高中数学导数试题

十、《导数》变式题(命题人:广大附中 王映)

一 导数的概念与运算

1。如果质点 A 按规律 s=2t3 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为( )

A. 6m/s

B. 18m/s

C. 54m/s

D.

81m/s 解析:∵s′=6t2,∴s′|t=3=54. 答案:C

变式:定义在 D 上的函数 f (x) ,如果满足: ? x ? D , ? 常数 M ? 0 ,都有| f (x) | ≤M

成立,则称 f (x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界.
文(1)若已知质点的运动方程为 S(t) ? 1 ? at ,要使在 t ?[0 , ? ?) 上的每一时刻 t ?1
的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

理(2)若已知质点的运动方程为 S (t) ? 2t ? 1 ? at ,要使在 t ?[0 , ? ?) 上的每一

时刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

解:

(1)

∵ S ?(t)

?

(t

?1 ? 1)2

?a.

由| S?(t) | ≤1,得|

(t

?1 ? 1)2

? a | ≤1

?



?? ?

(t

?

?? (t

?1 ? 1)2
?1 ? 1)2

?a ?a

?1 ? ?1

?

???a ? ?a ??

? ?

(t (t

1 ? 1)2
1 ? 1)2

?1 ?1

令 g(t)

?

(t

1 ? 1)2

? 1 ,显然 g(t) 在[0,??) 上单调递减,

则当 t→+∞时, g(t) →1. ∴ a ? 1

令 h(t)

?

(t

1 ? 1)2

?1,显然 h(t) 在[0,??) 上单调递减,

则当 t ? 0 时, h(t)max ? h(0) ? 0 ∴ a ? 0

∴0≤a≤1; 故所求 a 的取值范围为 0≤a≤1.

(2)∵ S ?(t) ? 1 ? a . 由| S?(t) | ≤1,得| 1 ? a | ≤1

2t ? 1

2t ? 1

?



?? ?

?

1 ?a ?1 2t ? 1 1 ? a ? ?1

?? 2t ? 1

?

???a ?

?

?a ? ??

1 ?1 2t ? 1 1 ?1 2t ? 1

令 g(t) ? 1 ,则 g?(t) ? ? 1 .

2t ? 1

(2t ? 1)3

当 t ?[0 , ? ?) 时,有 g?(t) ? 0 ,

∴ g(t) ? 1 在[0,+∞ ) 上单调递减. 2t ? 1

故当 t=0 时,有 g(t)max ? g(0) ? 1 ;

又 g(t) ? 1 ? 0 ,当 t→+∞时, g(t) ? 1 →0,

2t ? 1

2t ?1

∴ g(t) ? (0, 1] ,从而有 1 ?1≤0,且 1 ? 1 ? 1 . ∴0≤a≤1;

2t ? 1

2t ?1

故所求 a 的取值范围为 0≤a≤1.

2.已知 f (x) ? 1 ,则 lim f (2 ? ?x) ? f (2) 的值是( )

x

?x?0

?x

A. ? 1 4

1
B. 2 C.
4

D. -2

解:

得 lim ?x?0

f

(2 ? ?x) ? ?x

f

(2)

?

f

'(2)

?

?

1 x2

x?2

?

?1 4

选A

变式 1: 设f ??3? ? 4, 则lim f ?3 ? h?? f ?3? 为 ( )

h?0

2h

A.-1

B.-2

C.-3

D.1

解:

lim
h?0

f

?3? h? ?
2h

f

?3?

=-

1 2

lim
? h?0

f

?3? h? ?
?h

f

?3? =- 1
2

f

'(3)=-2 .

选 B.

变式

2: 设f

?

x

?

