高中数学知识点总结

高考数学基础知识汇总

第一部分 集合 (1)含 n 个元素的集合的子集数为 2^n,真子集数为 2^n-1;非空真子集的数为 2^n-2; (2) 注意:讨论的时候不要遗忘了 的情况。 (3) 第二部分 函数与导数 1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2. 函数值域的求法: ①分析法 ; ②配方法 ; ③判别式法 ; ④利用函数单调性 ; ⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝 对值的意义等);⑧利用函数有界性( 、 、 等);⑨导数法 3.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法: ① 若 f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解 出② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值 域。 (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 分解为基本函数:内函数 与外函数 ; ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数 的定义域是内函数 的值域。 4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ⑵ 是奇函数 ; ⑶ 是偶函数 ; ⑷奇函数 在原点有定义,则 ; ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调 性; (6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义: ① 在区间 上是增函数 当 时有 ; ② 在区间 上是减函数 当 时有 ; ⑵单调性的判定 1 定义法: 注意:一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号; ②导数法(见导数部分); ③复合函数法(见 2 (2)); ④图像法。 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义: 对定义域内的任意 ,若有 (其中 为非零常数),则称函数 为周期函数, 为它

的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指 最小正周期。 (2)三角函数的周期 ① ;② ;③ ; ④ ;⑤ ; ⑶函数周期的判定 ①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论 ① 或 的周期为 ; ② 的图象关于点 中心对称 周期为 2 ; ③ 的图象关于直线 轴对称 周期为 2 ; ④ 的图象关于点 中心对称,直线 轴对称 周期为 4 ; 8.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: ( ;⑵指数函数: ; ⑶对数函数: ;⑷正弦函数: ; ⑸余弦函数: ;(6)正切函数: ;⑺一元二次函数: ; ⑻其它常用函数: 1 正比例函数: ;②反比例函数: ;特别的 2 函数 ; 9.二次函数: ⑴解析式: ①一般式: ;②顶点式: , 为顶点; ③零点式: 。 ⑵二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 10.函数图象: ⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数 法 ⑵图象变换: 1 平移变换:ⅰ ,2 ———“正左负右” ⅱ ———“正上负下”; 3 伸缩变换: ⅰ , ( ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 倍; ⅱ , ( ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 倍; 4 对称变换:ⅰ ;ⅱ ; ⅲ ; ⅳ ; 5 翻转变换: ⅰ ———右不动,右向左翻( 在 左侧图象去掉); ⅱ ———上不动,下向上翻(| |在 下面无图象); 11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对 称点仍在图像上;

(2) 证明函数 与 图象的对称性, 即证明 图象上任意点关于对称中心 (对称轴) 的对称点在 的图象上,反之亦然; 注: ①曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x, y)=0; ③曲线 C1:f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y- a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0); ④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线 x= 对称; 特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; ⑤函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x= 对称; 12.函数零点的求法: ⑴直接法(求 的根);⑵图象法;⑶二分法. 13.导数 ⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 ; ⑵常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ; ④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ; ⑧ 。 ⑶导数的四则运算法则: ⑷(理科)复合函数的导数: ⑸导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切 线? ②利用导数判断函数单调性: ⅰ 是增函数;ⅱ 为减函数; ⅲ 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ求导数 ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最 值。 14.(理科)定积分 ⑴定积分的定义: ⑵定积分的性质:① ( 常数); ② ; ③ (其中 。 ⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式): ⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积: ; 3 求变速直线运动的路程: ;③求变力做功: 。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.⑴角度制与弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度 ⑵弧长公式: ;扇形面积公式: 。 2.三角函数定义:角 中边上任意一点 为 ,设 则: 3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”; 5.⑴ 对称轴: ;对称中心: ;

⑵ 对称轴: ;对称中心: ; 6.同角三角函数的基本关系: ; 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① ② ③ 。 8.二倍角公式:① ; ② ;③ 。 9.正、余弦定理: ⑴正弦定理: ( 是 外接圆直径 ) 注:① ;② ;③ 。 ⑵余弦定理: 等三个;注: 等三个。 10。几个公式: ⑴三角形面积公式: ; ⑵内切圆半径 r= ;外接圆直径 2R= 11.已知 时三角形解的个数的判定: 第四部分 立体几何 1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为 。 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= ;③体积:V=S 底 h ⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= ;③体积:V= S 底 h: ⑶台体: ①表面积: S=S 侧+S 上底 S 下底; ②侧面积: 侧= ; S ③体积: (S+ ) V= h; ⑷球体:①表面积:S= ;②体积:V= 。 3.位置关系的证明(主要方法): ⑴直线与直线平行: ①公理 4; ②线面平行的性质定理; ③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面 平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直: ①定义---两平面所成二面角为直角; ②面面垂直的判定定理。 注:理科还可用向量法。 4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角的求法: 1 平移法:平移直线,2 构造三角形; 3 ②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,4 发现两条异面直线间的关 系。 注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。 ⑵直线与平面所成的角: ①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离 h,与斜线段长度 作比,得 sin 。

