人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT_图文

极 坐 标 与 参 数 方 程 起源、考纲要求、重要性 基本知识点与性质 高考中的极坐标与参数方程 高等数学中的极坐标与参数方程 一、希腊人最早使用了角度和弧度的概念。 ◆天文学家喜帕恰斯制成了一张求各角所对弦的弦长函数的 表格。并且,曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。 ◆在螺线方面,阿基米德描述了他的著名的螺线,一个半径 随角度变化的方程。希腊人作出了贡献,尽管最终并没有建 立整个坐标系统。 二、极坐标系概念的引入 ◆格雷瓜·德·圣-万桑特和博纳文图拉·卡瓦列里,被认为 在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。 ◆圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647 年,而卡瓦列里在1635进行了发表,而后又于1653年进行了 更正。 ◆卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线 内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛 物线的长度。 三、极坐标的正式应用和扩展 ◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中,牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线,定点称为极点,射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。 ◆克莱罗和欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维 空间的数学家。 考试大纲要求 1. 理解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换 作用下平面图形的变化情况; 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置。理解在 极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行 极坐标和直角坐标的互化; 3. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆)的方程。通过比较这些图形在极 坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图 形时选择适当坐标系的意义; ⒋了解参数方程及其意义,能选择适当的参数写出直线、 圆和圆锥曲线的参数方程; 5.能选择适当的参数,写出直线、圆和圆锥曲线的参数 方程。 关于教材编排 参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础,鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析,以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式,能等价互化参数方程与普通方程;借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势,理解 学习参数方程的缘由。 数与形的结合、运动与变化、相对与绝对、分解 与综合等思想方法十分突出,是培养学生辩证唯物 主义观点的好素材。 学习本部分知识的意义 ◆掌握极坐标系和参数方程的基本概念,对曲线 有多种表现方式也会有深刻认识; ◆重温坐标法思想,拓宽了学生思维宽度; ◆体会从各种生产生活问题中抽象出数学问题的 过程,激发学生的探究精神,了解数学的实用意 义,提高学生的数学应用意识和实践能力。 极坐标系和参数方程虽为选修内容,高中学生也 应该重视对本专题的学习,既可以体会其中的数 学思想,也能提高对数学的认识,而且可以与已 学知识融会贯通 极坐标系 定义:平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点,0x为极轴,选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向), 这就构成了极坐标系。 ρ O θ 1 x P(ρ, θ ) y P(ρ,θ ) ρ θ O x 平面上一点P到点O的距 离|OP|称为极径P,OP与 OX轴的夹角θ称为极角, 有序数对P(ρ,θ), 就叫做点P的极坐标 (1)一般情况下。不特加以说明时P表示非负数: 当ρ=0时表示极点: 当ρ<0时,点P(ρ,θ)的位置这样确定, 作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取一 点P',使得|OP'|=ρ,点P'即为所求的点。 (2)点P(ρ,θ)与点(ρ,2kπ+θ)(k∈Z) 所表示的是同一个点,即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述,在极坐标系中,点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应 (ρ,θ),(ρ,2kπ+θ),(-ρ,(2k+1)π+θ)均 表示同一个点 3.极坐标和直角坐标的互化 y (1)互化背景:把直角坐标系 的原点作为极点,x轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取 相同的长度单位,如图所示: ρ θ O x N M y x (2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直 角坐标私(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 互化公式 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ, θ) x=ρcos θ y=ρsin θ Ρ2=x2+y2 tanθ=y/x(x≠0) 在一般情况下,由tanθ 确定角时,可根据点M所在的象限最小正角 4.直线的极坐标方程: (1)过极点倾斜角为α的直线: θ=α(ρ∈R)或写 成θ=α及θ=α+π (2)过A(a,α)垂直于极轴的直线:ρcosθ=acosα 5.圆的极坐标方程: (1)以极点为O为圆心,a(a>0)为半径的圆:ρ=a. (2)过O(0,0),A(2a,0)(a>0),以OA为直径的圆: ρ=2acos θ 参数方程 1.概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意 一点的坐标x,y都是某个变量t的函数: x=f(t) 并且对于每个t的每一个允许值,方程所确定的 y=g(t) x=f(t) 点M(x,y)都是在这条曲线上,那么方程 y=g(t) 就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y间的关系,变数t叫做 参变数(简称参数) 相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上 的点的坐标关系的方程F(x,y)=0, 叫做曲线的普通方程。 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形

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