高三数学专题复习之:指数函数、对数函数和幂函数[1]


高三数学专题复习之:指数函数、对数函数和幂函数
考点一:指数与指数幂的运算
一. 【基础知识回顾】
1.方根的定义:如果一个数的 n 次方等于 a ( n ? 1, 且n ? N ? ),那么这个数叫做 ,即如果 x ? a ,那么 ,当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有 个, x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根表示为
n

这时正数 a 的正的 n 次方根表示为 , a 叫做 . n 叫做 2.根式的性质:⑴ (n a ) n ?

,负的 n 次方根表示为

,0 的

方根都是 0;根式 n a 中

⑵当 n 是奇数时, n a n = ,当 n 是偶数时, n a n = (3)负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 . 3.幂的有关概念: (1)正整数指数幂: a 表示 (2)零指数幂 a = (3)负整数指数幂: a
?p 0 n





, (a ? 0) ;

?

( a ? 0, p ? N ? );
m

(4)正分数指数幂: a n ?

? ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ) ;

? (5)负分数指数幂: a (6)0 的正分数指数幂等于

?

m n

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ) ; ;0 的负分数指数幂 .
2 1
r s

注意:分数指数幂不能随便约分化简,如 a 4 不能写成 a 2 ,必须认真考查 a 的取值才能确定. 4.幂的运算法则: a ? 0, b ? 0, r, s ? R ;⑴ a ? a ? ;⑵ (a r ) s ? ;⑶ (a ? b) r ? =

二. 【范例分析】

3 例 1 化简: (1) 3 ? 8 =
3 ?3 2 变式:化简 1. (e ? e ) ? 4 ?

?

?

(2)

?a ? b?2 ?a ? b?
? 3

(e 3 ? e ?3 ) 2 ? 4 ?

例 2 化简: (1) 100 例 3 化简: ( 8 ) 例 4 已知 x ? x
1 2

?

1 2

=
3 2 9 )2

? 16 ? 4 (2) ? ? = ? 81 ?
? 105 =
? 3 2

?

2 3

? ( 10

?1

? 3 ,求下列各式的值:
1 2

(1) x ? x

?

; (2) x 2 ? x

3

.

考点二:指数函数及其性质
一. 【基础知识回顾】
1.指数函数的定义:一般地,函数 定义域为 2.指数函数的图象和性质: 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的 .

a ?1
-1-

0 ? a ?1

图 象

定义域 值域 过定点 单调性

性 质

在 R 上是 函数 底数越大,图像在第一象限越 靠近 轴 当 x ? (??,0) 时, y ? 当 x ? (0,??) 时, y ?
f ( x)

在 R 上是 函数 底数越小,图像在第二象限越 靠近 轴 当 x ? (??,0) 时, y ? 当 x ? (0,??) 时, y ? ; ;

3.指数函数和指数方程、指数不等式之间的关系: a

0 ? a ? 1时 a ?a 二. 【范例分析】
f ( x)

g ( x)

?

? a g ( x) ? f ( x) ? a g ( x) ? ;a ? 1时 a

例 1:说明下列函数的图象与 y ? 2 x 的图象的关系,并画出它们的示意图: ⑴ y ? 2 x?1 ⑵ y ? 2 x -2

1.7 例 3:比较大小:① 1.7 例 4:求下列函数的定义域和值域:
⑴y?2
1 x ?4

2.5

3

② 0.8

-0.1

0.8-0.2

③ 1 .7

0.3

0 .9 3 .1

1 2 x? x2 ⑵y?( ) 2

2x ?1 ⑶y? x 2 ?1

例 5:函数 y ? 4 ? a

x ?1

( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象一定恒过定点

例 6:已知 f ( x) ?

2x 2 ? 2
x

,则 f (

1 2 9 ) ? f ( ) ??? f ( ) ? 10 10 10

例 7:已知对任意 x ? R ,不等式 例 8.已知函数 f ( x) ?

