2014-2015学年浙江省诸暨市牌头中学高一(下)期末数学复习试卷(解析版)


2014-2015 学年浙江省诸暨市牌头中学高一(下)期末数学复习试卷
一、选择题(共 11 小题,每小题 3 分,满分 33 分) 1.等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于( ) A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 2.设数列{an}和{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由 an+bn 所组成的数列的第 37 项的值为( ) A. 0 B. 37 C. 100 D. ﹣37

3. 已知﹣7, a1, a2, ﹣1 四个实数成等差数列, ﹣4, b1, b2, b3, ﹣1 五个实数成等比数列, 则 ( ) A. 1

=

B. ﹣1
n

C. 2

D. ±1

4.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3 +r,则 r=( ) A. 0 B. ﹣1 C. 1 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+(﹣1) 值是( ) A. ﹣76 B. 76 C. 46
n+1

D. 3 (4n﹣3) ,则 S15+S22﹣S31 的 D. 13 )

6.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为( A. B. C. D.

7.若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}( A. 一定是等比数列 B. 可能是等比数列,也可能是等差数列 C. 一定是等差数列 D. 一定不是等比数列



8.设数列{an}是公比为 a(a≠1) ,首项为 b 的等比数列,Sn 是前 n 项和,对任意的 n∈N+,点(Sn, Sn+1)在( ) A. 直线 y=ax﹣b 上 B. 直线 y=bx+a 上 C. 直线 y=bx﹣a 上 D. 直线 y=ax+b 上 9.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x) (x∈R) ,且 f(1)= ,则数列{f(n)}(n∈N )前 20 项的和为( A. 305 ) B. 315 C. 325 D. 335
*

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10.等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,对任意自然数 n,若点(n,Sn)在以下 4 条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )

A.

B.

C.

D. 11.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地, 称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378

二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 2 12.在数列{an}中,其前 n 项和 Sn=4n ﹣n﹣8,则 a4=



13.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

=



14.在等差数列{an}中,当 ar=as(r≠s)时,{an}必定是常数数列.然而在等比数列{an}中,对某些 正整数 r、s(r≠s) ,当 ar=as 时,非常数数列{an}的一个例子是 . 15.已知数列 1, , ,…, ,…,则其前 n 项的和等于 .

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16.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 n 个图中有

个小正方

形. 17.{an}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,n∈N 则 a2009=
*

;a2014=



18.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4﹣a2=8,a3+a5=26.记 Tn= 对一切正整数 n,Tn≤M 都成立,则 M 的最小值是 19.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t?5
n﹣2

,如果存在正整数 M,使得



﹣ ,则实数 t 的值为



三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 2012 春?诸暨市校级期末)已知{an}是等差数列,其中 a1=25,a4=16 (1)数列{an}从哪一项开始小于 0; (2)求 a1+a3+a5+…+a19 值. 2012 春?诸暨市校级期末)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a3=11,S9=153, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 an=log2bn,证明{bn}是等比数列,并求其前 n 项和 Tn. 2012 春?诸暨市校级期末)某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6m ,如果该城市每年 2 人口平均增长率为 1%,则从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为多少万 m ,才能使 2010 年底 2 18 19 20 该城市人均住房面积至少为 24m ?(可参考的数据 1.01 =1.20,1.01 =1.21,1.01 =1.22) . 2013 秋?镇平县校级期末)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,等差数 列{bn}中,b1=2,点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上; (Ⅰ)求 a1 和 a2 的值; (Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (Ⅲ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 2006 春?宝山区期末)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意的 n∈N ,都有 Sn=2an﹣3n. (1)求数列{an}的首项 a1 与递推关系式:an+1=f(an) ; (2)先阅读下面定理:“若数列{an}有递推关系 an+1=Aan+B,其中 A、B 为常数,且 A≠1,B≠0,则 数列 是以 A 为公比的等比数列.”请你在第(1)题的基础上应用本定理,求数列{an}
* 2