在x0可导,



lim
?x?0

f

? x0

? ?x? ? f
?x

? x0

? 3?x? 等于

()

A. 2 f ??x0 ?

B. f ??x0 ?

C. 3 f ??x0 ?

D. 4 f ??x0 ?

3.人教版选修 1-1 第 84 页例 2,选修 2-2 第 8 页例 2:
根据所给的函数图像比较曲线h(t)在t0 ,t1,t2附近得变化情况。 变式:函数 f (x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )

A. 0 ? f / (2) ? f / (3) ? f (3) ? f (2)

y

B. 0 ? f / (3) ? f (3) ? f (2) ? f / (2)

C. 0 ? f / (3) ? f / (2) ? f (3) ? f (2)

D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f / (2) ? f / (3)

O1234

x

解:设 x=2,x=3 时曲线上的点为 A、B,点 A 处的切线为 AT

点 B 处的切线为 BQ,

? f (3) ? f (2) ?

f

(3) ? 3?

f 2

(2)

?

k AB

y

? f ?(3) ? kBQ , f ?(2) ? k AT ,

如图所示,切线 BQ 的倾斜角小于

直线 AB 的倾斜角小于

Q

切线 AT 的倾斜角

T B A

? kBQ ? k AB ? k AT
所以选 B

O 1234

x

4.人教版选修 1-1 第 93 页习题 A 组第 4 题,选修 2-2 第 18 页习题 A 组第 4 题,

求所给函数的导数:

(文科)y ? x3 ? log2 x;

y ? xnex; y ? x3 ?1 sin x



(理科)y ? (x ?1)99; y ? 2e?x; y ? 2xsin ?2x ? 5?

变式:

设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) >0.

且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是

()

A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0, 3)

C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)

D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

5.人教版选修 1-1 第 93 页 A 组第 6 题、选修 2-2 第 18 页 A 组第 6 题

已知函数 y ? x ln x .(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数在点 x ?1 处的切线的方程.

变式 1:已知函数 y ? e x .(1)求这个函数在点 x ? e 处的切线的方程;

(2)过原点作曲线 y=ex 的切线,求切线的方程.

解:(1)依题意得:切点为 (e, ee ), y? |x?e ? ee ,? k ? ee ,
由点斜式得切线方程 y ? ee ? ee ?x ? e?,

即 y ? ee x ? ee?1 ? ee .

? ? (2) 设切点为 x0,ex0 , y? |x?x0 ? ex0 ,?k ? ex0 ,
? ? 由点斜式得 y ? e x0 ? e x0 x ? x0 ,
?切线过原点,?0 ? e x0 ? e x0 (0 ? x0 ),? e x0 ? 0,? x0 ? 1,?

切点为 (1, e), ?k ? e, 由点斜式,得: y ? e ? e(x ?1), 即: y ? ex.

变式 2:函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=(

)

A. 1 B. 1

C. 1

D. 1

8

4

2

解:设切点为 ? x0, y0 ?, y? |x?x0 ? 2ax0,?k ? 2ax0 ?1, ①

又 点(x0, y0 )在曲线与直线上,

即:??? y0 ? ax02 ?1



?? y0 ? x0

由①、②得

a=

1 4

,选

B

说明:1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同,注意审题,后者一定要先“设

切点的坐标” 2.求切线方程的步骤是:(1)明确切点;(2)确定该点处的切线的斜率(即

该点处的导数值);(3)若切点不明确,则应考虑先设切点.

6.人教版选修 1-1 第 99 页例 2 选修 2-2 第 25 页例 2

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

变式 1:函数 f (x) ? x ? e?x 的一个单调递增区间是

A. ??1,0? B. ?2,8? C. ?1,2? D. ?0,2?

? ? ? ? 解:

f (x) ? x ? e?x

?

x ex

.?

f

?(x)

?

1?

ex ? ex

x
2

?

ex

?

?1? x?? ex
ex 2

? 0,? x ? 1,选 A

或 f ?(x) ? 1? e?x ? x ? e?x ? ??1? ? (1 ? x) ? e?x ? 0.? e?x ? 0,? x ? 1. (理科要求:复合函数

求导)
变式 2:(1) 已知函数 y ? 1 x3 ? x2 ? ax ? 5(1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则 a 的 3

值是

. (2) 若 函 数 在 [1,??) 上 是 单 调 增 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围



.

