配套K12高三数学(理科)二轮专题复习训练:专题强化练十七

小学+初中+高中+努力=大学

专题强化练十七

一、选择题

1.甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“《论语》知识大赛”,决出 第 1 名到第 5 名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲 说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当 然不会是最差的”.从上述回答分析,丙是第一名的概率是( )

A.15

B.61

C.14

D.13

解析:由于甲和乙都不可能是第一名,所以第一名只可能是丙、 丁或戊,又考虑到所有的限制条件与丙、丁或戊都无关,所以这三个 人获得第一名是等概率事件,概率为13.

答案:D

2.(2018·广州模拟)三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股 圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的 “勾股圆方图”中,四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一 个大正方形,其中一个直角三角形中较小的锐角 α 满足 tan α=34,现 向大正方形内随机投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是 ()

小学+初中+高中+努力=大学

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4

3

2

1

A.25

B.25

C.25

D.25

解析:在 Rt△ABC 中,tan α=34.不妨设 BC=3,AC=4,则 DC =1,AB=5.

所以所求事件的概率 P=SS小大正正方方形形=DABC22=215.

答案:D

3.(2018·浙江卷)设 0<p<1,随机变量 ξ 的分布列是

ξ

0

1

2

1-p

P

2

1 2

p 2

则当 p 在(0,1)内增大时( )

A.D(ξ)减小

B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小

解析:由题可得 E(ξ)=21+p,所以 D(ξ)=-p2+p+14=-???p-12???2+ 12,所以当 p 在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.

答案:D

4.(2018·长郡中学二模)设随机变量 X 服从正态分布 N(4,σ2),若 P(X>m)=0.3,则 P(X>8-m)=( )
小学+初中+高中+努力=大学

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A.0.2

B.0.3

C.0.7

D.与 σ 的值有关

解析:因为随机变量 X 服从正态分布 N(4,σ2),

所以正态曲线的对称轴是 x=4,

因为 P(X>m)=0.3,且 m 与 8-m 关于 x=4 对称,

由正态曲线的对称性,

得 P(X>m)=P(X<8-m)=0.3,

故 P(X>8-m)=1-0.3=0.7.

答案:C

5.(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为

p,各成员的支付方式相互独立.设 X 为该群体的 10 位成员中使用移

动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则 p=(

)[来源:学科网]

A.0.7

B.0.6

C.0.4

D.0.3

解析:依题意,X~B(0,p),

所以 D(X)=10p(1-p)=2.4,解得 p=0.4 或 p=0.6.

由 P(X=4)<P(X=6)

得 C410p4(1-p)6<C160p6(1-p)4,解得 p>12,

因此 p=0.6.

答案:B
小学+初中+高中+努力=大学

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二、填空题

6.(2018·全国卷Ⅰ)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛, 且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有________种(用数字作答).

解析:法一 分两种情况:只有 1 位女生入选,不同的选法有 C12 C42=12(种);有 2 位女生入选,不同的选法有 C22C41=4(种),至少有 1 位女生入选的不同的选法有 16 种.

法二 从 6 人中任选 3 人 ,不同的选法有 C63=20(种),从 6 人中

任选

3

人都是男生,不同的选法有

C =4(种). 3

4

[来源:学科网 ZXXK]

所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20-4=16(种).

答案:16

7.???x2+2x???5的展开式中 x4 的系数是________.

解析:展开式的通项公式 Tr+1=Cr5(x2)5-r·???2x???r= 2rCr5x1 0-3r, 令 10-3r=4,得 r=2. 所以 x4 的系数为 22C52=40. 答案:40 8.在区间[-6,7]内任取一实数 m,f(x)=-x2+mx+m 的图象 与 x 轴有公共点的概率为________. 解析:因为 f(x)=-x2+mx+m 图象与 x 轴有公共点,

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所以 Δ=m2+4m≥0,则 m≥0 或 m≤-4. 故所求事件概率 P=7-7(+-26)=193. 答案:193 三、解答题 9.(2018·湖南六校联考)为响应国家“精准扶贫,产业扶贫”战略 的号召,进一步优化能源消费结构,某市决定在地处山区的 A 县推进 光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取 50 户,统计其年用电量得 以下统计表.以样本的频率作为概率.