的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
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四、附加题: 25.已知数列{an}是等差数列,a2=8,S10=185,从{an}中依次取出第 3 项,第 9 项,第 27 项,…第 n 3 项按原来的顺序排成一个新数列{bn},则 bn=( ) n+1 n+1 n n A. 3 +2 B. 3 ﹣2 C. 3 +2 D. 3 ﹣2 26.设函数 f(x)=(x﹣1) +n (x∈[﹣1,3],n∈N )的最小值为 an,最大值为 bn,记 cn=bn ﹣anbn, 则{cn}是( ) A. 常数数列 B. 公比不为 1 的等比数列 C. 公差不为 0 的等差数列 D. 非等差数列也非等比数列
2 * 2

五、填空题(共 1 小题,每小题 3 分,满分 3 分) 27.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数 列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为 ,且这个数列的前 21 项的和 S21 的值为 .

六、解答题(共 2 小题,满分 0 分) * 2 2009?嘉定区一模)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N ,点(n,Sn)都在函数 f(x)=2x ﹣x 的图象上. (1)求数列 an 的通项公式; (2)设 (3)设 m. 2014?岳麓区校级模拟)设二次方程 anx ﹣an+1x+1=0(n∈N )有两根 α、β,且满足 6α﹣2αβ+6β=3. (1)试用 an 表示 an+1; (2)求证:{an﹣ }是等比数列; (3)若 a1= ,求数列{an}的通项公式.
2 *

,且数列 bn 是等差数列,求非零常数 p 的值; ,Tn 是数列 cn 的前 n 项和,求使得 对所有 n∈N*都成立的最小正整数

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2014-2015 学年浙江省诸暨市牌头中学高一(下)期末数学复习试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 11 小题,每小题 3 分,满分 33 分) 1.等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于( ) A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:计算题. 分析:根据等差数列的通项公式化简 a1+a4+a7=39 和 a3+a6+a9=27,分别得到①和②,用②﹣①得 到 d 的值,把 d 的值代入①即可求出 a1,根据首项和公差即可求出前 9 项的和 S9 的值. 解答: 解:由 a1+a4+a7=3a1+9d=39,得 a1+3d=13①, 由 a3+a6+a9=3a1+15d=27,得 a1+5d=9②, ②﹣①得 d=﹣2,把 d=﹣2 代入①得到 a1=19, 则前 9 项的和 S9=9×19+ ×(﹣2)=99.

故选 B. 点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,是一道中档题. 2.设数列{an}和{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由 an+bn 所组成的数列的第 37 项的值为( ) A. 0 B. 37 C. 100 D. ﹣37 考点:等差数列的通项公式;等差数列的性质. 专题:计算题. 分析:先求出 a1+b1 的值,然后根据{an+bn}组成的数列也是等差数列,而 a2+b2=100,可求出通项 an+bn,从而求出所求. 解答: 解:∵a1=25,b1=75 ∴a1+b1=100 ∵数列{an}和{bn}都是等差数列 ∴{an+bn}组成的数列也是等差数列 而 a2+b2=100,那么 an+bn=100 ∴a37+b37=100 故选 C. 点评:本题主要考查了等差数列的通项公式,解题的关键{an+bn}组成的数列也是等差数列,属于基 础题.

3. 已知﹣7, a1, a2, ﹣1 四个实数成等差数列, ﹣4, b1, b2, b3, ﹣1 五个实数成等比数列, 则 ( ) A. 1

=

B. ﹣1

C. 2
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D. ±1

考点:等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的通项公式求得 a2﹣a1,由等比数列的性质求得 b2,作比后答案可求. 解答: 解:∵﹣7,a1,a2,﹣1 四个实数成等差数列, ∴﹣1=﹣7+3d,则 d=2, ∴a2﹣a1=2. 又﹣4,b1,b2,b3,﹣1 成等比数列, ∴ ,则 b2=﹣2.