? ? 解: (1)若函数的单调递减区间是(-3,1)? (?3,1) ? x f ?(x) ? 0 ,(2) 若函数在[1,??)

上是单调增函数 ? ?1, ??? ? ?x f ?(x) ? 0?

? ? 解:(1)y? ? x2 ? 2x ? a ,因为函数的单调递减区间是(-3,1)? (?3,1) ? x f ?(x) ? 0 ,

所以-3,1 是方程 x2 ? 2x ? a ? 0的两个实数根,由韦达定理,?? 3??1 ? a,?a ? ?3(草图略)
? (2)若函数在[1,??) 上是单调增函数 ? ?1, ??? ? x f ?(x) ? 0??,
如图示,分类讨论:
① 当 ? ? 0, 即 4 ? 4a ? 0, 即 a ? 1,? 条件成立;

?? ? 0





??? ?? f

1?1 ?(1) ?

0

?

?a ??3

? ?

1 a

?

0

,即

? 3 ? a ? 1,? 条件成立;

综上, a ? ?3,? 条件成立, a ? ?3 为所求.

变式 3: 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f (x) ? x3 ? ax与g(x) ? bx2 ? c 的图象的一个公
共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线.
(Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f (x) ? g(x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围.

解:(I)因为函数 f (x) , g(x) 的图象都过点( t ,0),所以 f (t) ? 0 ,

即 t 3 ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 .

又因为 f (x) , g(x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t) ? g?(t).

而 f ?(x) ? 3x2 ? a, g?(x) ? 2bx,所以3t 2 ? a ? 2bt.

将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t. 因此 c ? ab ? ?t 3. 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3.

(II)解法一 y ? f (x) ? g(x) ? x3 ? t 2 x ? tx2 ? t 3 , y? ? 3x2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t)( x ? t) .

当 y? ? (3x ? t)(x ? t) ? 0 时,函数 y ? f (x) ? g(x) 单调递减.

由 y? ? 0 ,若 t ? 0,则 ? t ? x ? t ;若 t ? 0,则t ? x ? ? t .

3

3

由题意,函数 y ? f (x) ? g(x) 在(-1,3)上单调递减,则

所以 t ? 3或 ? t ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3
所以 t 的取值范围为 (??,?9] ?[3,??).

解法二: y ? f (x) ? g(x) ? x3 ? t 2 x ? tx2 ? t 3 , y? ? 3x2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t)( x ? t)

因为函数 y ? f (x) ? g(x) 在(-1,3)上单调递减,且 y? ? (3x ? t)(x ? t) 是(-1,

3) 上的抛物线,

所以

? ? ?

y y

? ?

| |

x??1 ? 0, x?3 ? 0.



?(?3 ? t)(?1? t) ? ??(9 ? t)(3 ? t) ? 0.

0.

解得 t

?

?9或t

?

3.

所以 t 的取值范围为 (??,?9] ?[3,??).

7.人教版选修 1-1 第 103 页例 4 ,选修 2-2 第 29 页例 4

求函数 f (x) ? 1 x3 ? 4x ? 4 的极值. 3
人教版选修 1-1 第 106 页例 5 ,选修 2-2 第 32 页例 5

求函数 f (x) ? 1 x3 ? 4x ? 4 在?0,3? 上的最大值与最小值..
3 变式 1: 函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则

函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解:注意审题,题目给出的是导函数的图像。 先由导函数取值的正负确定函数的单调性,然 后列表可判断函数极小值点的个数。选 A

变式 2:已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点

x0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '(x) 的图 象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求:

(Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a,b, c 的值.

