2016成才之路·人教B版数学·选修2-2练习:第2章 2.2 第2课时 Word版含解析


第二章

2.2

第 2 课时

一、选择题 1 1 1 1.设 a、b、c 都是正数,则三个数 a+ 、b+ 、c+ 导学号 05300807 ( b c a A.都大于 2 C.至少有一个不小于 2 答案] C 1 1 1 1 1 1 解析] a+ +b+ +c+ =a+ +b+ +c+ ≥2+2+2=6.故选 C. b c a a b c 2.异面直线在同一个平面的射影不可能是 导学号 05300507 ( ) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一点与一直线 答案] D 解析] 举反例的方法 如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 D.同一条直线 B.至少有一个大于 2 D.至少有一个不大于 2 )

A1A 与 B1C1 是两条异面直线, 它们在平面 ABCD 内的射影分别是点 A 和直线 BC, 故排除 C; BA1 与 B1C1 是两条异面直线,它们在平面 ABCD 内的射影分别是直线 AB 和 BC,故排除 B; BA1 与 C1D1 是两条异面直线,它们在平面 ABCD 内的射影分别是直线 AB 和 CD,故排除 A.故选 D. 3.已知 x、y∈R,且 x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)有 导学号 05300508 ( 3 A.最小值 ,而无最大值 4 B.最小值 1,而无最大值 1 C.最小值 和最大值 1 2 )

3 D.最大值 1 和最小值 4 答案] D 解析] 设 x=cosα,y=sinα,则(1-xy)(1+xy) =(1-sinαcosα)(1+sinαcosα)=1-sin2αcos2α 1 3 =1- sin22α∈ ,1]. 4 4 4.用反证法证明命题“如果 a>b>0,那么 a2>b2”时,假设的内容应是

导学号 05300509 (
A.a2=b2 C.a2≤b2 答案] C 5.实数 a,b,c 满足 a+2b+c=2,则 导学号 05300510 ( A.a,b,c 都是正数 B.a,b,c 都大于 1 C.a,b,c 都小于 2 1 D.a,b,c 至少有一个不小于 2 答案] D 1 1 1 解析] 假设 a,b,c 均小于 ,则 a+2b+c< +1+ ,与已知矛盾. 2 2 2 6.“M 不是 N 的子集”的充分必要条件是 导学号 05300511 ( A.若 x∈M 则 x?N B.若 x∈N 则 x∈M C.存在 x1∈M?x1∈N,又存在 x2∈M?x2?N D.存在 x0∈M?x0?N 答案] D ) ) B.a2<b2 D.a2<b2,且 a2=b2

)

解析] 按定义,若 M 是 N 的子集,则集合 M 的任一个元素都是集合 N 的元素.所以, 要使 M 不是 N 的子集,只需存在 x0∈M 但 x0?N.选 D. 7.设 a、b、c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R 同时大于零”的 导学号 05300512 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要条件 答案] C 解析] 首先若 P、Q、R 同时大于零,则必有 PQR>0 成立. 其次,若 PQR>0,且 P、Q、R 不都大于 0,则必有两个为负,不妨设 P<0,Q<0,即 a +b-c<0,b+c-a<0,∴b<0 与 b∈R+矛盾,故 P、Q、R 都大于 0.故选 C. 8.用反证法证明某命题时,对其结论:“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”正确的反设 为 导学号 05300513 ( )

A.a、b、c 都是奇数 B.a、b、c 都是偶数 C.a、b、c 中至少有两个偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数或都是奇数 答案] D 解析] “自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”即 a、b、c 中有两奇一偶,故其反面应为都 是奇数或两偶一奇或都是偶数,故选 D. 二、填空题 1 9.设 f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 .用反证法证明此题 2 时应假设____________________. 导学号 05300514 1 答案] |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 2 10.完成反证法证题的全过程. 导学号 05300515 题目:设 a1,a2,?,a7 是 1,2,?,7 的一个排列. 求证:乘积 p=(a1-1)(a2-2)?(a7-7)为偶数. 证明:反设 p 为奇数,则________均为奇数.① 因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数=________________________________② =________________________________③ =0. 答案] ①a1-1,a2-2,?,a7-7 ②(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) ③(a1+a2+?+a7)-(1+2+3+?+7) 11.设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于________.