=



故选:B. 点评:本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题. 4.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3 +r,则 r=( ) A. 0 B. ﹣1 C. 1 考点:等比数列的前 n 项和. 专题:计算题. 分析:根据 an=Sn﹣Sn﹣1 求得数列的通项公式,进而求得 a1,根据 a1=S1 求得 r. n n﹣1 + 解答: 解:∵Sn=3 +r,Sn﹣1=3 +r, (n≥2,n∈N ) , ﹣ n 1 ∴an=Sn﹣Sn﹣1=2?3 , 又 a1=S1=3+r,由通项得:a2=6,公比为 3, ∴a1=2, ∴r=﹣1. 故选 B 点评:本题主要考查了等比数列的性质,以及等差数列的前 n 项和公式.解题的关键是求出数列的 通项公式. 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+(﹣1) 值是( ) A. ﹣76 B. 76 C. 46
n+1 n

D. 3

(4n﹣3) ,则 S15+S22﹣S31 的 D. 13

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知得 S15=﹣4×7+4×15﹣3=29,S22=﹣4×11=﹣44,S31=﹣4×15+4×31﹣3=61,由此能求出 S15+S22﹣S31 的值. n+1 解答: 解:∵Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+(﹣1) (4n﹣3) , ∴S15=﹣4×7+4×15﹣3=29, S22=﹣4×11=﹣44, S31=﹣4×15+4×31﹣3=61, ∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76.
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故选:A. 点评:本题考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题,注意数列的前 n 项和公式的合理运用. 6.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为( A. B. C. D. )

考点:等差数列的通项公式;等比数列的性质. 专题:计算题. 分析:先利用等差数列的通项公式,用 a1 和 d 分别表示出等差数列的第 5、9、15 项进而利用等比 中项的性质建立等式求得 a1 和 d 的关系,进而利用 q=
2

求得答案.

解答: 解:依题意可知(a1+8d) =(a1+4d) (a1+14d) , 2 整理得 2a1d=8d ,解得 4d=a1, ∴q= = = ;

故选 C. 点评:本题主要考查了等比数列的性质和等差数列的通项公式.属基础题. 7.若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}( A. 一定是等比数列 B. 可能是等比数列,也可能是等差数列 C. 一定是等差数列 D. 一定不是等比数列 )

考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等比数列的定义和性质进行求解即可. 解答: 解:A.若数列的公比 q=﹣1,则 an+an+1=0,则此时数列{an+an+1}不能是等比数列,故 A 错误, B.若 q=1,则 an+an+1 为非零的常数列,此时数列既是等比数列也是等差数列,故 B 正确, C.当 q≠1 且 q≠﹣1 时, 为常数,此时为等比数列,故 C 错误,

D.由 C 知数列{an+an+1}有可能为等比数列,故 D 错误, 故选:B 点评:本题主要考查等比数列的判断,根据公比的取值情况进行分类讨论是解决本题的关键. 8.设数列{an}是公比为 a(a≠1) ,首项为 b 的等比数列,Sn 是前 n 项和,对任意的 n∈N+,点(Sn, Sn+1)在( ) A. 直线 y=ax﹣b 上 B. 直线 y=bx+a 上 C. 直线 y=bx﹣a 上 D. 直线 y=ax+b 上

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考点:等比数列的性质. 专题:计算题. 分析:利用等比数列的求和公式分别表示出 Sn 和 Sn+1,代入选项的直线方程中验证即可. 解答: 解:∵

∴ 故点(Sn,Sn+1)在直线 y=ax+b 上, 故选 D. 点评:本题主要考查了等比数列的性质,等比数列的求和公式.考查了考生对等比数列公式的记忆. 9.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x) (x∈R) ,且 f(1)= ,则数列{f(n)}(n∈N )前 20 项的和为( A. 305 ) B. 315 C. 325 D. 335
*

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知条件推导出{f (n) }是以 为首项, 为公差的等差数列, 由此能求出数列{f (n) } (n∈N ) 前 20 项的和. 解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x) (x∈R) , 且 f(1)= , ∴f(2)= + , f(3)= + + ,…,f(n)= +f(n﹣1) , ∴{f(n)}是以 为首项, 为公差的等差数列. ∴数列{f(n)}(n∈N )前 20 项的和 S20=20× +
* *

× =335.

