1.5函数y=Asin(wx+q) 的图象(一)

行知学校高一数学必修四导学案

1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(一)
一、导学目标: 1.掌握函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象及参数 A, ? , ? 对函数图象的 影响 2.了解 y ? sin x 与 y ? A sin(?x ? ? ) 的关系. 二、知识回顾: 正弦函数 y ? sin x 的图象如何?起关键作用的是哪五个点? 三、新知导学: 物体做简谐运动时, 位移 s 与时间 t 的关系为 s ? A sin(?t ? ? ) (其中 A>0, ? >0),其中 A 表示物体离开平衡位置的最大距离,称为 振动的振幅;往复振动一次所需的时间 T 称为振动的 周期,T=_____; 单位时间内往复振动的次数 f 称为振动的频率, =_____;?t ? ? 称 f ? 称为________. 为_________,t =0 时的相位 函数 y ?

2 1 ? sin( x ? ) 的振幅、周期、初相、频率各是多少? 3 2 3

如何得出 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象呢? 探究 1:比较函数 f(x)=sin(x+

? ? ), g(x)=sin(x- )和 h(x)=sinx 的图象: 3 4

y
1

O
-1

? 2

?

3? 2

2? x

结论 1::函数 y=sin(x+ ? ) (其中 ? ≠0)的图象,可以看作把正弦曲 线上所有点向_____(当 ? >0 时)或向____ (当 ? <0 时)平移_______ 个单位而得到( “左加” “右减”) y=sin(x+ ? )与 y=sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置 不一样, ? 决定了函数的相位,这一变换称为相位变换. 探究 2:比较函数 f(x)=2sinx,g(x)=

1 sinx 和 h(x)=sinx 的图象 2

y
1

O
-1

? 2

?

3? 2

2? x

结论 2:一般地,函数 y=Asinx(A>0,且 A ? 1 )的图象,可以看做是 将函数 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的____倍(横坐标
1

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不变) 而得到的.由于 A 体现了函数的振幅, 称这一变换为振幅变换. 探究 3:比较函数 y=sin3x,y=sin

1 x 及 y=sinx 的图象 3

y
1

O
-1

? 2

?

3? 2

2? x

结论 3:函数 y=sinω x( ? ? 0, 且? ? 1 )图象可以看做是将函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的

1

?

倍(纵坐标不变)而

得到的.由于ω 决定了函数的周期,称这一变换为周期变换. 探究 4:比较 y=sinx+1 与 y=sinx 的图像

y
1

O
-1

? 2

?

3? 2

2? x

从y ? sin x得到y ? Asin(?x ? ? ) ? B的图像步骤为:
(1)把正弦函数y ? sin x图象向左(右)平移 | ? | 个单位长度, 得到函数y ? sin( x ? ? )的图象;

1 (2)把函数y ? sin( x ? ? )图象上各点的横坐标变为原来的 倍,

?

得到函数y ? sin(? x ? ? )的图象;

(3)把函数y ? sin(? x ? ? )图象上各点的纵坐标变为 原来的A倍, 得到函数y ? A sin(? x ? ? )的图象.

(4)把函数y ? A sin(? x ? ? )图象向上或者向下平移 B 个单位 得到y ? A sin(? x ? ? )+B的图象.
四、例题分析 例 1 若函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 表示一个振动量:

1.求这个振动的振幅、周期、初相; 2.如何从 y ? sin x 的图像得到 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图像

2

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思考:如果把变换步骤(1),(2)调换顺序,如何从 y ? sin 2 x 的图像 得到 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像呢?

五、练习巩固 A.函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的最大值是 3,最小正周期 是

2? ? ,初相是 ,则这个函数的解析式是____________________ 7 6

B.要得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? 图象________________. C.要得到函数 y=cos( 平移___个单位 六、名师点评

?

4

) 的图象, 只需将函数 y ? 3 sin 2 x 的

x ? x ? )的图象, 只需将 y=sin 的图象向_____ 2 4 2

七、学业达标 A.一个振动量为 s ? A sin(?x ? ? ) (A>0,ω >0),振幅为

? 3 ,初相为 ? ,则其解析式 s =_____________________ . 2? 6
B.把函数 y ? sin( 2 x ?

1 ,频率为 2

?

3

) 的图象向右平移 1 2

? 个单位,所得到的图 6

象的函数解析式为__________________________,再将图像上的所 有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) 则所得到的图象的函数 , 解析式为___________________________.

( C.已知函数 y ? 2 sin

x ? ? ) 2 4

(1)求出其振幅、周期、初相, 用“五点法”画出函数的简图; (2)指出它可由函数 y ? sin x 的图象经过哪些变换而得到; (3)写出函数的单调减区间,对称轴和对称中心

3


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