高三数学一轮复习精析教案18《直线与圆锥曲线的位置关系》

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2
第 34 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一.【课标要求】 1.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题 二.【命题走向】 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置,且选 择、填空也有涉及,有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。 分析这类问题,往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法,对称的方法及韦达定理 等。 预测 2010 年高考: 1.会出现 1 道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题; 2.与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题,等轴双曲线基本不出题,坐标轴平移或 平移化简方程一般不出解答题,大多是以选择题形式出现 三.【要点精讲】 1.点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系
2.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及 有两个相异公共点 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因 为方程组解的个数与交点的个数是一样的 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称 轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双 曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:
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注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件, 但不是充分条件
3.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),

且由

?F

? ?

y

(x, y) ? 0 ? kx ? n

,消去

y→ax2+bx+c=0(a≠0),Δ

=b2

-4ac。

则弦长公式为:

d=

(x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 =

(1 ? k 2 )(x1 ? x2 )2 =

(1? k 2 )Δ

a2

=

(1 ? k 2 )Δ 。 |a|

焦点弦长: | PF | ? e (点 P 是圆锥曲线上的任意一点, F 是焦点, d 是 P 到相应于 d
焦点 F 的准线的距离, e 是离心率)。 四.【典例解析】
题型 1:直线与椭圆的位置关系

例 1.已知椭圆: x 2 ? y 2 ? 1,过左焦点 F 作倾斜角为 ? 的直线交椭圆于 A、B 两点,

9

6

求弦 AB 的长

解析:a=3,b=1,c=2 2 ,则 F(-2 2 ,0)。

由题意知:l : y ? 1 (x ? 2 2) 与 x 2 ? y 2 ? 1联立消去 y 得:4x 2 ? 12 2x ? 15 ? 0 。

3

9

设 A( x1, y1 ) 、B( x2 , y2 ) ,则 x1, x2 是上面方程的二实根,由违达定理,x1 ? x2 ? ?3 2 ,

x1 ? x2

?

15 4



xM

?

x1 ? x2 2

??3 2 2

又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点,

所以|AB|=

1?

1? 3

|

x1

?

x2

|?

2? 3

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

2 3

18 ?15 ? 2

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点评:也可让学生利用“焦半径”公式计算

例 2.中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点

横坐标为 1 ,求椭圆的方程 2

解析:设椭圆的标准方程为 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) ,由 F(1 0,

50 )得? a 2

? b2

? 50

把直线方程 y ? 3x ? 2 代入椭圆方程整理得:(a 2 ? 9b2 )x 2 ?12b2 x ? b2 (4 ? a 2 ) ? 0 。

设弦的两个端点为 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,则由根与系数的关系得:

x1 ? x2

?

12b 2 a 2 ? 9b 2

,又 AB 的中点横坐标为 1 ,? x1 ? x2

2

2

?

6b 2 a 2 ? 9b 2

?

1 2

? a 2 ? 3b2 ,与方程 a 2 ? b2 ? 50 联立可解出 a 2 ? 75, b2 ? 25

故所求椭圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 1。 75 25
点评:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及
中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由 F1(0, 50 )知,c= 50 ,? a 2 ? b2 ? 50 ,
最后解关于 a、b 的方程组即可
例 3.(2009 北京理)点 P 在直线 l : y ? x ?1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x2 于 A, B

两点,且| PA ?| AB | ,则称点 P 为“
()

点”,那么下列结论中正确的是

A.直线 l 上的所有点都是“ 点”

B.直线 l 上仅有有限个点是“ 点”

C.直线 l 上的所有点都不是“ 点”

D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点”
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题 和解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解,如图,
设 A?m, n?, P ? x, x ?1? ,
则 B ?2m ? x, 2n ? x ? 2? ,

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∵ A, B在y ? x2上 ,



? ?? 2n

?

x

n ? m2 ?1 ? (2m

?

x)2

消去 n,整理得关于 x 的方程 x2 ? (4m ?1)x ? 2m2 ?1 ? 0
∵ ? ? (4m ?1)2 ? 4(2m2 ?1) ? 8m2 ? 8m ? 5 ? 0 恒成立,
∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A. 【答案】A

(1)

例 4.已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ? 2 2 ,0)和 F2(2 2 ,0),长轴长为 6,设直
线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。
解析:设椭圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 1, a2 b2

由题意 a=3,c=2 2 ,于是 b=1.