故选:D. 点评:本题考查数列的前 20 项和的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意递推思想的合理运用. 10.等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,对任意自然数 n,若点(n,Sn)在以下 4 条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )

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A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:等差数列的前 n 项和,等价于二次函数,根据二次函数的图象和性质即可到答案. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和, ∴Sn=na1+ ×d= n +(a1﹣ )n,
2 2

∴点(n,Sn)在曲线 y= x +(a1﹣ )x, ∵d<0, ∴二次函数开口向下, ∵对称轴 x=﹣ >0,

∴对称轴在 y 轴的右侧, 故选:C. 点评:本题考查了等差数列的求和公式以及二次函数的性质,属于基础题. 11.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地, 称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378 考点:数列的应用;归纳推理. 专题:计算题;压轴题;新定义.
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分析:根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式,再根据通项公式的特点排除,即可求得结果. 解答: 解:由图形可得三角形数构成的数列通项 同理可得正方形数构成的数列通项 bn=n , 则由 bn=n (n∈N+)可排除 D,又由 与 无正整数解,
2 2





故选 C. 点评:考查学生观察、分析和归纳能力,并能根据归纳的结果解决分析问题,注意对数的特性的分 析,属中档题. 二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 12.在数列{an}中,其前 n 项和 Sn=4n ﹣n﹣8,则 a4= 27 . 考点:等差数列的通项公式;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:易得 a4=S4﹣S3,代入计算即可得答案. 解答: 解:由题意可得 a4=S4﹣S3 2 2 =4×4 ﹣4﹣8﹣(4×3 ﹣3﹣8) =27 故答案为:27 点评:本题考查数列的项的求解,得出 a4=S4﹣S3 是解决问题的关键,属基础题.
2

13.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

= 1 .

考点:等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题:计算题. 分析:根据等差数列的等差中项的性质,把 2a5=a1+a9 和 2a3=a1+a5 代入 即可求得答案.

解答: 解:

=

=

=1

故答案为 1 点评:本题主要考查了等差数列的性质.解题中巧妙的利用了等差中项的性质,简便了解题的过程.

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14.在等差数列{an}中,当 ar=as(r≠s)时,{an}必定是常数数列.然而在等比数列{an}中,对某些 正整数 r、s(r≠s) ,当 ar=as 时,非常数数列{an}的一个例子是 a,﹣a,a,﹣a,…(a≠0) ,r 与 s 同为奇数或偶数 . 考点:归纳推理;等差数列的性质;等比数列的性质. 专题:计算题;压轴题. 分析:本题考查的知识点是等差数列的性质与等比数列的性质,在等差数列中,若 ar=as 时,ar﹣as= (r﹣s)d=0,∵r≠s,所以公差 d 必然等 0,故数列,{an}必定是常数数列,但在等比数列{an}中, 若 ar=as 时, =1,若 r﹣s 为偶数时,q=±1,由于数列不是常数列,则数列的公比必为﹣1.

解答: 解:在等比数列{an}中, 若 ar=as, 则 =1,

当 r﹣s 为偶数时, q=±1, ∵数列不是常数列, ∴数列的公比 q=﹣1 则 r,s 同为奇数或偶数 且奇数项为偶数项互为相反数 故答案为:a,﹣a,a,﹣a,…(a≠0) ,r 与 s 同为奇数或偶数 点评:非零常数列即是等差数列,又是等比数列,把它看成等差数列时,公差 d=0,把它看成等比 数列时,公比 q=1;当等比数列的公比为﹣1 时,数列的所有奇数项相等,所有偶数项也相等,且奇 数项与偶数项互为相反数.

15.已知数列 1,



,…,

,…,则其前 n 项的和等于



考点:数列的求和. 专题:计算题. 分析:由题意可得数列的通项 和 解答: 解:由题意可得数列的通项 = = = = ,从而可利用裂项求

= = =

第 11 页(共 20 页)

故答案为: 点评:本题主要考查了利用裂项求数列的和, 解题的关键是由已知数列的项归纳出数列的通项公式.