解:

(Ⅰ)由图得

X

(0,1) 1 (1,2) 2

0

0













则 x0 =1;

? f (1) ? 5 ?a ? b ? c ? 5

(Ⅱ)依题意得

? ?

f

' (1)

?

0

即 ??3a

?

2b ? c

?

0

? ?

f

' (2)

?

0

??12a ? 4b ? c ? 0

? a ? 2,b ? ?9,c ?12 .

变式 3:

若函数 f (x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f (x) 有极值 ? 4 , 3

(1)求函数的解析式;
(2)若函数 f (x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.
解: f ??x? ? 3ax2 ? b
(1) 由题意:
? 所求解析式为 f ?x? ? 1 x3 ? 4x ? 4
3
(2)由(1)可得: f ??x? ? x2 ? 4 ? ?x ? 2??x ? 2? 令 f ??x? ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?2
当 x 变化时, f ??x? 、 f ?x? 的变化情况如下表:



单调递增↗

单调递减↘

单调递增↗

因此,当 x ? ?2 时, f ?x? 有极大值 28
3
当 x ? 2 时, f ?x? 有极小值 ? 4
3
? 函 数 f ?x? ? 1 x3 ? 4x ? 4 的 图 象 大 致 如 图 : … … 13 分
3

y=k

由图可知: ? 4 ? k ? 28

3

3

变式 4:已知函数 f (x) ? x3 ? 1 x2 ? 2x ? c ,对 x?〔-1,2〕,不等式 f(x)?c2 恒成 2
立,求 c 的取值范围。

解:

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数 f(x)的单调区间如下表:

X

(-?,- 2 ) - 2

3

3

f?(x) +

0

(- 2 ,1) 1 3



0

(1,+?) +

f(x) ?

极大值 ?

极小值 ?

f(x)=x3- 1 x2-2x+c,x?〔-1,2〕,当 x=- 2 时,f(x)= 22 +c 为极大值,

2

3

27

而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。

要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕)恒成立,只需 c2?f(2)=2+c

解得 c?-1 或 c?2

三、导数的在研究函数中的应用及生活中的优化问题

8.人教版选修 1-1 第 108 页 B 组习题,选修 2-2 第 34 页 B 组习题

利用函数的单调性,证明: ln x ? x ? ex , x ? 0
变式 1:证明:1? 1 ? ln?x ?1? ? x , x ? ?1
x ?1
证明:(1)构造函数 f (x) ? ln?x ?1?? x , ? f ?(x) ? 1 ?1 ? ? x (x ? ?1) ,当 x ? 0, f ??0? ? 0 ,得下表
x ?1 x ?1

+ 单调递增

0
极大值 f (0) ? 0

— 单调递减

? x ? ?1, 总有 f (x) ? f (0) ? 0,?ln?x ?1?? x ? 0, ?ln?x ?1? ? x. 另解? f ?(x) ? 1 ?1 ? ? x (x ? ?1) ,当 x ? 0, f ??0? ? 0 ,
x ?1 x ?1
当 ?1 ? x ? 0 , f ??x? ? 0, f (x) 单调递增,??1 ? x ? 0, f (x) ? f (0) ? 0, ……①
当 x ? 0 , f ??x? ? 0, f (x) 单调递减,? x ? 0, f (x) ? f (0) ? 0, ………………②

当 x ? 0, f ?0? ? 0

…………………………………………………………③

综合①②③得:当 x ? ?1时, f (x) ? 0, ?ln?x ?1?? x ? 0, ?ln?x ?1? ? x.

(2)构造函数 g(x) ? ln(x ?1) ?

1 ?1, ? g?(x) ? x ?1

x

1 ?

1

?