1 2x
2

?x

1 2 ? ( ) 2 x ?mx ? m? 4 恒成立,求实数 m 的取值范围 2

10x ? 10? x 10x ? 10? x

(1) 证明: f ( x) 在定义域内是增函数; (2)求函数 f ( x) 的值域。

-2-

考点三:对数及其运算
一. 【基础知识回顾】 1.对数的定义:如果 a ( a ? 0 且 a ? 1 )的 b 次幂等于 N,就是 记作 ,其中 a 叫做 ,N 叫做 。
,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数, ;

2.常用对数和自然对数: 叫做常用对数,N 的常用对数记作 叫做自然对数,N 的自然对数记作 。 3.对数的运算性质:若 a ? 0, a ? 1 , M ? 0, N ? 0 ,则 ① loga MN ? ③ loga M n ? 4.对数的基本性质:①负数和零 ③底数的对数等于 1,即 ⑤换底公式:

M ? N ;④ loga n M ?
;② log a



对数;②1 的对数等于 0,即 ;④对数恒等式

; ;

⑥ loga b ? logb a ?

1 n n ⑦ loga b ? log 1 ? loga n b ? logn a b b a

二. 【范例分析】 ? 例 1:若 a ? 0 且 a ? 1 , x ? y ? 0 , n ? N ,则下列各式中正确的有 loga x 1 x ① (loga x) n ? n loga x ;② (loga x) n ? loga x n ;③ log a x ? ? log a ;④ ? loga ; x loga y y loga x 1 1 x? y x? y ? loga n x ;⑦ log a x ? log a x n ;⑧ loga ? ? loga ⑤ n log a x ? log a x ;⑥ n n n x? y x? y 2 4 2 变式训练:1. lg x ? 2 lg x 对吗? 2.若 lg x ? lg x ? 2 ,则 x ? 。
例 2:计算下列各式: ⑴

1 lg 25 ? lg 2 ? lg 10 ? lg(0.01) ?1 2

⑵ 2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 5 log5 3 9

⑶ (lg5) ? lg 2 ? lg 50
2

例 3:设 3 ? 4 ? 36 ,求
x y

2 1 ? 的值。 x y

例 4:若 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) ,求 log

2

x 的值。 y
-3-

例 5 设 f ( x) ? ?

? 2?x

?log 81 x x ? ?1,?? ?

x ? ?? ?,1?

,则满足 f ( x) ?

1 的 x 的值为 4



考点四:对数函数
一. 【基础知识回顾】
1.对数函数的定义:一般地,我们把函数 是 。 注意:函数 y ? loga x ( a ? o 且 a ? 1 )与函数 2.对数函数 y ? loga x ( a ? o 且 a ? 1 )的图像和性质: 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域 互为反函数。

a ?1

0 ? a ?1

图 象

定义域 值域 过定点 单调性

性 质

在 (0,??) 上是

函数

在 (0,??) 上是

函数

底数越大,图像在第一象限 越靠近 轴 当 时, y ? 0 当 时, y ? 0

底数越小,图像在第四象限 越靠近 轴 当 时, y ? 0 当 时, y ? 0

二. 【范例分析】
例 1:求下列函数的定义域:(1) y ? loga x 2 (2) y ?

log 1 x
2

(3) y ?

1 log5 x ? 1

例 2:⑴ 6

0 .7

, 0.7 , log0.7 6 的由大到小顺序为 )

6

(2)若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则( A. 0 ? a ? b ? 1

B. 0 ? b ? a ? 1 C. a ? b ? 1 D. b ? a ? 1 2 (3)若 log a ? 1 ,则 a ? 3 (4)已知 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1,且 a
logb ( x?3)

? 1 ,求 x 的范围。

-4-

例 3:求函数 y ? log 1 (? x 2 ? 2 x ? 8) 的单调区间和值域。
2

例 4:若函数 y ? lg( x 2 ? 2 x ? a 2 ) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围。

变式训练:若函数 y ? lg( x ? 2 x ? a ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围。
2 2

例 5:方程 log2 ( x ? 4) ? 3 x 的实数根有



例 6:已知函数 f ( x) ? loga (a x ? 1) ( a ? o 且 a ? 1 ) (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)当 x 为何值时,函数值大于 1?

