高中数学新课程创新教学设计案例50篇(01)集合的概念和表示方法

1 集合的概念和表示方法

教材分析
集合概念的基本理论,称为集合论.它是近、现代数学的一个重要基础.一方面,许多重要 的数学分支,如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等,都建立在 集合理论的基础上.另一方面,集合论及其反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应 用.在小学和初中数学中,学生已经接触过集合,对于诸如数集(整数的集合、有理数的集 合) 点集 、 (直线、 等, 圆) 有了一定的感性认识. 这节内容是初中有关内容的深化和延伸. 首 先通过实例引出集合与集合元素的概念, 然后通过实例加深对集合与集合元素的理解, 最后 介绍了集合的常用表示方法,包括列举法,描述法,还给出了画图表示集合的例子.本节的 重点是集合的基本概念与表示方法, 难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描 述法正确表示一些简单的集合.

教学目标
1. 初步理解集合的概念,了解有限集、无限集、空集的意义,知道常用数集及其记法. 2. 初步了解“属于”关系的意义,理解集合中元素的性质. 3. 掌握集合的表示法,通过把文字语言转化为符号语言(集合语言),培养学生的理解、 化归、表达和处理问题的能力.

任务分析
这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解,这里主要根据实例引出概念.介绍集合的概 念采用由具体到抽象,再由抽象到具体的思维方法,学生容易接受.在引出概念时,从实例 入手,由具体到抽象,由浅入深,便于学生理解,紧接着再通过实例理解概念.集合的表示 方法也是通过实例加以说明,化难为易,便于学生掌握.

教学设计
一、问题情境 1. 在初中,我们学过哪些集合? 2. 在初中,我们用集合描述过什么? 学生讨论得出: 在初中代数里学习数的分类时,学过“正数的集合”,“负数的集合”;在学习一元一次不等式 时,说它的所有解为不等式的解集.

在初中几何里学习圆时, 说圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 几何图形都可以看成点 的集合. 3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近? 学生讨论得出: “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”,…… 4. 请写出“小于 10”的所有自然数. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.这些可以构成一个集合. 5. 什么是集合? 二、建立模型 1. 集合的概念(先具体举例,然后进行描述性定义) (1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集. (2)集合中的每个对象叫作这个集合的元素. (3)集合中的元素与集合的关系: a 是集合 A 中的元素,称 a 属于集合 A,记作 a∈A;

a 不是集合 A 中的元素,称 a 不属于集合 A,记作 a

A.

例:设 B={1,2,3},则 1∈B,4 2. 集合中的元素具备的性质

B.

(1)确定性:集合中的元素是确定的,即给定一个集合,任何一个对象是否属于这个集合 的元素也就确定了.如上例,给出集合 B,4 不是集合的元素是可以确定的. (2)互异性:集合中的元素是互异的,即集合中的元素是没有重复的. 例:若集合 A={a,b},则 a 与 b 是不同的两个元素. (3)无序性:集合中的元素无顺序. 例:集合{1,2}与集合{2,1}表示同一集合.

3. 常用的数集及其记法 全体非负整数的集合简称非负整数集(或自然数集),记作 N. 非负整数集内排除 0 的集合简称正整数集,记作 N*或 N+; 全体整数的集合简称整数集,记作 Z; 全体有理数的集合简称有理数集,记作 Q; 全体实数的集合简称实数集,记作 R. 4. 集合的表示方法 [问 题] 如何表示方程 x2-3x+2=0 的所有解? (1)列举法 列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法. 例:x2-3x+2=0 的解集可表示为{1,2}. (2)描述法 描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. 例:①x2-3x+2=0 的解集可表示为{x|x2-3x+2=0}. ②不等式 x-3>2 的解集可表示为{x|x-3>2}. ③Venn 图法 例:x2-3x+2=0 的解集可以表示为(1,2). 5. 集合的分类 (1)有限集:含有有限个元素的集合.例如,A={1,2}. (2)无限集:含有无限个元素的集合.例如,N.

(3)空集:不含任何元素的集合,记作 注:对于无限集,不宜采用列举法.

.例如,{x|x2+1=0,x∈R}=



三、解释应用 [例 题] 1. 用适当的方法表示下列集合. (1)由 1,2,3 这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数. (2)平面内到一个定点 O 的距离等于定长 l(l>0)的所有点 P. (3)在平面 a 内,线段 AB 的垂直平分线. (4)不等式 2x-8<2 的解集. 2. 用不同的方法表示下列集合. (1){2,4,6,8}. (2){x|x2+x-1=0}. (3){x∈N|3<x<7}. 3. 已知 A={x∈N|66-x∈N}.试用列举法表示集合 A. (A={0,3,5}) 4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合. [练 习] 1. 用适当的方法表示下列集合. (1)构成英语单词 mathematics(数字)的全体字母. (2)在自然集内,小于 1000 的奇数构成的集合. (3)矩形构成的集合. 2. 用描述法表示下列集合. (1){3,9,27,81,…}.

(2) 四、拓展延伸

把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述. (1){(x,y)|y=x2+1,x∈R}. (2){y|y=x2+1,x∈R}. (3){(x,y)|y=x2+1,x∈R}. (4){x|y=x2+1,y∈N*}.

点 评
这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡,以旧引新,从学生的原有知识、经验出发,创设问 题情境;从实例引出集合的概念,再结合实例让学生进一步理解集合的概念,掌握集合的表 示方法.非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点.这样做,通俗易懂,使学生便于学习 和掌握.例题、练习由浅入深,对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益.拓 展延伸注重数学语言的转化和训练, 注重区分形似而质异的数学问题, 加强了学生对数学概 念的理解和认识.


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