2017学年高中数学第三章不等式章末优化总结课件新人教A版必修5

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章末检测(三)

专题一

一元二次不等式解法及应用

1.一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统 一的整体.贯穿于高中数学的始终,更是高考的重点内容,在考题中 有时单独对某类不等式的解法进行考查,一般以小题形式出现,难度 不大,但有时在解答题中与其他知识联系在一起,难度较大.

2.解一元二次不等式的关键是确定二次项系数的符号,把系数化为 正数,利用相应方程根表示不等式的解集,含参数的不等式要注意对 参数分类讨论.对含参数不等式的恒成立问题,其解决的关键便是转 化与化归思想的运用,解决办法有判别式法、分离参数法、变更主元 法等.

?a+1?x-3 已知关于 x 的不等式: <1. x- 1 (1)当 a=1 时,解该不等式; (2)当 a>0 时,解该不等式.

[解析]

2x-3 (1)当 a=1 时,不等式化为 <1, x- 1

x-2 化为 <0, x-1 ∴1<x<2. 解集为{x|1<x<2}.

2? a x-a? ? ? (2)原不等式可化为 <0. x-1 2 ①当a=1 即 a=2 时,解集为?;
? ? ? ? 2 2 ? ②当a>1 即 0<a<2 时,解集为?x|1<x<a? ; ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ③当a<1 即 a>2 时,解集为?x|a<x<1? . ? ? ?

? ? ? ?

1.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是 ________.

2 x +4 解析: 法一: 当 x∈(1,2)时, 不等式 x2+mx+4<0 恒成立?m<- x
? ? 4? 4? 4? ? ? ? ? =- x+x?在 x∈(1,2)上恒成立,设 φ(x)=-?x+x?,φ(x)=-?x+x? ?∈ ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(-5,-4),故 m≤-5. 法二:设 f(x)=x2+mx+4,因为当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0
?f?1?≤0, ?5+m≤0, 恒成立,所以? 即? 解得 m≤-5. f ? 2 ? ≤ 0 , 8 + 2 m ≤ 0. ? ?

答案:(-∞,-5]

专题二

简单的线性规划问题

1.高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体应用, 命题形式以选择题、填空题为主,命题模式是以线性规划为载体,考 查区域的划分、区域的面积,涉及区域的最值问题、决策问题、整点 问题、参数的取值范围问题等.

2.解答这类题目关键确定可行域,其方法是直线定界、特殊点定域, 但要注意不等式是否可取等号,不可取等号时直线画成虚线,可取等 号时直线画成实线.若直线不过原点,特殊点常选取原点.在求目标 函数的最值时,要作出目标函数对应的直线,据题意确定取得最优解 的点,进而求出目标函数的最值.

x-y≤10, ? ? (1)设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, 则 2x+3y 的最大值 ? ?0≤y≤15, 为( A.20 C.45 ) B.35 D.55

y≥x, ? ? (2)已知 z=2x+y,x,y 满足?x+y≤2, 且 z 的最大值是最小值的 ? ?x≥a, 4 倍,则 a 的值是( 1 A. 3 1 C. 5 ) 1 B. 4 1 D. 6

[解析] (1)画出可行域如图: 设 z=2x+3y,最优解为 A(5,15). 代入得 z=2×5+3×15=55. (2)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区 域及直线 2x+y=0,平移该直线,当相应直线分别经过该平面区域内的点 (a,a)与(1,1)时,相应直线在 x 轴上的截距达到最小与最大,此时 z=2x+ 1 y 取得最小值与最大值,于是有 2×1+1=4(2a+a),a= . 4 [答案] (1)D (2)B

x+y-2≤0, ? ? 2.(1)若 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0, 则 3x+y 的最大值为 ? ?2x-y+2≥0, ________.

解析:设 z=3x+3y,根据约束条件,作出可行域如图所示,将目标
?x+y-2=0, 函数化为 y=-3x+z, 通过平移可知当目标函数过? 的 x - 2 y + 1 = 0 ?

交点(1,1)时,有最大值 4.

答案:4

x+y≥3, ? ? y+1 x - y ≥- 1 , (2)设变量 x, y 满足约束条件: 则目标函数 z= x 的 ? ? ?2x-y≤3, 最小值为________.

解析:不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC,目标函数的几何 意义是区域内的点与点 P(0,-1)连线的斜率, 显
?x+y=3, 然图中 AP 的斜率最小.由? 解得点 A ?2x-y=3

y+1 的坐标为 (2,1),故目标函数 z= x 的最小值为 1+1 =1. 2

答案:1

专题三

利用基本不等式求最值

1.考试中单纯对不等式性质的考查并不多,但是不等式作为工具几 乎渗透到各个考点,所以其重要性不言而喻.而利用基本不等式求最 值,解决实际问题是考试的热点,题型既有选择题、填空题,又有解 答题,难度为中、低档题;

2.不等式的基本性质是解决不等式有关问题的基础,在应用中,要 注意各性质的条件和结论,看交换条件和结论是否依然成立,也就是 说要观察每条性质是否具有可逆性. 在应用基本不等式求最值时,要把握三个方面,即“一正——各项都 是正数;二定——和或积为定值;三相等——等号能取得”,这三个 方面缺一不可.

→ → → (1)设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0, 1 2 b>0, O 为坐标原点, 若 A, B, C 三点共线, 则a+b的最小值为________. ?x+5??x+2? (2)若 x>-1,则 f(x)= 的最小值为________. x+1

[解析]

→ =OB → -OA → =(a-1,1), (1)AB

→ =OC → -OA → =(-b-1,2). AC → 与AC → 共线, 因为AB 所以 2(a-1)+b+1=0,即 2a+b=1. 因为 a>0,b>0, 2? 1 2 ? ?1 所以a+b=?a+b? ?(2a+b) ? ? b 4a =4+a+ b ≥4+2 b 4a a· b =8,

? ?2a+b=1, 1 1 当且仅当?b 4a 即 a= ,b= 时等号成立. 4 2 =b, ? a ?
1 2 所以a+b的最小值为 8. (2)因为 x>-1,所以 x+1>0, ?x+5??x+2? x2+7x+10 f(x)= = x+ 1 x+ 1 ?x+1?2+5?x+1?+4 = x+ 1

4 =(x+1)+ +5, x+1 所以 f(x)=(x+1)+ 4 +5≥2 x+1 4 ?x+1?· +5=9. x+1

4 当且仅当 x+1= ,即 x=1 时,等号成立. x+ 1 故当 x=1 时,f(x)min=9.
[答案] (1)8 (2)9

1 2 3.若实数 a,b 满足a+b= ab,则 ab 的最小值为( A. 2 C.2 2 B. 2 D.4

)

1 2 1 2 解析:由a+b= ab可得 a>0,b>0,所以 ab=a+b≥2

2 ab,即

?1=2 ?a b ab≥2 2,当且仅当? ?1+2= ab ?a b
“=”,所以 ab 的最小值为 2 2.
答案:C

,即 a=4

2 ,b=24

2 时取


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