考点五:幂函数
一. 【基础知识回顾】
1.幂函数的定义:一般地,函数 叫幂函数,其中 ? 为常数, x 是自变量。 2.幂函数的性质: (1)所有的幂函数在 都有定义,并且图象都过点 ; (2)当 ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数,特别地,当 ? ? 1 时,幂函 数的图象在第一象限为 型;越大,图像在第一象限越靠近 轴,当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象在第一 象限为 型;越大,图像在第一象限越靠近 轴 (3)当 ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象 在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴 (4)幂函数 y=x ? ( ? ∈R)的图像主要分以下几类: ① 当 ? =0 时,图像是过(1,1)点平行于 x 轴但除去(0,1)点的一条断直线。 ② 当 ? 为正偶数时,幂函数为偶函数,图像过第一、二象限及原点。 ③ 当 ? 为正奇数时,幂函数为奇函数,图像过第一、三象限及原点。 ④ 当 ? 为负偶数时,幂函数为偶函数,图像过第一、二象限但不过原点。 ⑤ 当 ? 为负奇数时,幂函数为奇函数,图像过第一、三象限但不过原点。
-5-

⑥ 当 ? 为正分数时,设为

m (m、n 是互质的正整数) 。如果 m,n 都为奇数,幂函数为奇函数,图像过第 n m (m、n 是互质的正整数) 。如果 m,n 都为奇数,幂函数为奇函数,图像过 n

一、三象限及原点;当 m 是偶数、n 是奇数时,幂函数是偶函数,图像过第一、二象限及原点;如果 m 为 奇数、n 为偶数,幂函数是非奇非偶函数,图像过第一象限及原点。 ⑦ 当 ? 为负分数时,设为-

第一、三象限;当 n 是偶数、m 是奇数时,幂函数为非奇非偶函数,图像只在第一象限;如果 n 为奇数、 m 为偶数,幂函数是偶函数,图像过第一、二象限。

二. 【范例分析】
例 1:下列函数是幂函数的是( ) ① y ? axn ( a , n 为非零常数,且 a ? 1 ) ;② y ? x 3 ? x 2 ;③ y ? x ? ;④ y ? ( x ? 1) 3 A、①③ B、①② C、③ D、①③④ 变式训练:在函数 y ?
1

1 、 y ? 2 x2 、y=1、y=x2+x 中,幂函数的个数是 2 x
1.5

例 2:比较下列两个代数式值的大小: (1) (a ? 1) , a ;
1.5

(2) (2 ? a )
2

?

2 3

,2

?

2 3

变式训练:若四个幂函数y= x ,y= x ,y= x ,y= x 在同一坐标系中的图象如下图,则 a、b、c、d的大小关系是( ) A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c

a

b

c

d

2

例 3:讨论函数 y= x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图像,并根据图像说明函数的增减性。

考点六:函数的零点与二分法
一. 【基础知识回顾】
1.零点定义:一般地,我们把 2. 零点的存在性定理: 一般地, 若函数 y ? f ( x) 在 则称函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上有零点; 3 .二分法:对于在区间 [ a, b] 上不间断,且 f (a) ? f (b) 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断把零点所在的区 间 ,使区间的两个端点 ,进而得到零点 的方法。 称为函数 y ? f ( x) 的零点; , 且 ,

二. 【范例分析】
-6-

例 1 根据表格中的数据,可以判断方程 ex-x-2=0 必有一个根在区间 ( x -1 0 1 2 3 x e 0.37 1 2.78 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

)

2 变式训练:函数 f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是( ) x A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,3)

例 2:求证:无论 a 取什么实数,二次函数 y ? x 2 ? ax ? a ? 2 都有两个零点 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) ,并求出 x 2 ? x1 最小时的 二次函数的解析式。

-7-


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