版高中数学第一章三角函数1.3.3第2课时函数y=asin(ωx+φ)的图象与性质课件苏教版必修4_图文

第1章 1.3.3

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

学习目标
1.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式. 3.了解y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义,能指出简谐运动中的振 幅、周期、相位、初相.

内容索引

问题导学

题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象

思考1
用“五点法”作y=sin x,x∈[0,2π]时,五个关键点的横坐标 依次取哪几个值?
π 3π 答案 依次为0, 2,π, 2 ,2π.

答案

思考2
用“五点法” 作y=Asin(ωx+φ)时, 五个关键的横坐标取哪几个值?
答案 用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的简图,先令

π 3π t=ωx+φ,再由 t 取 0,2,π, 2 ,2π 即可得到所取五个关键点的 φ φ π φ π φ 3π φ 2π 横坐标依次为-ω,-ω+2ω,-ω+ω,-ω+2ω,-ω+ ω .

答案

梳理
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ) 的图象的步骤 第一步:列表:

ωx+φ x y

0 φ -ω 0

π 2 π φ 2ω-ω A

π π φ ω-ω 0

3π 2 3π φ 2ω-ω -A

2π 2π φ ω -ω 0

第二步:在同一坐标系中描出各点.

第三步:用光滑曲线连结这些点,形成图象.

知识点二

函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0的性质 性质 R __ [-A,A] _________ 2π T=___ ω
?kπ-φ ? ?(k∈Z) 对称中心? , 0 ? ω ?

名称 定义域 值域 周期性 对称性

对称轴

π kπ-φ x=2ω+ ω (k∈Z) ___________________

奇偶性
单调性

当φ=kπ(k∈Z)时是 奇 函数; 当φ=kπ+(k∈Z)时是偶 函数 通过整体代换可求出其单调区间

知识点三

函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义

一个弹簧振子作简谐振动,如图所示,该弹簧振子离开平衡位置的位移 随时间t变化的图象如下:

思考
πt 做简谐振动的物体离开平衡位置的位移s与时间t满足s=2sin , 2 图象中纵坐标2和横坐标4各具有怎样的物理意义?

2π 答案 2表示振幅,周期T= =4. π 2

答案

梳理
设物体做简谐运动时, 位移 s 与时间 t 的关系为 s=Asin(ωt+φ)(A>0, ω>0). 其中 A 是物体振动时离开平衡位置的 最大距离 ,称为振动的 振幅 ;往 2π 时间 复振动一次所需的 T= ω 称为这个振动的 周期 ; 单位时间内往复振 1 ω 次数 动的 f=T=2π称为振动的 频率 ;ωt+φ 称为 相位 ,t=0 时的相位 φ 称为 初相 .

A

ωx+φ

2π ω
ω 2π

φ

题型探究

类型一

用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象

例1

x π 利用五点法作出函数 y=3sin(2-3)在一个周期内的草图.

解答

反思与感悟
π 3π (1)用“五点法”作图时,五点的确定,应先令ωx+φ分别为0, ,π, , 2 2 2π,解出x,从而确定这五点.
(2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时,若x∈[m,n],则应先求出ωx + φ 的相应范围,在求出的范围内确定关键点,再确定 x, y的值,描点、 连线并作出函数的图象.

π π π 跟踪训练 1 已知 f(x)=1+ 2sin(2x-4),画出 f(x)在 x∈[-2,2]上的图象.

解答

类型二

由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

例2

如图是函数

? π? ? ? y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的图象, 求 ? ?

A, ω,

φ 的值,并确定其函数解析式.

解答

反思与感悟
若设所求解析式为 y= Asin(ωx+ φ) ,则在观察函数图象的基础上,可按 以下规律来确定A,ω,φ. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
2π (2)由函数图象与x轴的交点确定T,由T=|ω|,确定ω.

(3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值的两种方法

①代入法:把图象上的一个已知点代入 ( 此时A ,ω 已知) 或代入图象与 x
轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)

? ? φ ? ②五点对应法: 确定φ值时, 往往以寻找 “五点法” 中的第一个零点 ? - , 0 ? ω ? ? ?

作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下:

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0; π “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ= ; 2 “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π; 3π “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ= ; 2 “第五点”为ωx+φ=2π.

跟踪训练2 函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数的解析式
? π? ? ? y=2sin?2x-6? ? ? 为______________.

解析

?π ? ? π? ? ?? ? 由图可知,A=2,T=2?3-?-6??=π, ? ?? ?

π π 所以 ω=2.由五点作图法可知 2×3+φ=2,
? ? π π ? 2 x - 所以 φ=-6,所以函数的解析式为 y=2sin? ? ?. 6 ? ?

解析

答案

类型三

函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用

例3

π π 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的图象过点 P(12,0),

π 图象上与 P 点最近的一个最高点的坐标为(3,5).

