正确的是( )

A.导数为零的点一定是极值点

B.如果 f′(x0)=0 且在 x0 附近的左侧 f′ (x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值

C.如果 f′(x0)=0 且在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值

D.如果 f′(x0)=0 且在 x0 附近的左侧 f′ (x)<0,右 侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值

【解析】选 B.根据极值的概念,在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,单调递增;右侧

f′(x)<0,单调递减,f(x0)为极大值.

3.下列函数存在极值的是( )

? ? 【解析】选 B.对于 A 中 f ?

x

?

?

1 x2



令 f′(x)=0 无解,所以 A 中函数无极值.

B 中 f′(x)=1-ex,

令 f′(x)=0 可得 x=0.当 x<0 时, f′(x)>0,

当 x>0 时,f′(x)<0.

所以 y=f(x)在 x=0 处取极大值,f(0)=-1.

C 中 f′(x)=3x2+2x+2,Δ =4-24=-20<0.

所以 y=f(x)无极值.D 也无极值.

4.函数 A.a>1 或 a≤0 配套学习资料 K12 页脚内容

有极值的充要条件是( ) B.a>1

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C.0<a<1

D.a>1 或 a<0

【解析】选 D.f(x )有极值的充要条件是 f′(x)=ax2+2ax+1=0 有两个不相等的实根,即 4a2-4a>0,解得 a

<0 或 a>1.

5.函数 f(x) =x3-3x 的极小值为

.

【解析】f′(x)=3x2-3, 令 f′(x)=0 得 x=±1,当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0,当-1<x<1 时,f′(x) <0,所以当 x=1 时,函数 f(x)有极小值,且极小值是 f(1)=13-3×1=-2.

答案:-2

6.求函数 y=x+ 1 的极值. x



解析】

y?=1-

1 x2



x

2? x2

1,令

y′=0

解得

x=±1,而原函数的定义域为{x|x≠0},所以



x

变化时,y′,y 的变化情况如下表:

所以当 x=-1 时,y 极大值=-2,当 x=1 时,y 极小值=2.

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