∴椭圆 C 的方程为 x 2 +y2=1. 9

?y ? x?2



? ?

x

2

?? 9

?

y2

得 10x2+36x+27=0,
?1

因为该二次方程的判别式Δ >0,所以直线与椭圆有两个不同的交点, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),



x1+x2=

?

18 5



故线段 AB 的中点坐标为( ? 9 , 1 ). 55
点评:本题主要考查椭圆的定义标准方程,直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。 题型 2:直线与双曲线的位置关系
例 5.(1)过点 P( 7, 5) 与双曲线 x2 ? y2 ? 1有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它 7 25
们的方程。
(2)直线 y ? kx ?1与双曲线 3x2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在
双曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上?

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解析:(1)解:若直线的斜率不存在时,则 x ? 7 ,此时仅有一个交点 ( 7, 0) ,满足
条件;

若直线的斜率存在时,设直线的方程为 y ? 5 ? k(x ? 7) 则 y ? kx ? 5 ? k 7 ,

x2 ? (kx ? 5 ? k 7)2 ? 1, ∴ 25x2 ? 7(kx ? 5 ? k 7)2 ? 7 ? 25 ,

7

25

(25 ? 7k 2 )x2 ? 7 ? 2kx(5 ? k 7) ? (5 ? k 7)2 ? 7 ? 25 ? 0 ,

当 k ? 5 7 时,方程无解,不满足条件; 7
当 k ? ? 5 7 时, 2? 5 7x ?10 ? 75 方程有一解,满足条件; 7
当 k 2 ? 25 时,令 ? ? [14k(5 ? k 7)]2 ? 4(25 ? 7k 2 )[(5 ? k 7)2 ?165] ? 0 , 7
化简得: k 无解,所以不满足条件;

所以满足条件的直线有两条 x ? 7 和 y ? ? 5 7 x ?10 。 7

故当 ? 6?a?? 3 或 3?a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3?a 3 时,A、B 两点在双曲

线的两支上。

点评:与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交

于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条

例 5.(1)求直线 y ? x ?1被双曲线 x2 ? y2 ? 1截得的弦长; 4

(2)求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x2 ? y2 ? 1截得的弦中点轨迹方程 4

解析:由

? ?

x2

?

y2

?1

?4

?? y ? x ?1 得 4x2 ? (x ?1)2 ? 4 ? 0 得 3x2 ? 2x ? 5 ? 0 (*)

2

5

设方程(*)的解为 x1, x2 ,则有 x1 ? x2 ? 3 , x1x2 ? ? 3 得,

d?

2 | x1 ? x2 |?

2

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

2

4 ? 20 ? 8 93 3

2

(2)方法一:若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点,则设直线的方程为 y ? kx ?1,

它被双曲线截得的弦为 AB 对应的中点为 P(x, y) ,

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? y ? kx ?1

?



? ??

x

2

?

y2 4

?

1


(4

?

k

2

)

x

2

? 2kx ? 5 ? 0 (*)

设方程(*)的解为 x1, x2 ,则 ? ? 4k 2 ? 20(4 ? k 2 ) ? 0 ,

∴16k 2 ? 80,| k |? 5 ,



x1

?

x2

?

2k 4?k2

,

x1x2

?

?

4

5 ?k2





x

?

1 2

( x1

?

x2 )

?

k 4?k2

,

y

?

1 2

( y1

?

y2 )

?

1 2

( x1

?

x2 )

?1?

4 4?k2



??? x

?

4

k ?k2

?

? ??

y

?

4

4 ?k2

得 4x2 ? y2 ? y ? 0( y ? ?4 或 y ? 0) 。

方法二:设弦的两个端点坐标为 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,弦中点为 P(x, y) ,则

??4x12 ? y12 ? 4

? ??4

x2

2

?

y22

?

4

得:

4( x1

?

x2 )(x1

?

x2 )

?

( y1

?

y2 )( y1

?

y2 )



y1 ? y2 ? 4(x1 ? x2 )

∴ x1 ? x2

y1 ? y2 ,

y ? 4x 即 x y ?1 ,

即 4x2 ? y2 ? y ? 0 (图象的一部分)

点评:(1)弦长公式| AB |?

