山东文登第一中学2014-2015学年高一下学期期末数学试题


2014—2015 山东省威海一中高一第二学期期末数学试卷
1. sin 240 ?
?

(A)

3 2

(B)

1 2

(C) ?

3 2

(D) ?

1 2

2.下列向量与 a ? (1, 2) 共线的是 (A) (2,1) (B) (1, ?2) (C) (?1, ?2) (D) (2, ?1) 3.右图程序框图输出的结果为

?

4 6 (D) 9 13 ? ? ? ? ? ? 4.已知非零向量 a, b 满足 (a ? b) ? (a ? b) ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? (A) a ? b (B) | a |?| b | (C) a ? b (D) a ∥ b
(A) (B) (C) 5.已知 tan ? ? 3 ,则 cos 2? ? (A)

5 11

5 13

第 4 题图

3 5

(B)

4 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5
一年级 二年级 x 370 三年级 y z

6.某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数 如表.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二 年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在 全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生 人数为 A.24 B.18 C.16 D.12 女生 男生 373 377

7.对于函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) ,下列说法正确的是

(A)函数的最小正周期为 (C)函数在 ?

? ? ? 处取得最大值 (D)函数在 (? , ) 单调递减 12 6 12 8.某产品的广告费用支出 x (万元)与产品销售额 y (万元)之间的统计数据如下:
广告费用支出 x (万元) 产品销售额 y (万元)
?

? 2

(B)函数关于 (

?
6

, 0) 中心对称

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

求得回归直线方程为 y ? bx ? 17.5 ,若投入 12 万元的广告费用,估计销售额为 (A) 82.5 万元 (B) 90 万元 (C) 95.5 万元 (D) 100.5 万元

9.袋中共有 6 个大小质地完全相同的小球,其中有 2 个红球、 1 个白球和 3 个黑球, 从袋中任取两球,至少有一个黑球的概率为

(A)

3 4

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

4 5

10.在△ ABC 中,角 A 为钝角, AB ? 1, AC ? 3 , AD 为 BC 边上的高,已知 AD ? xAB ? y AC , 则 x 的取值范围为 (A) ( ,

??? ?

??? ?

3 9 ) 4 10

(B) ( ,

1 9 ) 2 10

(C) ( , )

3 3 5 4

(D) ( , )

1 3 2 4

11. 855? 转化为弧度数为______________. 12. 已知 a ? (?2,?1),b ? (?,1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的范围是 13. 某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概 率为 __________. 14. | a |? 4 , a 与 a ? b 的夹角为 30 ,则 b 的最小值为__________.
?

?

?

? ?

15.一半径为 6 米的水轮如图,水轮圆心 O 距离水面 3 米, 已知水轮每分钟转动 4 圈,水轮上点 P 从水中浮现时开始 到其第一次达到最高点的用时为___________秒.

.O P

第 15 题图

高一数学综合测试题 11
题号 答案 二、填空题 11. 12. 13. 14. 一车间 15. 二车间 三车间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

16. (本小题满分 12 分) 某单位对三个车 间的人数统计情况如下表:用分层抽样的 方法从三个车间抽取 30 人,其中三车间有

男职工 女职工

200 600

100

250 550

k

12 人.(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)为了考察职工加班情况,从编号 000~199 中的一车间男职工中, 用系统抽样法先后抽取 5 人的全年加班天数分别为 75,79,82,73,81.已知 73 对应的编号为 145,75 对应的编号是多少?并求这五个人加班天数的方差.

17. (本小题满分 12 分) 如图,两同心圆(圆心在原点)分别与 OA 、 OB 交于 A 、 B 两点,其中

A( 2 ,1) , | OB |? 6 ,阴影部分为两同心圆构成的扇环,已知扇环的面积为
( Ⅰ ) 设 角 ? 的 始 边 为 x 轴 的 正 半 轴 , 终 边 为 OA , 求

? . 2
y
B

tan(? ? ? ) cos(? ? sin (2? ? ? )

3? ) 2 的值;(Ⅱ)求点 B 的坐标.

A
O

x

18. (本小题满分 12 分)已知 a, b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a, b 的夹角

19. (本小题满分 12 分) 从某学校的 800 名男生中抽 取 40 名测量身高,并制成如下频率分布 直方图,已知 x : y : z ? 1: 2 : 4 .(Ⅰ)求调查对象中身高介于 [165,175) 之间的人数;(Ⅱ) 估计该校男生中身高在 180cm 以上的人数; (Ⅲ)从抽取的身高在 [160,170) 之间的男生中任 选 3 人,求至少有 1 人身高在 [160,165) 之间的概率.