16.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 n 个图中有

个小正方

形. 考点:归纳推理. 专题:规律型. 分析:由题意可得, ( f 1) =2+1, ( f 2) =3+2+1, ( f 3) =4+3+2+1, ( f 4) =5+4+3+2+1, ( f 5) =6+5+4+3+2+1, 从而可得 f(n) ,结合等差数列的求和公式可得. 解答: 解:由题意可得,f(1)=2+1 f(2)=3+2+1 f(3)=4+3+2+1 f(4)=5+4+3+2+1 f(5)=6+5+4+3+2+1 … f(n)=(n+1)+n+(n﹣1)+…+1= 故答案为: . .

点评:本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用,解题的关键是要根据前几个图形 的规律归纳出 f(n)的代数式,考查了归纳推理的能力. 17.{an}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,n∈N 则 a2009= 考点:数列的概念及简单表示法. 专题:压轴题. 分析:由 a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,知第一项是 1,第二项是 1,第三项是 0,第 2009 项的 2009 可 写为 503×4﹣3, 故第 2009 项是 1, 第 2014 项等于 1007 项, 而 1007=252×4﹣1, 所以第 2014 项是 0. 解答: 解:∵2009=503×4﹣3, ∴a2009=1, ∵a2014=a1007, 1007=252×4﹣1, ∴a2014=0, 故答案为:1,0. 点评:培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思 想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.
*

1 ;a2014= 0 .

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18.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4﹣a2=8,a3+a5=26.记 Tn= 对一切正整数 n,Tn≤M 都成立,则 M 的最小值是 2 .

,如果存在正整数 M,使得

考点:等差数列的前 n 项和;函数恒成立问题. 专题:计算题;压轴题. 分析:先根据 a4﹣a2=8,a3+a5=26,求得数列的首项和公差,进而数列的前 n 项和可得.进而代入 Tn 根据 Tn 的范围确定 M 的范围. 解答: 解:∵{an}为等差数列,由 a4﹣a2=8,a3+a5=26, 2 可解得 Sn=2n ﹣n, ∴Tn=2﹣ ,若 Tn≤M 对一切正整数 n 恒成立,则只需 Tn 的最大值≤M 即可. 又 Tn=2﹣ <2, ∴只需 2≤M,故 M 的最小值是 2. 故答案为 2 点评:本题主要考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式.属基础题. 19.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t?5
n﹣2

﹣ ,则实数 t 的值为 5 .

考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过 Sn=t?5 通过
n﹣2

﹣ 可知 a1=

、an=Sn﹣Sn﹣1=

(n≥2) ,利用数列{an}为等比数列,

=5 计算即得结论.
n﹣2

解答: 解:∵Sn=t?5 ∴a1=S1= ,

﹣ ,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 = = ﹣ ﹣( , ﹣ )

又∵数列{an}为等比数列, ∴q= =5,



=5,即

=

=5,∴t=5,
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故答案为:5. 点评:本题考查等比数列的简单性质,注意解题方法的积累,属于基础题. 三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 2012 春?诸暨市校级期末)已知{an}是等差数列,其中 a1=25,a4=16 (1)数列{an}从哪一项开始小于 0; (2)求 a1+a3+a5+…+a19 值. 考点:等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知易得 d,进而可得通项公式,令其小于 0 可解; (2) 结合(1)可知:a1+a3+a5+…+a19 是首项为 25,公差为﹣6 的等差数列,共有 10 项,代入求和公式 可得答案. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得 a4=a1+3d, 解得 d=﹣3,∴an=28﹣3n…(3 分) 令 28﹣3n<0,解得 n> ,…(5 分)

所以数列{an}从第 10 项开始小于 0. (6 分) (2)结合(1)可知:a1+a3+a5+…+a19 是首项为 25,公差为﹣6 的等差数列,共有 10 项, 故其和 (12 分)

