2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案14 导数在研究函数中的应用


学案 14

导数在研究函数中的应用

0 导学目标: 1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函 数的单调区间(多项式函数一般不超过三次 ).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件,会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值.

自主梳理 1.导数和函数单调性的关系: (1)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是______函数,f′(x)>0 的解集与定义 域的交集的对应区间为______区间; (2)若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是______函数,f′(x)<0 的解集与定义 域的交集的对应区间为______区间; (3)若在(a,b)上,f′(x)≥0,且 f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a, b)上为______函数,若在(a,b)上,f′(x)≤0,且 f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零 ?f(x)在(a,b)上为______函数. 2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧________,右侧________,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程________的根; ③检查 f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取 得________;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得________. 自我检测 1.已知 f(x)的定义域为 R, f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示, 则 ( )

A.f(x)在 x=1 处取得极小值 B.f(x)在 x=1 处取得极大值 C.f(x)是 R 上的增函数 D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数 2.(2009· 广东)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是 ( A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 3. (2011· 济宁模拟)已知函数 y=f(x), 其导函数 y=f′(x)的图象如图所示, 则 y=f(x)(

)

)

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A.在(-∞,0)上为减函数 B.在 x=0 处取极小值 C.在(4,+∞)上为减函数 D.在 x=2 处取极大值 4 4.设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ ,则 p 是 q 的( ) 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (2011· 福州模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处取极值 10, 则 f(2)=________.

探究点一 函数的单调性 例 1 已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围; (3)函数 f(x)能否为 R 上的单调函数,若能,求出 a 的取值范围;若不能,请说明理由.

变式迁移 1 (2009· 浙江)已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围.

探究点二 函数的极值 4 若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围. 例2

变式迁移 2 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

探究点三 求闭区间上函数的最值 例 3 (2011· 六安模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c, 曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 2 l:3x-y+1=0,若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

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变式迁移 3 已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a, b∈R), g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

分类讨论求函数的单调区间 1 例 (12 分)(2009· 辽宁)已知函数 f(x)= x2-ax+(a-1)ln x,a>1. 2 (1)讨论函数 f(x)的单调性; f?x1?-f?x2? (2)证明:若 a<5,则对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有 >-1. x1-x2 多角度审题 (1)先求导,根据参数 a 的值进行分类讨论;(2)若 x1>x2,结论等价于 f(x1) +x1>f(x2)+x2,若 x1<x2,问题等价于 f(x1)+x1<f(x2)+x2,故问题等价于 y=f(x)+x 是单调增函 数. 【答题模板】 (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞). a-1 x2-ax+a-1 ?x-1??x+1-a? f′(x)=x-a+ = = .[2 分] x x x 2 ?x-1? ①若 a-1=1,即 a=2 时,f′(x)= . x 故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②若 a-1<1,而 a>1,故 1<a<2 时,则当 x∈(a-1,1)时,f′(x)<0;当 x∈(0,a-1)及 x ∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增. ③若 a-1>1,即 a>2 时,同理可得 f(x)在(1,a-1)上单调递减, 在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增.[6 分] (2)证明 考虑函数 g(x)=f(x)+x 1 = x2-ax+(a-1)ln x+x. 2 a-1 a-1 则 g′(x)=x-(a-1)+ ≥2 x· -(a-1) x x =1-( a-1-1)2. 由于 1<a<5,故 g′(x)>0, 即 g(x)在(0,+∞)上单调递增, 从而当 x1>x2>0 时,有 g(x1)-g(x2)>0, 即 f(x1)-f(x2)+x1-x2>0, f?x1?-f?x2? 故 >-1.[10 分] x1-x2 f?x1?-f?x2? f?x2?-f?x1? 当 0<x1<x2 时,有 = >-1. x1-x2 x2-x1 f?x1?-f?x2? 综上,若 a<5,对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2 有 >-1.[12 分] x1-x2 【突破思维障碍】 (1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于 0 或小于 0 的不等式的解集,一般就是归 结为一个一元二次不