? 是直径为 2 2 的 20. (本小题满分 13 分) 如图:BCD
? 上一点, 半圆, O 为圆心, C 是 BD

? ? 2CD ? . DF ? CD ,且 DF ? 2 , BF ? 2 3 , E 为 FD 的中点,Q 为 BE 的中点, 且 BC
R 为 FC 上一点,且 FR ? 3RC . (Ⅰ) 求证: 面 BCE ⊥面 CDF ;
(Ⅱ)求证: QR ∥平面 BCD ; (Ⅲ)求三棱锥 F ? BCE 的体积. B Q O C R D F

E

21. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) ? k , ( ? ? 0, ? 为 ? ,且在 x ? ?

?
2

?? ?

?
2

)的最小正周期

?
6

处取得最小值 ?2 .

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)将 f ( x) 的图象向左平移

?
6

个单位后得到函数 g ( x) ,设 A, B, C 为三角形的三个内角,

若 g ( B) ? 0 ,且 m ? (cos A,cos B), n ? (1,sin A ? cos A tan B) ,求 m ? n 的取值范围.

??

?

?? ?

高一数学参考答案
一、选择题:C 二、填空题 11.

CABD CBCDA
1 ,? ? 2 2
13.

19 ? 4

12. ? ? ?

2

?

14. 2

15. 5

三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 解: (I)由题意得

12 800 ? ,解得 k ? 300 . 30 k ? 1700 200 ? 40 , (II)由题意得,抽取间距 d ? 5
设 75 分的编号是 m ,则 145 ? m ? (4 ? 1)40 , m ? 25 所以 75 对应的编号是 25.

----------------------3 分 ----------------------4 分

----------------------6 分

1 (75 ? 79 ? 82 ? 73 ? 81) ? 78 ; ----------------------9 分 5 1 s 2 ? [( 75 ? 78) 2 ? (79 ? 78) 2 ? (82 ? 78) 2 ? (73 ? 78) 2 ? (81 ? 78) 2 ] =12.----12 分 5 x?
17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 由 A( 2 ,1) 得 | OA | = 3 ,则 sin ? ?

3 6 , cos? ? . ----------------------2 分 3 3

tan(? ? ? ) cos(? ?

3? ) 2 = tan? sin ? ? sin ? ? 3 . ----------------------6 分 sin (2? ? ? ) 2 sin ? cos? 2 cos2 ? 4

(Ⅱ)设 ?AOB ? ? ,∵扇环的面积为

? , 2

? 1 1 ? ? ? | OB | 2 ? ? | OA | 2 ,解得 ? ? . 2 2 2 3 ? ? 由题意知 B( 6 cos(? ? ), 6 sin(? ? )) , 3 3


----------------------8 分 ----------------------9 分

6 cos( ? ?

?
3

) ? 6 (cos ? cos

?
3

? sin ? sin

?
3

)?

2? 6 , 2

----------------------10 分

6 sin(? ?

?
3

) ? 6 (sin ? cos

?
3

? cos ? sin

?
3

)?

2?2 3 , ----------------------11 分 2
----------------------12 分

所以 B(

2? 6 2 ?2 3 , ). 2 2

18.(本小题满分 12 分) 解:? a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 3b ? 7a ? 5b ? 0, a ? 4b ? 7a ? 2b ? 0

?

??

?

?

??

?

整理 7a ? 16a ? b ? 15b ? 0,7a ? 30a ? b ? 8b ? 0

?2

? ?

?2

?2

? ?