(1)求函数解析式;

解答

(2)指出函数的单调增区间;
解 π π π ∵函数的单调增区间满足 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z),

π 2π ∴2kπ-3≤2x≤2kπ+ 3 (k∈Z), π π ∴kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z).
π π ∴函数的单调增区间为[kπ-6,kπ+3](k∈Z).

解答

(3)求使y≤0的x的取值范围.
解 π ∵5sin(2x-6)≤0,

π ∴2kπ-π≤2x-6≤2kπ(k∈Z),

5π π ∴kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z).
5π π 故所求 x 的取值范围是[kπ-12,kπ+12](k∈Z).

解答

反思与感悟

有关函数 y= Asin(ωx+ φ) 的性质的问题,要充分利用正弦曲线的性质,

要特别注意整体代换思想.

跟踪训练3 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),函数y=f(x)的图象的一 π 条对称轴是直线x= . 8 (1)求φ的值;
解 π 由 2x+φ=kπ+2,k∈Z,

kπ π φ kπ π φ π 得 x= 2 +4-2,令 2 +4-2=8, π 得 φ=kπ+4,k∈Z. 3π ∵-π<φ<0,∴φ=- 4 .
解答

(2)求函数y=f(x)的单调区间及最值.

? 3π? ? 由(1)知,f(x)=sin?2x- 4 ? ?. ? ?

π 3π π π 5π 由 2kπ-2≤2x- 4 ≤2kπ+2(k∈Z),得 kπ+8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z),
? π 5π? ? 故函数的单调增区间是?kπ+8,kπ+ 8 ? ?(k∈Z). ? ? ? 5π 9π? ? 同理可得函数的单调减区间是?kπ+ 8 ,kπ+ 8 ? ?(k∈Z). ? ?

3π π 5π 当 2x- 4 =2kπ+2(k∈Z),即 x=kπ+ 8 (k∈Z)时,函数取得最大值 1;
3π π π 当 2x- 4 =2kπ-2(k∈Z), 即 x=kπ+8(k∈Z)时, 函数取得最小值为-1.
解答

当堂训练

1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)的图象的一段如图所示,它的解析式
2 2π y=3sin(2x+ 3 ) 是_______________.

1

2

3

4

5

解析

答案

π π x 4π,2,-4 2.函数 y=-2sin(4-2)的周期、振幅、初相分别是___________.
解析 π x x π y=-2sin(4-2)=2sin(2-4),

2π 所以周期 T= 1 =4π, 2

π 振幅 A=2,初相 φ=-4.

1

2

3

4

5

解析

答案

4 3.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=___. 解析 设函数的最小正周期为T,
π π T 由函数图象可知2 =(x0+4)-x0=4,

π 2π 所以 T=2,又因为 T= ω ,可解得 ω=4.

1

2

3

4

5

解析

答案

4.已知函数
解析

? π? ? f(x)=sin?ωx+3? ?(ω>0)的最小正周期为 ? ?

π 0 π,则 f(3)=___.

2π π ω= π =2,所以 f(x)=sin(2x+3).

? π? π ? 将 x=3代入 f(x)=sin?2x+3? ?, ? ?

得f

?π? ? ? ? ?=0. ?3?

1

2

3

4

5

解析

答案

π π 5.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, -2<φ<2)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式;
解 易知 A= 2,T=4×[2-(-2)]=16,

2π π ∴ω= T =8, π ∴f(x)= 2sin(8x+φ),

π 将点(-2,0)代入得 sin(-4+φ)=0, π π 令-4+φ=0,∴φ=4, π π ∴f(x)= 2sin(8x+4).
1 2 3 4 5

解答

(2)写出f(x)的单调增区间.
解 π π π π 由-2+2kπ≤8x+4≤2+2kπ,k∈Z,

解得16k-6≤x≤16k+2,k∈Z,

∴f(x)的增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z.

1

2

3

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5

解答

规律与方法
1.利用 “五点”作图法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象时, 要先令 “ωx+ φ”

π 3 这一个整体依次取0, ,π, π,2π,再求出x的值,这样才能得到确定图 2 2
象的五个关键点,而不是先确定x的值,后求“ωx+φ”的值. 2.由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A,ω, φ的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.

2π (2)因为T= ,所以往往通过求得周期T来确定ω,可通过已知曲线与x轴 ω T 的交点从而确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ;相邻的两 2 个最高点(或最低点)之间的距离为T. φ (3)从寻找“五点法”中的第一个零点(-ω ,0)(也叫初始点)作为突破口, 以y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)为例,位于单调递增区间上离y轴最近的那
个零点最适合作为“五点”中的第一个点. 3.在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意采用整体代换的思想,

π 3π 如函数在ωx+φ= +2kπ(k∈Z)时取得最大值,在ωx+φ= +2kπ(k∈Z) 2 2 时取得最小值.

本课结束


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