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等式的解集的讨论,在能够通过因式分解得到导数等于 0 的根的情况下,根的大小是分 类的标准; (2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数,通过函数研究函数的性质进而解 决不等式问题. 1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求 f′(x),令 f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实根; (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序 排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; (4)确定 f′(x)在各个开区间内的符号,根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区 间内的增减性. 2.可导函数极值存在的条件: (1)可导函数的极值点 x0 一定满足 f′(x0)=0,但当 f′(x1)=0 时,x1 不一定是极值点.如 f(x)=x3,f′(0)=0,但 x=0 不是极值点. (2)可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0, 且在 x0 左侧与右侧 f′(x) 的符号不同. 3.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极 值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间 内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成 为最值,最值只要不在端点必定是极值. 4.求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最大 的一个是最大值,最小的一个是最小值.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 大连模拟)设 f(x),g(x)是 R 上的可导函数,f′(x)、g′(x)分别为 f(x)、g(x)的导 函数,且 f′(x)· g(x)+f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有 ( ) A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) 2.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x) 在开区间(a,b)内有极小值点 ( )

A.1 个 C .3 个

B.2 个 D.4 个

3.(2011· 嘉兴模拟)若函数 y=a(x3-x)在区间?-

?

3 3? 上为减函数,则 a 的取值范围是 , 3 3?

(

) A.a>0 C.a>1

B.-1<a<0 D.0<a<1

1 4.已知函数 f(x)= x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 2 ( )

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3 3 A.m≥ B.m> 2 2 3 3 C.m≤ D.m< 2 2 ax 5.设 a∈R,若函数 y=e +3x,x∈R 有大于零的极值点,则 A.a>-3 B.a<-3 1 1 C.a>- D.a<- 3 3 1 2 3 4 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) x2+a 6.(2009· 辽宁)若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1

(

)

5

7.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如右图所示,给出以下结论: ①函数 f(x)在(-2,-1)和(1,2)上是单调递增函数; ②函数 f(x)在(-2,0)上是单调递增函数,在(0,2)上是单调递减函数; ③函数 f(x)在 x=-1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值; ④函数 f(x)在 x=0 处取得极大值 f(0). 则正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号). 8.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范 围为________. 三、解答题(共 38 分) 2x+1 9.(12 分)求函数 f(x)= 2 的极值. x +2

10.(12 分)(2011· 秦皇岛模拟)已知 a 为实数,且函数 f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f′(x); (2)若 f′(-1)=0,求函数 f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值.

11.(14 分)(2011· 汕头模拟)已知函数 f(x)=x3+mx2+nx-2 的图象过点(-1,-6),且函 数 g(x)=f′(x)+6x 的图象关于 y 轴对称. (1)求 m,n 的值及函数 y=f(x)的单调区间; (2)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