1? k 2 | x1 ? x2 |?

1?

1 k2

|

y1

?

y2

| ;(2)有关中点弦

问题的两种处理方法。

例 7.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲 线离心率的范围。

解析:设双曲线的方程为 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) , F (c, 0) ,渐近线

y

?

b a

x

,则过

?b2 x2 ? a2 y2 ? a2b2 ? 0

F

的直线方程为

y

?

?

a b

(x

?

c)

,则

? ? ??

y

?

?

a b

(x

?

c)



代入得 (b4 ? a4 )x2 ? 2a4cx ? a4c2 ? a2b4 ? 0 ,



?? ? 0

? ?

x1x2

?

0

即得 b4

?

a4



∴ b ? a ,即得到 e ? 2 。
点评:直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系,取值

范围往往与判别式的取值建立联系

题型 3:直线与抛物线的位置关系

例 8.已知抛物线方程为 y 2 ? 2 p(x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F

且被抛物线截得的弦长为 3,求 p 的值。

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解析:设 l 与抛物线交于 A(x1, y1), B(x2, y2 ), 则 | AB |? 3.

由距离公式|AB|=

(x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 =

1?

1 k2

|

y1 ?

y2

|?

2 | y1 ? y2 |,

则有( y1 ? y2 )2

? 9. 2

由 ??x
?

?

y

?

?1 ?

p 2

,消去x,得y 2

?

2 py

?

p2

?

0.

?? y 2 ? 2 p(x ? 1).

? ? (2 p)2 ? 4 p 2 ? 0. ? y1 ? y2 ? ?2 p, y1 y2 ? ? p 2 .

从而 ( y1

?

y2 )2

?

( y1

?

y2 )2

? 4 y1 y2 ,即(?2 p)2

? 4p2

?

9 .由于
2

p>0,解得

p

?

3. 4

点评:方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交;有两组相同实数解则相切;无

实数解则相离。

例 9.2003 上海春,4)直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是_____.

答案:(3,2)

解法一:设直线 y=x-1 与抛物线 y2=4x 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为 P(x0,y0)。

由题意得

? ? ?

y y

? x ?1 2 ? 4x

,(x-1)2=4x,x2-6x+1=0。

∴x0=

x1

? 2

x2

=3.y0=x0-1=2.∴P(3,2)。

解法二:y22=4x2,y12=4x1,y22-y12=4x2-4x1,

( y2

? y1 )( y2 x2 ? x1

?

y1 )

=4.∴y1+y2=4,即

y0=2,x0=y0+1=3。

故中点为 P(3,2)。 点评:本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法 二中的横坐标的求法。

例 10.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y

轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ).

A. y2 ? ? 4x

B. y2 ? ? 8x

C. y2 ? 4x

D. y2 ? 8x

【解析】 抛物线 y2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( a , 0) ,则直线 l 的方程为 4

y ? 2(x ? a ) ,它与 y 轴的交点为 A (0, ? a ) ,所以△OAF 的面积为 1 | a | ? | a |? 4 ,解得

4

2

24 2

a ? ?8 .所以抛物线方程为 y2 ? ? 8x ,故选 B.

【答案】B 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角 形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号

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不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值 号可以做到合二为一.

例 11.(2009 全国卷Ⅱ文)已知直线 y ? k(x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y 2 ? 8x 相交 A、 B 两点,F 为 C 的焦点。若 FA ? 2 FB ,则 k= ( )

A. 1

B. 2

C. 2

D. 2 2

3

3

3

3

【解析】本题考查抛物线的第二定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0),



FA

?

2

FB

及第二定义知

xA

?

2

?

2( xB

?

2)

联立方程用根与系数关系可求

k=

22 3

.

【答案】D

五.【思维总结】 1.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性
质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思 想来设。而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考 查;
2.关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法。利用引入一个参数 表示动点的坐标 x、y,间接把它们联系起来,减少变量、未知量采用参数法。有些题目还 常用它们与平面几何的关系,利用平面几何知识会化难为易,化繁为简,收到意想不到的 解题效果;
3.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组 成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想 方法;
4.当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦 长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与 量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍;

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