点评:本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题. 2012 春?诸暨市校级期末)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a3=11,S9=153, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 an=log2bn,证明{bn}是等比数列,并求其前 n 项和 Tn. 考点:等比关系的确定;等差数列的前 n 项和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列的公差为 d,根据等差数列的通项与求和公式,结合题意建立关于 a1 与 d 的方程组,解之得 a1=5 且 d=3,由此即可得到数列{an}的通项公式; (2)根据对数的运算性质,可得 bn= =2
3n+2

.由此算出 b1=32 且

=8(常数) ,从而得到数列

{bn}的是首项为 32,公比为 8 的等比数列,再用等比数列求和公式加以计算,即可得到{bn}前 n 项 和 Tn 的表达式. 解答: 解: (1)设等差数列的公差为 d,



,解之得

∴数列{an}的通项公式 an=5+3(n﹣1)=3n+2; (2)∵an=log2bn=3n+2,∴bn= =2
3n+2

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由此可得 b1=2 =32.

5

=

=8

∴数列{bn}的是首项为 32,公比为 8 的等比数列. 因此,可得{bn}前 n 项和 Tn= = (8 ﹣1) .
n

点评:本题给出等差数列的第 3 项和前 9 项之和, 求它的通项公式并依此求等比数列{bn}前 n 项和. 考 查了等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式等知识点,属于中档题. 2012 春?诸暨市校级期末)某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6m ,如果该城市每年 2 人口平均增长率为 1%,则从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为多少万 m ,才能使 2010 年底 2 18 19 20 该城市人均住房面积至少为 24m ?(可参考的数据 1.01 =1.20,1.01 =1.21,1.01 =1.22) . 考点:数列的应用. 专题:等差数列与等比数列. 分析:首先计算出到 2010 年底的总的住房面积和人口总数,根据增长后的面积=增长前的面积(1+ 增长率) ,设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积 x 万 m ,则使 2010 年底该城市人均住房面积 2 至少为 24m ,即可列不等式求解. 2 解答: 解:设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 x 万 m ,则由题设可得下列不等式 19 500×6+19x≥500×(1+0.01) ×24 解得 x≥606.3. 答:从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 606.3 万 m . 点评:本题考查根据实际问题抽象函数模型的能力,并能根据模型的解决,指导实际生活中的决策 问题,考查了分析、解决实际问题的能力,属于中档题. 2013 秋?镇平县校级期末)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,等差数 列{bn}中,b1=2,点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上; (Ⅰ)求 a1 和 a2 的值; (Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (Ⅲ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点:数列的求和;数列的函数特性;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (I)由于 an 是 Sn 与 2 的等差中项,可得 2an=Sn+2,分别令 n=1,2 即可得出 a1,a2; (II)设等比数列{an}的公比为 q,则 = =2,利用通项公式 即可得出;由于点 P
2 2 2

(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上,可得 bn+1=bn+2,即 bn+1﹣bn=2,利用等差数列的通项公式就看得出. (III) ,利用“错位相减法”即可得出.

解答: 解: (I)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项,∴2an=Sn+2, 当 n=1 时,2a1=a1+2,解得 a1=2; 当 n=2 时,2a2=a1+a2+2,∴a2=2+2=4.
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(II)设等比数列{an}的公比为 q,则 ∴ =2×2
n﹣1

= =2,

=2 .

n

∵点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上, ∴bn+1=bn+2,即 bn+1﹣bn=2; ∴bn=2+(n﹣1)×2=2n. (III)
2 3 n+1



∴Tn=1?2 +2?2 +…+n?2 , 3 4 n+1 n+2 2Tn=1?2 +2?2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 , ∴﹣Tn=2 +2 +…+2 ∴
2 3 n+1