注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 ⑶二面角的求法: ①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解; ②三垂线法:由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定 理或逆定理作出二面角的平面角,再求解; ③射影法:利用面积射影公式: ,其中 为平面角的大小; 注:对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法; 理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角。 5.求距离:(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离) ⑴两异面直线间的距离:一般先作出公垂线段,再进行计算; ⑵点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解; ⑶点到平面的距离: ①垂面法: 借助面面垂直的性质作垂线段 (确定已知面的垂面是关键) 再求解; , 5 等体积法; 理科还可用向量法: 。 ⑷球面距离:(步骤) (Ⅰ)求线段 AB 的长; (Ⅱ)求球心角∠AOB 的弧度数;(Ⅲ)求劣弧 AB 的长。 6.结论: ⑴从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面 ∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上; ⑵立平斜公式(最小角定理公式): ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ,则 S 侧 cos =S 底; ⑷长方体的性质 ①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则:cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。 ②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有 cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。 ⑸正四面体的性质:设棱长为 ,则正四面体的: 1 高: ;②对棱间距离: ;③相邻两面所成角余弦值: ;④内切 2 球半径: ; 外接球半径: ; 第五部分 直线与圆 1.直线方程 ⑴点斜式: ;⑵斜截式: ;⑶截距式: ; ⑷两点式: ;⑸一般式: ,(A,B 不全为 0)。 (直线的方向向量:( ,法向量( 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系:

4.直线系 5.几个公式 ⑴设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC 的重心 G:( ); ⑵点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: ; ⑶两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 ; 6.圆的方程: ⑴标准方程:① ;② 。 ⑵一般方程: ( 注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0; 7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 8.圆系: ⑴ ; 注:当 时表示两圆交线。 ⑵ 。 9.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系:( 表示点到圆心的距离) ① 点在圆上;② 点在圆内;③ 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系:( 表示圆心到直线的距离) ① 相切;② 相交;③ 相离。 ⑶圆与圆的位置关系:( 表示圆心距, 表示两圆半径,且 ) ① 相离;② 外切;③ 相交; ④ 内切;⑤ 内含。 10.与圆有关的结论: ⑴过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; ⑵以 A(x1, y2)、 B(x2,y2)为直径的圆的方程: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。 第六部分 圆锥曲线 1.定义:⑴椭圆: ; ⑵双曲线: ;⑶抛物线:略 2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: (e 为离心率); (左“+”右“-”); ②抛物线: ⑵弦长公式: ; 注:(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: ;②抛物线: =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通径(最 短弦):①椭圆、双曲线: ;②抛物线:2p。 ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: ( 同时大于 0 时表示椭圆, 时 表示双曲线); ⑷椭圆中的结论: ①内接矩形最大面积 :2ab;

②P,Q 为椭圆上任意两点,且 OP 0Q,则 ; ③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.点 是 内心, 交 于点 ,则 ; ④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大; ⑸双曲线中的结论: ①双曲线 (a>0,b>0)的渐近线: ; ②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数, ≠0); ③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>. ,( );<Ⅱ>.P 是双曲线 - =1(a>0,b>0) 的左(右)支上一点,F1、F2 分别为左、右焦点,则△PF1F2 的内切圆的圆心 横坐标为 ; ④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直; (6)抛物线中的结论: ①抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB 性质:<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2; <Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以 AB 为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以 AF(或 BF)为直径 的圆与 轴相切;<Ⅴ>. 。 ②抛物线 y2=2px(p>0)内结直角三角形 OAB 的性质: <Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恒过定点 ; <Ⅲ>. 中点轨迹方程: ;<Ⅳ>. ,则 轨迹方程为: ;<Ⅴ>. 。 ③抛物线 y2=2px(p>0),对称轴上一定点 ,则: <Ⅰ>.当 时,顶点到点 A 距离最小,最小值为 ;<Ⅱ>.当 时,抛物线上有关 于 轴对称的两点到点 A 距离最小,最小值为 。 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题: ①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗? ③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点 A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解决问题。 4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列 等式); (3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法; (5)参数法; (6) 交轨法。 第七部分 平面向量 ⑴设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ① a‖b(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0; ② a⊥b(a、b≠0) a?b=0 x1x2+y1y2=0 . ⑵a?b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2; 注:①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上的 投影; 6 a?b 的几何意义:a?b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。 ⑶cos<a,b>= ; ⑷三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线 ; 附:(理科)P,A,B,C 四点共面 。 第八部分 数列 1.定义: ⑴等差数列 ;

