2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版选修2_2

309 教育网 www.309edu.com 1.3.1 函数的单调性与导数 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间. 1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数 y=f(x) f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上 导数的绝对值 函数值变化 越大 快 越小 慢 f(x)的单调性 单调递增 单调递减 函数的图象 比较“陡峭” (向上或向下) 比较“平缓” 1.从导数的几何意义理解单调性与导数符号的关系 (1)如果 f′(x)>0,即切线的斜率为正,则切线的倾斜角为锐角,曲线呈上升趋势,即 函数单调递增. (2)如果 f′(x)<0,即切线的斜率为负,则切线的倾斜角为钝角,曲线呈下降趋势,即 函数单调递减. (3)如果 f′(x)=0 恒成立,则切线的斜率为 0,切线的倾斜角为 0,图象没有上升或下 降的趋势,该函数为常数函数. 2.导数与函数图象的关系 图象 f′(x) 变化 f′(x)>0 且越来 309 教育资源库 www.309edu.com f′(x)>0 且越来 f′(x)<0 且越来 f′(x)<0 且越来 规律 函数 值变 化规律 309 教育网 www.309edu.com 越大 函数值增 加得越来 越快 越小 函数值增 加得越来 越慢 越小 函数值减 小得越来 越快 越大 函数值减 小得越来 越慢 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0,则函数 f(x)在定义域上单调递增.( ) (2)若函数 f(x)在某区间内单调递增,则一定有 f′(x)>0.( ) (3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且 f(a)≥0,则在(a,b)内有( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)=0 D.不能确定 答案:A 函数 f(x)=2x2-x 的单调递增区间是( ) A.???14,+∞??? B.???-∞,14??? C.???-14,+∞??? D.???-∞,-15??? 答案:A 函数 f(x)=cos x+32x 的单调递增区间是________. 解析:因为 f′(x)=-sin x+32>0,所以 f(x)在 R 上为增函数. 答案:(-∞,+∞) 探究点 1 导数与函数图象的关系 (1)已知 f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,若 y=f′(x)的图象如图所示,则函 数 y=f(x)的图象可能是( ) 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com (2)函数 y=f(x)在定义域???-32,3???内可导,其图象如图所示,记 y=f(x)的导函数为 y =f′(x),则不等式 f′(x)<0 的解集为________. 【解析】 (1)由导函数的图象可知,当 x<0 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在(-∞,0) 上为增函数;当 0<x<2 时,f′(x)<0,即函数 f(x)在(0,2)上为减函数;当 x>2 时,f′(x)>0, 即函数 f(x)在(2,+∞)上为增函数.观察选项易知 D 正确. (2)函数 y=f(x)在区间???-13,1???和区间(2,3)上单调递减,所以在区间???-13,1???和区间 (2,3)上,y=f′(x)<0,所以 f′(x)<0 的解集为???-13,1???∪(2,3). 【答案】 (1)D (2)???-13,1???∪(2,3) 1.若本例(2)中的条件不变,试求不等式 f′(x)>0 的解集. 解:根据题目中的图象,函数 y=f(x)在区间(-32,-13)和区间(1,2)上为增函数, 所以在区间???-32,-13???和区间(1,2)上,y=f′(x)>0, 所以 f′(x)>0 的解集为???-32,-13???∪(1,2). 2.若本例(2)中的条件不变,试求不等式 xf′(x)>0 的解集. 解:由本例(2)及互动探究 1 以及已知条件可知, 当 x∈???-13,0???时,函数为减函数, 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 则 f′(x)<0; 当 x∈(1,2)时,函数为增函数, 则 f′(x)>0. 综上可知:xf′(x)>0 的解集为???-13,0???∪(1,2). 研究函数图象与导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数图象与导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数, 要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其 函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是 否一致. [注意] 利用导函数单调性可以判断原函数图象的凹凸性:若 f′(x)>0 且单调递增, 则原函数 f(x)的图象上升且下凸;若 f′(x)>0 且单调递减,则原函数 f(x)的图象上升且上 凸;当 f′(x)<0 时判定方法类同. 1.设函数 f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则导函数 f′(x) 的图象可能为( ) 解析:选 D.由图象可知,y=f(x)在(-∞,0)上是增函数,因此在 x<0 时,有 f′(x)>0(即 全部在 x 轴上方),故排除 A,C.从原函数图象上可以看出,在区间(0,x1)上原函数是增函 数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上原函数是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上原函数 是增函数,f′(x)>0,故排除 B

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