答案 自主梳理 1.(1)增 增 (2)减 减 (3)增 减 2.(1)①f′(x)>0 f′(x)<0 ②f′(x)<0 f′(x)>0 (2)②f′(x)=0 ③f′(x)=0 极大值 极小值
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自我检测 1.C 2.D 3.C 4.C 5.18 解析 f′(x)=3x2+2ax+b, 2 ? ? ?f?1?=10, ?1+a+b+a =10, ? ? 由题意 即 ?f′?1?=0, ?3+2a+b=0, ? ? 得 a=4,b=-11 或 a=-3,b=3. 但当 a=-3 时,f′(x)=3x2-6x+3≥0,故不存在极值, ∴a=4,b=-11,f(2)=18. 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)一般地, 涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题, 往往可 以借助导数这一重要工具进行求解.函数在定义域内存在单调区间,就是不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 在定义域内有解.这样就可以把问题转化为解不等式问题. (2)已知函数在某个区间上单调求参数问题,通常是解决一个恒成立问题,方法有①分离 参数法,②利用二次函数中恒成立问题解决. (3)一般地,可导函数 f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件是:对任意 x∈(a,b),都 有 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0),且 f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零.特别是在已知函 数的单调性求参数的取值范围时,要注意“等号”是否可以取到. 解 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2). (2)∵函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, ∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立. ∵f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex ∴[-x2+(a-2)x+a]ex≥0 对 x∈(-1,1)都成立. ∵ex>0, ∴-x2+(a-2)x+a≥0 对 x∈(-1,1)都成立, 即 x2-(a-2)x-a≤0 对 x∈(-1,1)恒成立. 设 h(x)=x2-(a-2)x-a ?h?-1?≤0 ? 3 只须满足? ,解得 a≥ . 2 ?h?1?≤0 ? (3)若函数 f(x)在 R 上单调递减, 则 f′(x)≤0 对 x∈R 都成立,即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0 对 x∈R 都成立. ∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≥0 对 x∈R 都成立. ∴Δ=(a-2)2+4a≤0,即 a2+4≤0,这是不可能的. 故函数 f(x)不可能在 R 上单调递减. 若函数 f(x)在 R 上单调递增,则 f′(x)≥0 对 x∈R 都成立,即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0 对 x∈R 都成立. ∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≤0 对 x∈R 都成立. 而 x2-(a-2)x-a≤0 不可能恒成立, 故函数 f(x)不可能在 R 上单调递增. 综上可知函数 f(x)不可能是 R 上的单调函数. 变式迁移 1 解 (1) 由 题 意 得 f′(x) = 3x2 + 2(1 - a)x - a(a + 2) , 又 ? ?f?0?=b=0 ? , ?f′?0?=-a?a+2?=-3 ? 解得 b=0,a=-3 或 a=1.

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a+2 (2)由 f′(x)=0,得 x1=a,x2=- . 3 又 f(x)在(-1,1)上不单调, -1<a<1, ?-1<- 3 <1, ? ? 即? a+2 或? a+2 ?a≠- 3 ? ?a≠- 3 . a+2 -1<a<1, -5<a<1, ? ? ? ? 解得? 或? 1 1 ? ? ?a≠-2, ?a≠-2. 1 1 所以 a 的取值范围为(-5,- )∪(- ,1). 2 2 例 2 解题导引 本题研究函数的极值问题.利用待定系数法,由极值点的导数值为 0, 以及极大值、极小值,建立方程组求解.判断函数极值时要注意导数为 0 的点不一定是极值 点,所以求极值时一定要判断导数为 0 的点左侧与右侧的单调性,然后根据极值的定义判断 是极大值还是极小值. 解 (1)由题意可知 f′(x)=3ax2-b. 1 f′?2?=12a-b=0 ? ? ? ?a=3, 于是? 4 ,解得? ?f?2?=8a-2b+4=-3 ?b=4 ? ? 1 故所求的函数解析式为 f(x)= x3-4x+4. 3 2 (2)由(1)可知 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0 得 x=2 或 x=-2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示: x 2 (-∞,-2) -2 (-2,2) (2,+∞) 0 0 f′(x) + - + 极大 极小 f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 值 值

因此,当 x=-2 时, 28 f(x)有极大值 , 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值- , 3 所以函数的大致图象如图, 故实数 k 的取值范围为 4 28 (- , ). 3 3

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a 变式迁移 2 解 (1)f′(x)= +2bx+1, x f′?1?=a+2b+1=0 ? ? 2 1 ∴? .解得 a=- ,b=- . a 3 6 ?f′?2?=2+4b+1=0 ? ?x-1??x-2? 2 x (2)f′(x)=- +(- )+1=- . 3x 3 3x 函数定义域为(0,+∞),列表 x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) 0 0 f′(x) - + - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴x=1 是 f(x)的极小值点,x=2 是 f(x)的极大值点. 例 3 解题导引 设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大 值和最小值的步骤: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值. (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 解 (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c, 得 f′(x)=3x2+2ax+b, 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0;① 2? 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?3?=0, 3 可得 4a+3b+4=0.② 由①②解得 a=2,b=-4, 又切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5. (2)由(1),得 f(x)=x3+2x2-4x+5, ∴f′(x)=3x2+4x-4. 2 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x= , 3 2 ? ∴f′(x)<0 的解集为? ?-2,3?,即为 f(x)的减区间. 2 ? [-3,-2)、? ?3,1?是函数的增区间. 2? 95 又 f(-3)=8,f(-2)=13,f? ?3?=27,f(1)=4, 95 ∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27 变式迁移 3 解 (1)由题意得 f′(x)=3ax2+2x+b. 因此 g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. 因为函数 g(x)是奇函数, 所以 g(-x)=-g(x),即对任意实数 x, 有 a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b =-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b], 1 从而 3a+1=0,b=0,解得 a=- ,b=0, 3 1 3 2 因此 f(x)的表达式为 f(x)=- x +x . 3 1 3 (2)由(1)知 g(x)=- x +2x, 3 2 所以 g′(x)=-x +2,令 g′(x)=0,

