18学年高中数学第一章三角函数9三角函数的简单应用教学案北师大版必修4

9 三角函数的简单应用 讲一讲 1.某海滨浴场的海浪高度 y(单位:m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下表是测得的 某日各时的浪高数据: t y 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5 经长期观测,函数 y=f(t)的图像可以近似地看成函数 y=Acos(ω t+φ )+b(A>0,ω >0)的 图像. (1)根据上表数据,求 y=Acos(ω t+φ )+b 的解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 m 时才对冲浪者开放,请依据(1)的结论,判断一天内从上 午到晚上(8:00~20:00),开放冲浪场所的具体时间段,有多长时间可供冲浪者进行活动? 2π π [尝试解答] (1)由表中的数据,知最小正周期 T=12 小时,ω = = ,φ =0, T 6 故函数解析式为 y=Acos π t+b.由 t=0 时,y=1.5 得 A+b=1.5, 6 由 t=3 时,y=1.0 得 b=1,∴A=0.5, 故函数解析式为 y=0.5cos π t+1. 6 (2)由题意可知,当 y>1 时才对冲浪者开放, 即 0.5cos π π t+1>1,cos t>0, 6 6 π π π 则 2kπ - < t<2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3(k∈Z), 又∵8≤t≤20,∴k=1,∴9<t<15, 故在规定时间从上午 8:00 到晚上 20:00,有 6 个小时的时间可供冲浪者进行活动,开放冲 浪场所的具体时间段为上午 9:00 到下午 15:00. -1- 根据给出的函数模型, 利用表中的数据, 找出变化规律, 运用已学的知识与三角函数的知识, 求出函数解析式中的参数,将实际问题转化三角方程或三角不等式,然后解方程或不等式,可使 问题得以解决. 练一练 1.在一个港口,相邻两次高潮发生时间相距 12 h,低潮时水的深度为 8.4 m,高潮时为 16 m, 一次高潮发生在 10 月 10 日 4:00.每天涨潮落潮时,水的深度 d(m)与时间 t(h)近似满足关系式 d=Asin(ω t+φ )+h(A>0,ω >0). (1)若从 10 月 10 日 0:00 开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述该港口的水深 d(m) 和时间 t(h)之间的函数关系; (2)10 月 10 日 17:00 该港口水深约为多少?(保留一位小数) (3)10 月 10 日这一天该港口共有多少时间水深低于 10.3 m? 2π 解:(1)依题意知 T= =12, ω π 8.4+16 故 ω = ,h= =12.2, 6 2 A=16-12.2=3.8, π 所以 d=3.8sin( t+φ )+12.2; 6 4π 又因为 t=4 时,d=16,所以 sin( +φ )=1, 6 π π π 所以 φ =- ,所以 d=3.8sin( t- )+12.2. 6 6 6 17π π (2)t=17 时,d=3.8sin( - )+12.2 6 6 2π =3.8sin +12.2≈15.5(m). 3 π π (3)令 3.8sin( t- )+12.2<10.3, 6 6 π π 1 有 sin( t- )<- , 6 6 2 7π π π 11π 因此 2kπ + < t- <2kπ + (k∈Z), 6 6 6 6 4π π 所以 2kπ + < t<2kπ +2π ,k∈Z, 3 6 所以 12k+8<t<12k+12. 令 k=0,得 t∈(8,12);令 k=1,得 t∈(20,24). -2- 故这一天共有 8 小时水深低于 10.3 m. 讲一讲 2.如图所示的为一个观览车示意图,该观览车的半径为 4.8 m,圆上最低点与地面的距离为 0.8 m,60 s 转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与 地面的距离为 h. (1)求 h 与 θ 之间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式; (3)求缆车首次到达最高点所用的时间. [尝试解答] (1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, π 则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ - , 2 故点 B 的坐标为 π π (4.8cos(θ - ),4.8sin(θ - )), 2 2 π ∴h=5.6+4.8sin(θ - )=5.6-4.8cos θ (θ ≥0). 2 π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 rad/s, 30 π 故 t 秒转过的弧度数为 t, 30 ∴h=5.6-4.8cos πt ,t∈[0,+∞). 30 (3)到达最高点时,h=10.4 m. 由 cos π π t=-1,得 ×t=π ,∴t=30. 30 30 ∴缆车首次到达最高点所用的时间为 30 s. -3- 解答三角函数应用题的一般步骤: 练一练 2.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为 2 m, 3 圆环的圆心距离地面的高度为 1 m,蚂蚁每分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点 P0 处. (1)试确定在时刻 t(单位:s)时蚂蚁距离地面的高度 h(单位:m); 2 (2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过 m? 3 解: (1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设 t s 时蚂蚁到达点 P,则蚂蚁转过 2π π 的角的弧度数为 t= t, 60 30 2 π π 2 π 于是点 P 的纵坐标 y= sin( t- )=- cos t. 3 30 2 3 30 2 π ∴h=1+y=1- cos t(t≥0). 3 30 2 π 2 π 1 (2)由 1- cos t> 得 cos t<

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