用电量 (0,200] (200,400] (400,600] (600,800] (800,1 000]
(单位:度)

户数

5

15

10

15

5

(1)在该县山区居民中随机抽取 10 户,记其中年用电量不超过 600 度的户数为 X,求 X 的数学期望;

(2)已知该县某山区自然村有居民 300 户.若计划在该村安装总装 机容量为 300 千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证 该村正常 用电外,剩余电量国家电网以 0.8 元/度的价格进行收购.经测算每千 瓦装机容量的发电机组年平均发电 1 000 度,试估计该机组每年所发电 量除保证正常用电外还能为 该村创造直接收益多少元.

解:(1)记在抽取的 50 户居民中随机抽取 1 户,其年用电量不超过
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600 度为事件 A,则 P(A)=53. 由已知可得从该县山区居民中随机抽取 10 户,记其中年用电量不
超过 600 度的户数为 X,且 X~B???10,35???. 故 E(X)=np=10×35=6. (2)设该县山区居民户年均用电量为 E(Y),由抽样可得 E(Y)=100
×550+300×1550+500×1500+700×1550+900×550=500(度). 则该自然村年均用电约 150 000 度.又该村所装发电机组年预计发
电量为 300 000 度,故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余 电量约 150 000 度,能为该村创造直接收益 120 000 元.
10.(2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类 整理得到下表:

电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类

电影部数 140

50

300

200

800

510

好评率

0.4

0.2

0.15 0.25

0.2

0.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比 值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好
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评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1 部
获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率
相等.用“ξk=1”表示第 k 类电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差 D(ξ1), D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.
解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取 1 倍,这部电影是 获得好评的第四类电影”为事件 A.
因为第四类电影中获得好评的电影有 200×0.25=50(部), 所以 P(A)=140+50+300+50200+800+510=2 50000=0.025. (2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机取一部,恰有 1 部获 得好评”为事件 B. 则 P(B)=0.25×(1-0.2)+(1-0.25)×0.2=0.35. 故所求事件的概率估计为 0.35. (3)由题意可知,定义随机变量 如下: ξk=?????01,,第第kk类类电电影影没得有到得 人到 们人 喜们 欢喜 ,欢, 则 ξk 显然服从两点分布,故 D(ξ1)=0.4×(1-0.4)=0.24, D(ξ2)=0.2×(1-0.2)=0.16,
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D(ξ3)=0.15×(1-0.15)=0.127 5, D(ξ4)=0.25×(1-0.25)=0.187 5, D(ξ5)=0.2×(1-0.2)=0.16, D(ξ6)=0.1×(1-0.1)=0.09. 综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6). 11.(2018·哈尔滨二模)某产品按行业生产标准分成 8 个等 级,等 级系数 X 依次为 1,2,…,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B. 已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行 标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品 都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

X1 5

6

7

8[来源:学#科#网

Z#X#X#K]

P 0.4 a b 0.1[来
源:Z.xx.k.Com]

且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值;

(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:

3533855634 6347534853
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8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级 系数 X2 的数学期望 ;

(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂 的产品更具可购买性?说明理由.
[来源:Zxxk.Com]

产品的等级系数的数学期望

注:①产品的“性价比”=

产品的零售价



②“性价比”大的产品更具可购买性.

解:(1)因为 E(X1)=6,所以 5×0.4+6a+7b+8×0 .1=6,
即 6a+7b=3.2,又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1,即 a+b=0.5,

由?????6a+a+b=7b=0.53,.2,解得?????ab==00..32,. (2)由已知得:样本的频率分布表如下:

等级系数 345678
X2
样本频率 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等 级系数 X2 的概率分布列如下:

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X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以 E(X2)=3× 0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1= 4.8, 即乙厂产品的等级系数的数学期望为 4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的数学期望为 6,价格为 6 元/件,所以 其性价比为66=1, 因为乙厂产品的等级系数的数学期望为 4.8,价格为 4 元/件 ,所 以其性价比为44.8=1.2, 所以乙厂的产品更具可购买性.
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小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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