2015高考数学(理)一轮复习配套课件3-6简单的三角恒等变换_图文

第三章 三角函数、解三角形 第 6讲 简单的三角恒等变换 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正 弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 1个必记口诀——三角恒等变换的技巧 三角变换重差异,角的变换是主体,遇切化弦是常理,见到高 次要降幂,化一公式是难题,注意角间的关系. 2个重要规律——三角函数化简的原则和要求 (1)化简原则: 一是统一角,二是统一函数名,能求值的求值, 必要时切化弦,更易通分、约分. (2)化简要求:种类尽量少,次数尽量低,项数尽量少,尽量无 分母,尽量求出值,尽量无根号. 3种必会题型——掌握三角函数的化简、求值与证明 (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角 三角函数基本关系式及和、差、倍角公式进行转化求解. (2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值,对条件求值问题 要充分利用条件进行转化求解. (3)三角恒等式的证明,要看左右两侧函数名、角之间的关系, 不同名则化同名,不同角则化同角,利用公式求解变形即可. 01抓住2个必备考点 考点1 半角公式(不要求记忆) 2α 2α 2α 1.用cosα表示sin 2,cos 2,tan 2. 1+cosα 1-cosα 2α 2α 2 2 sin 2= ;cos 2= ; 1-cosα 2α tan 2= 1+cosα . α α α 2.用cosα表示sin ,cos ,tan . 2 2 2 1-cosα α α ± ± sin2= ;cos2= 2 1-cosα ± α 1+cosα tan = . 2 1+cosα 2 ; α 3.用sinα,cosα表示tan . 2 1-cosα α sinα sinα . tan2= = 1+cosα 2 4.sinα= ;cosα= ;tanα= . α α α 1+tan22 1+tan22 1-tan22 α 2tan 2 1-tan 2α α 2tan 2 [填一填] 4 -3. α 4 3 (1)已知tan =2,则sinα= ;cosα=- ;tanα= 2 5 5 4 17 8 3 α (2)已知sinα=- ,且π<α< π,则sin = 17 17 2 2 17 - 17 α α -4 cos2= ;tan2= . ; 考点2 常用公式的变化形式 1.tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ). 1-cos2α 1+cos2α 2.sin2α= ,cos2α= . 2 2 3.1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2, 1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α. 4.asinα+bcosα= a2+b2 sin(α+φ)(其中cosφ a b 2 2 2 2 b a + b a + b = ,sinφ= ,即tanφ= ). a [填一填] 1 (1)下列各式中,值为2的是 ④ 2 . π ①sin15° cos15° ;②2cos 12-1;③ tan22.5° ④ . 1-tan222.5° 1-cos30° ; 2 (2)下列式子化成 a2+b2sin(x+φ)的形式, π π 则sinα- 3cosα= 2sin(α-3) ,sinθ+cosθ= 2sin(θ+4) . 1+ 2 (3)函数y=cosx(sinx+cosx)的最大值为 . 2 02突破3个热点考向 考向一 例1 三角函数式的求值 2x x x 1 [2012· 四川高考]已知函数f(x)=cos 2-sin2cos2-2. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域; 3 2 (2)若f(α)= ,求sin2α的值. 10 [解] (1)由已知, 2x x x 1 f(x)=cos 2-sin2cos2-2 1 1 1 =2(1+cosx)-2sinx-2 2 π = cos(x+ ). 2 4 2 2 所以f(x)的最小正周期为2π,值域为[- 2 , 2 ]. 2 π 3 2 (2)由(1)知,f(α)= cos(α+ )= , 2 4 10 π 3 所以cos(α+4)=5. π π 所以sin2α=-cos( +2α)=-cos[2(α+ )] 2 4 π 18 7 =1-2cos (α+4)=1-25=25. 2 [奇思妙想] 2 本例条件不变,第(2)问改为:“若f(θ)= , 6 π π π θ∈[-4,4],求f(θ-4)的值?”该如何解答? 2 2 π 2 解:由f(θ)= 6 得 2 cos(θ+4)= 6 , π 1 π π ∴cos(θ+4)=3,又∵θ∈[-4,4], π π π 2 2 ∴θ+4∈[0,2],∴sin(θ+4)= 3 . π 2 2 π π f(θ-4)= 2 cosθ= 2 cos[(θ+4)-4] 2 π π π π = 2 [cos(θ+4)cos4+sin(θ+4)sin4] 2 1 2 2 2 2 1+2 2 = 2 ×(3× 2 + 3 × 2 )= 6 . 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理 的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称 之间的差异,从而确定使用的公式;(3)三看“结构特征”,分析 结构特征,找到变形的方向. [学以致用] π α 1 2 1. [2014· 衡水月考]已知 0<α<2<β<π, tan2=2, cos(β-α)= 10 . (1)求 sinα 的值; (2)求 β 的值. α 1 解:(1)∵tan = , 2 2 α α α ∴sinα=sin(2· 2)=2sin2co

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