导学号 05300516
答案] 1 3

1 解析] 假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<1. 3 1 故 a、b、c 中至少有一个数不小于 . 3 三、解答题 2π 4π 12.求证:若 x,y,z 均为实数,且 a=4y-x2- ,b=4z-y2- ,c=4x-z2-2π,求 3 3 证:a,b,c 中至少有一个小于零. 导学号 05300517 证明] 假设 a,b,c 都不小于零,则 a+b+c≥0. 所以 a+b+c=(4y-x2- -4π+12≥0. 因为-(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0, 所以-4π+12≥0, 即 4π≤12,这与基本事实 4π>12 矛盾. 故 a,b,c 中至少有一个小于零. 2π 4π )+(4z-y2- )+(4x-z2-2π)=-(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2] 3 3

一、选择题 1.实数 a,b,c 不全为 0 的含义是 导学号 05300518 ( A.a,b,c 均不为 0 B.a,b,c 中至多有一个为 0 C.a,b,c 中至少有一个为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 答案] D 解析] “不全为 0”即“至少有一个不为 0”. 2.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要 做的假设是 导学号 05300519 ( ) )

A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 答案] A 解析] 本题考查命题的非的写法. 至少有一个实根的否定为:没有实根. 反证法的假设为原命题的否定.

3.已知 x>0,y>0,x+y≤4,则有 导学号 05300520 ( 1 1 A. ≤ x+y 4 C. xy≥2 答案] B 解析] 由 x>0,y>0,x+y≤4 得 1 1 ∴ ≥ ,D 错. xy 4 1 1 B. + ≥1 x y 1 D. ≥1 xy

)

1 1 ≥ ,A 错;x+y≥2 xy,∴ xy≤2,C 错;xy≤4, x+y 4

4.(2016· 北京文,8)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛 两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 学生序号 立定跳远 (单位:米) 30 秒跳绳 (单位:次) 1 1.96 2 1.92 3 1.82 4 1.80 5 1.78 6 1.76 7 1.74 8 1.72 9 1.68 10 1.60

63

a

75

60

63

72

70

a-1

b

65

在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决 赛的有 6 人,则 导学号 05300521 ( A.2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B.5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C.8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D.9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 答案] B 解析] 由数据可知,进入立定跳远决赛的 8 人为 1~8 号,所以进入 30 秒跳绳决赛的 6 人从 1~8 号里产生. 数据排序后可知 3 号, 6 号, 7 号必定进入 30 秒跳绳决赛,则得分为 63, a,60,63,a-1 的 5 人中有 3 人进入 30 秒跳绳决赛.若 1 号,5 号学生未进入 30 秒跳绳决赛, 则 4 号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以 1 号,5 号学生必进入 30 秒跳绳决赛.故选 B. 二、填空题 5.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________. 导学号 05300522 答案] 存在一个三角形,其外角至多有一个钝角 6.用反证法证明命题“如果 AB∥CD,AB∥EF,那么 CD∥EF”,证明的第一个步骤是 ________. 导学号 05300523 答案] 假设 CD 与 EF 不平行 7. 用反证法证明命题: “a, b∈N, ab 可被 5 整除, 那么 a、 b 中至少有一个能被 5 整除” )

时,假设的内容应为__________________. 导学号 05300524 答案] 假设 a、b 都不能被 5 整除 三、解答题 1+x 1+ y 8.若 x>0,y>0,且 x+y>2,求证 <2 和 <2 中至少有一个成立.导学号 05300525 y x 解析] 假设都不成立,即有 ∵x>0,y>0, ∴1+x≥2y 且 1+y≥2x, ∴2+(x+y)≥2(x+y), ∴x+y≤2,这与已知条件 x+y>2 矛盾. ∴假设不成立,原命题成立, 即 1+x 1+y <2 和 <2 中至少有一个成立. y x 1+x 1+y ≥2 且 ≥2. y x

9.求证:当 x2+bx+c2=0 有两个不相等的非零实数根时,bc≠0. 导学号 05300526 证明] 假设 bc=0. (1)若 b=0,c=0,方程变为 x2=0;则 x1=x2=0 是方程 x2+bx+c2=0 的两根,这与方程 有两个不相等的实数根矛盾. (2)若 b=0,c≠0,方程变为 x2+c2=0;但 c≠0,此时方程无解,与 x2+bx+c2=0 有两 个不相等的非零实数根矛盾. (3)若 b≠0,c=0,方程变为 x2+bx=0,方程的根为 x1=0,x2=-b,这与方程有两个非 零实根矛盾. 综上所述,可知 bc≠0. 1 1 10.(2015· 湖南理,16)设 a>0,b>0,且 a+b= + .证明: 导学号 05300527 a b (1)a+b≥2; (2)a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立. 1 1 a+b 证明] 由 a+b= + = ,a>0,b>0,得 ab=1. a b ab (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2 ab=2,即 a+b≥2; (2)假设 a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立,则由 a2+a<2 及 a>0 得 0<a<1,同理 0<b<1,从而 ab<1,这与 ab=1 矛盾,故 a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立.


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