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解得 x1=- 2,x2= 2, 则当 x<- 2或 x> 2时,g′(x)<0, 从而 g(x)在区间(-∞,- 2),( 2,+∞)上是减函数; 当- 2<x< 2时,g′(x)>0, 从而 g(x)在区间(- 2, 2)上是增函数. 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x=1, 2,2 时取得, 5 4 2 4 而 g(1)= ,g( 2)= ,g(2)= . 3 3 3 4 2 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2)= , 3 4 最小值为 g(2)= . 3 课后练习区 1.C 2.A 3.A 4.A 5.B 6.3 x2+a 解析 ∵f′(x)=( )′ x+1 ?x2+a?′· ?x+1?-?x2+a??x+1?′ x2+2x-a = = , ?x+1?2 ?x+1?2 又∵x=1 为函数的极值,∴f′(1)=0. ∴1+2×1-a=0,即 a=3. 7.②④ 解析 观察函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象,由单调性、极值与导数值的关系直接判断. 8.(-∞,-3)∪(6,+∞) 解析 f′(x)=3x2+2mx+m+6=0 有两个不等实根,则 Δ=4m2-12×(m+6)>0,∴m>6 或 m<-3. 2x+1 -2?x+2??x-1? 9.解 f′(x)=( 2 )′= ,由 f′(x)=0 得 x=-2,1.………………(4 分) x +2 ?x2+2?2 当 x∈(-∞,-2)时 f′(x)<0,当 x∈(-2,1)时 f′(x)>0,故 x=-2 是函数的极小值点, 1 故 f(x)的极小值为 f(-2)=- ;…………………………………………………………………(8 2 分) 当 x∈(-2,1)时 f′(x)>0,当 x∈(1,+∞)时 f′(x)<0, 故 x=1 是函数的极大值点, 所以 f(x)的极大值为 f(1)=1.……………………………………………………………(12 分) 10.解 (1)由 f(x)=x3-ax2-4x+4a, 得 f′(x)=3x2-2ax-4.…………………………………………………………………(4 分) 1 (2)因为 f′(-1)=0,所以 a= , 2 1 所以 f(x)=x3- x2-4x+2,f′(x)=3x2-x-4. 2 4 又 f′(x)=0,所以 x= 或 x=-1. 3 4 50 9 ? 又 f? ?3?=-27,f(-1)=2, 9 50 f(-2)=0,f(2)=0,所以 f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值分别为 、- .………(12 分) 2 27 11.解 (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6), 得 m-n=-3. ① 3 2 由 f(x)=x +mx +nx-2, 得 f′(x)=3x2+2mx+n,

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则 g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 2m+6 而 g(x)的图象关于 y 轴对称,所以- =0. 2×3 所以 m=-3,代入①,得 n=0.…………………………………………………………(4 分) 于是 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由 f′(x)>0,得 x>2 或 x<0, 故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)∪(2,+∞); 由 f′(x)<0,得 0<x<2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2).…………………………………………………………(8 分) (2)由(1)得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0, 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,2) 2 (-∞,0) (2,+∞) 0 0 f′(x) + - + f(x) 极大值 极小值 ? ? ?? ?? ……………………………………………………………………………………………(10 分) 由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(0)=-2,无极小值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.……………………………………………(12 分) 综上得:当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值.………………………………………………………(14 分)

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