﹣n?2

n+2

=

﹣n?2

n+2

=2

n+2

﹣4﹣n?2

n+2

=(1﹣n)?2

n+2

﹣4,



点评:本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和公式、“错位相减法”等基础知识与基 本技能方法,属于难题. 2006 春?宝山区期末)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意的 n∈N ,都有 Sn=2an﹣3n. (1)求数列{an}的首项 a1 与递推关系式:an+1=f(an) ; (2)先阅读下面定理:“若数列{an}有递推关系 an+1=Aan+B,其中 A、B 为常数,且 A≠1,B≠0,则 数列 是以 A 为公比的等比数列.”请你在第(1)题的基础上应用本定理,求数列{an}
*

的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点:数列递推式;等比数列的前 n 项和;等比关系的确定. 专题:综合题. 分析: (1) 令 n=1, 由 S1=2a1﹣3, 知 a1=3, 再由 Sn+1=2an+1﹣3 (n+1) , Sn=2an﹣3n, 知 an+1=2an+1 ﹣2an﹣3,由此能求出 an+1=2an+3. (2)按照定理:A=2,B=3,{an+3}是公比为 2 的等比数列,由此能求出数列{an}的通项公式. n﹣1 n﹣1 (3)由 an=6?2 ﹣3,知 Sn=(6﹣3)+(6×2﹣3)+(6×3﹣3)+…+(6×2 ﹣3) ,由此能求出数 列{an}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)令 n=1,S1=2a1﹣3.∴a1=3 又 Sn+1=2an+1﹣3(n+1) ,Sn=2an﹣3n, 两式相减得,an+1=2an+1﹣2an﹣3, (3 分) 则 an+1=2an+3(4 分) (2)按照定理:A=2,B=3, ∴{an+3}是公比为 2 的等比数列. n﹣1 n﹣1 n﹣1 则 an+3=(a1+3)?2 =6?2 ,∴an=6?2 ﹣分) n﹣1 (3)∵an=6?2 ﹣3, n﹣1 ∴Sn=(6﹣3)+(6×2﹣3)+(6×4﹣3)+…+(6×2 ﹣3) ,
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. (12 分)

点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意数列的通项公式的求法和等比数列前 n 项和的应 用. 四、附加题: 25.已知数列{an}是等差数列,a2=8,S10=185,从{an}中依次取出第 3 项,第 9 项,第 27 项,…第 n 3 项按原来的顺序排成一个新数列{bn},则 bn=( ) n+1 n+1 n n A. 3 +2 B. 3 ﹣2 C. 3 +2 D. 3 ﹣2 考点:等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知得 d=3,a1=5,从而得到 b1=a3=5+2×3=11=2+3 ,b2=a9=5+8×3=29=2+3 , 4 n+1 b3=a7=5+26×3=83=2+3 ,…,由此求出 bn=2+3 . 解答: 解:∵数列{an}是等差数列,a2=8,S10=185, ∴ ,
2 3

解得 d=3,a1=5, 2 ∴b1=a3=5+2×3=11=2+3 , 3 b2=a9=5+8×3=29=2+3 , 4 b3=a7=5+26×3=83=2+3 , … ∴bn=2+3 . 故选:A. 点评:本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要注意等差数列的性质的合理运用. 26.设函数 f(x)=(x﹣1) +n (x∈[﹣1,3],n∈N )的最小值为 an,最大值为 bn,记 cn=bn ﹣anbn, 则{cn}是( ) A. 常数数列 B. 公比不为 1 的等比数列 C. 公差不为 0 的等差数列 D. 非等差数列也非等比数列 考点:等差关系的确定;数列的函数特性. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析:依题意, 可得 an=n, bn=n+4,从而可得 cn=bn ﹣anbn=4n+16, 易求 cn+1﹣cn=4, 从而可得答案. 2 解答: 解:∵f(x)=(x﹣1) +n,x∈[﹣1,3], ∴当 x=1 时,f(x)min=an=n, 当 x=﹣1 或 x=3 时,f(x)max=bn=n+4; 2 2 ∴cn=bn ﹣anbn=(n+4) ﹣n(n+4)=4n+16, ∵cn+1﹣cn=4, ∴数列{cn}是公差不为 0 的等差数列, 故选:C.
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2 * 2 n+1