?2

?2 ? ? ?2 ? ? a ? 2a ? b, b ? 2a ? b ? ? ? ? ? ? a ?b a ?b 1 ? cos ? a, b ?? ? ? ? ? ? ? ? ? a b 2 a ? b 2a ? b 2
19(Ⅰ)∵ x : y : z ? 1: 2 : 4 ,∴ ( x ? 2 x ? 4 x ? 0.05 ? 0.06 ? 2 x) ? 5 ? 1 解得 x ? 0.01 ∴ ( y ? z ) ? 5 ? 40 ? 200 ? 6 x ? 12 ----------------------3 分 ----------------------6 分

即调查对象中身高介于 [165,175) 之间有 12 人. (Ⅱ) 800 ? (0.05 ? 0.02) ? 5 ? 280 人

(Ⅲ)身高在 [160,165) 之间的人数为: 40 ? 0.01? 5=2 人,设为 A 1 , A2 ----7 分 身高在 [165,170) 之间的人数为: 40 ? 0.02 ? 5=4 人,设为 B1 , B2 B3 , B4 -------8 分 从 6 人中任选 3 人共有: ( A1 A2 B1 )( A1 A2 B2 )( A1 A2 B3 )( A1 A2 B4 ) ( A1 B1 B2 )( A1 B1 B3 )( A1 B1 B4 )( A1 B2 B3 )( A1 B2 B4 )( A1 B3 B4 )( A2 B1 B2 ) ( A2 B1 B3 )( A2 B1 B4 )( A2 B2 B3 )( A2 B2 B4 )( A2 B3 B4 )( B1 B2 B3 )( B1 B2 B4 ) ( B1 B3 B4 )( B2 B3 B4 )20 种情况, 其中至少有 1 人身高在 [160,165) 之间有 16 种情况, ∴至少有 1 人身高在 [160,165) 之间的概率为 20.. (本小题满分 12 分) F ----------------------10 分 ----------------------11 分 ----------------------

16 4 = . 20 5

Q

E

2 2 2 证明:(Ⅰ)∵ DF ? 2 , BF ? 2 3 , BD ? 2 2 ,∴ BF ? BD ? DF ,

∴ BD ? DF ----------------------1 分 又 DF ? CD ,∴ DF ⊥平面 BCD ----------------------2 分 ∴ DF ⊥ BC , 又 BC ⊥ CD ,∴ BC ⊥平面 CFD , ----------------------3 分 ∵ BC ? 面 BCE ∴面 BCE ⊥面 CDF . ----------------------4 分 (Ⅱ)连接 OQ,在面 CFD 内过 R 点做 RM⊥CD, ∵O,Q 为中点,∴OQ∥DF,且 OQ ? ∵ DF ? CD ∴RM∥FD,

1 DE 2

-----------------5 分 ----------------------6 分

RM CR 1 1 ? ? ,∴ RM ? DF , DF CF 4 4 1 ∵E 为 FD 的中点,∴ RM ? DE . 2
又 FR ? 3RC ,∴ ∴ OQ ∥ RM ,且 OQ ? RM ∴ OQRM 为平行四边形,∵ RQ ∥ OM 又 RQ ? 平面 BCD , OM ? 平面 BCD ,
?

----------------------7 分

----------------------8 分 ∴ QR ∥平面 BCD . ---------------------9 分

? ? 2CD ? ,∴ ?DBC ? 30 ,∴在直角三角形 BCD 中有 CD ? 2 , BC ? 6 , (Ⅲ)∵ BC
∴ vF ? BCE ? vF ? BCD ? vE ? BCD ?

1 1 1 1 3 ? ? 6 ? 2 ? 2 ? ? ? 6 ? 2 ?1 ? --------12 分 3 2 3 2 3

21.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) T ?

2?

?
?

? ? ,? ? 2

----------------------1 分 ----------------------2 分

f ( x)min ? ?1 ? k ? ?2 ,∴ k ? ?1 .
f (? ) ? sin(? ? ? ) ? 1 ? ?2 ,∴ ? ? ? ? 2k? , k ? Z 6 6 3
∵?

?

?

∴ f ( x) ? sin(2 x ? 令?

? ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? 2 2 6 ?
6 ) ?1

----------------------3 分 ----------------------4 分

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,解得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? , k ? Z
----------------------6 分 ----------------------8 分

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [ ? (Ⅱ) g ( x) ? sin(2( x ?

?
6

? k? ,

?
3

? k? ], k ? Z

?

) ? ) ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 6 6 6

?

?

g ( B) ? sin(2 B ?

?
6

) ? 1 ? 0, B ?

?
6

----------------------9 分

?? ? 3 1 ? m ? n ? cos A ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) 2 2 6
----------------------10 分 ∵B ? ∴

? 5? ,∴ 0 ? A ? , 6 6

----------------------11 分

?

6 ?? ? ∴ m ? n 的取值范围为 (0,1] .

? A?

?

? ? , 0 ? sin( A ? ) ? 1 6 6
----------------------13 分

?


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