⑵等比数列 ; 2.等差、等比数列性质 等差数列 等比数列 通项公式 前 n 项和 性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ 成 AP ③ 成 GP ④ 成 AP, ④ 成 GP, 等差数列特有性质: 1 项数为 2n 时:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); ; ; 2 项数为 2n-1 时:S2n-1=(2n-1) ; ; ; 3 若 ;若 ; 若 。 3.数列通项的求法: ⑴分析法;⑵定义法(利用 AP,GP 的定义);⑶公式法:累加法( ; ⑷叠乘法( 型);⑸构造法( 型);(6)迭代法; ⑺间接法(例如: );⑻作商法( 型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳 法。 注:当遇到 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 4.前 项和的求法: ⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前 n 项和最值的求法: ⑴ ;⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式 1.均值不等式: 注意:①一正二定三相等;②变形, 。 2.绝对值不等式: 3.不等式的性质: ⑴ ;⑵ ;⑶ ; ;⑷ ; ; ;⑸ ;(6) 。 4.不等式等证明(主要)方法: ⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。 第十部分 复数 1.概念: ⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0; ⑵z=a+bi 是虚数 b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b≠0(a,b∈R) z+ =0(z≠0) z2<0; ⑷a+bi=c+di a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则:

(1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i; z1.z2 = (a+bi)?(c+di)= ⑵ (ac-bd) (ad+bc)i; + ⑶z1÷z2 = (z2≠0) ; 3.几个重要的结论: ;⑶ ;⑷ ⑸ 性质:T=4; ; (6) 以 3 为周期,且 ; =0; (7) 。 4.运算律:(1) 5.共轭的性质:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。 6.模的性质:⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ; 第十一部分 概率 1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 (或 ); ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作 (或 ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 为不可能事件( ),则事件 A 与互斥; (6)对立事件: 为不可能事件, 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型: ; ⑶几何概型: ; 第十二部分 统计与统计案例 1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中 抽取一个容量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单 随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为 ; ②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先 制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编 号 ; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反 映总体的情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这 种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 2.总体特征数的估计: ⑴样本平均数 ; ⑵样本方差 ; ⑶样本标准差 = ;

3.相关系数(判定两个变量线性相关性): 注:⑴ >0 时,变量 正相关; <0 时,变量 负相关; ⑵① 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② 接近于 0 时,两个变量之间 几乎不存在线性相关关系。 4.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和: ⑵残差: ;⑶残差平方和: ;⑷回归平方和: - ;⑸相关 指数 。 注:① 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ② 越接近于 1,,则回归效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系): 随机变量 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1. 四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q; ⑵逆命题:若 q 则 p; ⑶否命题:若 p 则 q;⑷逆否命题:若 q 则 p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系:例如:若 ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必 要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 3.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p q; p q pq pq p ⑵或(or):命题形式 p q; 真 真 真 真 假 ⑶非(not):命题形式 p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 表示; 全称命题 p: ; 全称命题 p 的否定 p: 。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 表示; 特称命题 p: ; 特称命题 p 的否定 p: ; 第十五部分 推理与证明 1.推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、 联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都 具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理, 简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类 对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎 推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提---------所研究的特殊情况; ⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。 二.证明 ⒈直接证明 ⑴综合法 一般地, 利用已知条件和某些数学定义、 定理、 公理等, 经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法 或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等), 这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错 误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。 附:数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数 有关的一个命题,可按以下步骤进行: ⑴证明当 取第一个值 是命题成立; ⑵假设当 命题成立,证明当 时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立。 这种证明方法叫数学归纳法。 注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步 骤进行; 3 的取值视题目而 4 定,5 可能是 1,6 也可能是 2 等。 第十六部分 理科选修部分 1. 排列、组合和二项式定理 ⑴排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),当 m=n 时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!; ⑵组合数公式: (m≤n), ; ⑶组合数性质: ; ⑷二项式定理: ①通项: ②注意二项式系数与系数的区别; ⑸二项式系数的性质: ①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若 n 为偶数,中间一项(第 +1 项) 二项式系数最大;若 n 为奇数,中间两项(第 和 +1 项)二项式系数最大; ③ (6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。 2. 概率与统计 ⑴随机变量的分布列:

①随机变量分布列的性质:pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1; ②离散型随机变量: X x1 X2 … xn … P P1 P2 … Pn … 期望:EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ; 方差:DX= ; 注: ; ③两点分布: X 0 1 期望:EX=p;方差:DX=p(1-p). P 1-p p 4 超几何分布: 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则 其 中, 。 称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列, 称 X 服从超几何分布。 ⑤二项分布(独立重复试验): 若 X~B(n,p),则 EX=np, DX=np(1- p);注: 。 ⑵条件概率:称 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率。 注:①0 P(B|A) 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B)。 ⑷正态总体的概率密度函数: 式中 是参数,分别表示总体的平均数(期望值) 与标准差; (6)正态曲线的性质: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线 x= 对称; ③曲线在 x= 处达到峰值 ;④曲线与 x 轴之间的面积为 1; 5 当 一定时,6 曲线随 质的变化沿 x 轴平移; 7 当 一定时,8 曲线形状由 确定: 越大,9 曲线越“矮胖”,10 表示总体分布 越集中; 越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散。 注:P =0.6826;P =0.9544

P =0.9974


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