点评:本题考查等差关系的确定,求得 an=n,bn=n+4 是关键,考查等价转化思想与运算求解能力, 属于中档题. 五、填空题(共 1 小题,每小题 3 分,满分 3 分) 27.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数 列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为 3 ,且这个数列的前 21 项的和 S21 的值为 52 . 考点:数列的求和. 专题:计算题;新定义. * 分析:由新定义得到 an+an+1=5 对一切 n∈N 恒成立,进一步得到数列的通项公式,则答案可求. * 解答: 解:根据定义和条件知,an+an+1=5 对一切 n∈N 恒成立, ∵a1=2,∴ .

于是 a18=3,S21=10(a2+a3)+a1=52. 故答案为:3,52. 点评:本题是新定义题,关键是由新定义得到数列的通项公式,是基础题. 六、解答题(共 2 小题,满分 0 分) * 2 2009?嘉定区一模)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N ,点(n,Sn)都在函数 f(x)=2x ﹣x 的图象上. (1)求数列 an 的通项公式; (2)设 (3)设 m. 考点:数列与不等式的综合. 专题:综合题. 分析: (1)对所有 n∈N*,Sn=2n ﹣n,所以 a1=S1=1,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣3,由此能求出数列{an} 的通项公式. (2)bn= ,由{bn}是等差数列,设 bn=an+b,所以 =an+b,于是 2n ﹣n=an +(ap+b)
2 2 2

,且数列 bn 是等差数列,求非零常数 p 的值; ,Tn 是数列 cn 的前 n 项和,求使得 对所有 n∈N*都成立的最小正整数

n+bp,由此能求出非零常数 p 的值. (3)cn= Tn=c1+c2+…+cn= = ,由 Tn< ,得 m>
2

,所以

,由此能求出最小正整数 m 的值.

解答: 解: (1)由已知,对所有 n∈N*,Sn=2n ﹣n, (1 分)
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所以当 n=1 时,a1=S1=1, (2 分) 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣3, (3 分) 因为 a1 也满足上式,所以数列{an}的通项公式为 * an=4n﹣3(n∈N ) . (4 分) (2)由已知 bn= , (5 分)

因为{bn}是等差数列,可设 bn=an+b(a、b 为常数) , (6 分) 所以 =an+b,于是 2n ﹣n=an +(ap+b)n+bp,
2 2

所以

, (8 分)

因为 P≠0,所以 b=0,p= . (10 分) (注:用 bn+1﹣bn 为定值也可解,或用其它方法解,可按学生解答步骤适当给分) (3)cn= 所以 Tn=c1+c2+…+cn = = (14 分) 由 Tn< 因为 ,得 m> ,所以 m≥10. , , (12 分)

所以,所求的最小正整数 m 的值为 16 分) 点评:本题材考查数列的性质和应用,解题时要注意不等式性质的合理运用. 2014?岳麓区校级模拟)设二次方程 anx ﹣an+1x+1=0(n∈N )有两根 α、β,且满足 6α﹣2αβ+6β=3. (1)试用 an 表示 an+1; (2)求证:{an﹣ }是等比数列; (3)若 a1= ,求数列{an}的通项公式.
2 *

考点:数列递推式;一元二次方程的根的分布与系数的关系;等比关系的确定. 专题:计算题;转化思想.

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分析: (1)直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积,再代入 6α﹣2αβ+6β=3 整理即可得 . (2)对(1)的结论两边同时减去 整理即可证:数列{ (3)先利用(2)求出数列{ }是等比数列;

}的通项公式,即可求数列{an}的通项公式.

解答: 解: (1)由韦达定理得:





由 6α﹣2αβ+6β=3 得 6 故 (2)证明:因为 .



=3,

= an﹣ = (

) ,

所以



故数列{ (3)当

}是公比为 的等比数列; 时,数列{ }的首项 ,



=

=



于是.an=



点评:本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查.本题虽然问比较多,但 每一问都比较基础,属于中档题.

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