?x

1
? 1?2

?

x
?x ?1?2



当 x ? 0, g??0? ? 0 ,当 ?1 ? x ? 0, g??x? ? 0, g(x) 单调递减;

当 x ? 0, g??x? ? 0, g(x) 单调递增;? x ? 0, g(x) 极小值= ? ?g(x)?min ? g(0) ? 0 ,

? x ? ?1, 总有 g(x) ? g(0) ? 0,? ln(x ?1) ? 1 ?1 ? 0, 即:1? 1 ? ln(1? x) .

x ?1

x ?1

综上(1)(2)不等式1? 1 ? ln?x ?1? ? x 成立.
x ?1
变式:(理科)设函数 f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.若关于 x 的方程 f(x)=x2+x+a 在[0,2]上恰好有

两个相异的实根,求实数 a 的取值范围.

解:

方程 f(x)=x2+x+a, 即 x-a+1-ln(1+x)2=0,记 g(x)=x-a+1-ln(1+x)2.

所以 g?(x) ? 1 ? 2 ? x ?1 .由 g?(x) >0,得 x<-1 或 x>1,由 g?(x) <0 1? x x ?1

得-1<x<1.

所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增,为使 f(x)=x2+x+a 在[0,2]上恰好有两

个相异的实根,只须 g(x)=0 在[0,1)和(1,2] 上各有一个实根,于是有

? ? 9. 函数 f (x) ? x3 ? 3x?x ? R?, 若 f mx 2 ? f ?1? mx ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围

解:由 f ?(x) ? 3x2 ? 3 ? 3 ? 0 ,得 x ? ?? ?,???, f ?(x) ? 0, f (x) 单调递增;

又 x ? ?? ?,???, ? x ? ?? ?,???, f (?x) ? ?? x?3 ? 3?? x? ? ?x3 ? 3x ? ? f (x) ,
? ? ? ? 所以 f (x) 是奇函数.? f mx 2 ? f ?1? mx ? ? 0, ? f mx 2 ? ? f ?1? mx ? ? f (mx ?1) ,

? f (x) 在 ?? ?,??? 上单调递增, ?mx2 ? mx ?1恒成立,即:?mx2 ? mx ?1 ? 0 恒成

立,分类:①当 m ? 0时,1 ? 0 恒成立, m ? 0适合;

②当

m

?

0,

mx2

?

mx

?1

?

0

恒成立

?

?m ???

? ?

0 m2

?

4m

?

0

解得:

0

?

m

?

4;

综上, 0 ? m ? 4
说明:(1)通过研究函数的性质(单调性与奇偶性),利用函数的性质解决不等式问题,

是函数思想的重要应用.(2)找寻使 mx2 ? mx ?1 恒成立的条件实际上依然用的是函数图像
(数形结合)的函数思想.

变式:设函数 f (x) ? x3 ? 3x?x ? R?, 若 f ?m sin? ? ? f ?1 ? m? ? 0??0 ? ? ? ? ?? 恒成立,求

?

2?

实数 m 的取值范围.

解:由 f ?(x) ? 3x2 ? 3 ? 3 ? 0 ,得 x ? ?? ?,???, f ?(x) ? 0, f (x) 单调递增;

又 x ? ?? ?,???, ? x ? ?? ?,???, f (?x) ? ?? x?3 ? 3?? x? ? ?x3 ? 3x ? ? f (x) , 所以 f (x) 是奇函数.? f ?msin? ? ? ? f ?1? m? ? f (m ?1) ,

?msin? ? m ?1??0 ? ? ? ? ?? 恒成立,即?m?1? sin? ? ? 1?? 0 ? ? ? ? ?? 恒成立.

?

2?

?

2?

①当? ? ? ,0 ? 1 成立; m? R; ②当 0 ? ? ? ? , ?m?1? sin? ? ? 1 ? m ? 1 ?

2

2

1? sin?

10.如图,曲线段 OMB 是函数 f (x) ? x2 (0 ? x ? 6) 的图象, BA ? x 轴于点 A,曲线段

OMB 上一点 M (t, t2 ) 处的切线 PQ 交 x 轴于点 P,交线段 AB 于点

Q (1)若 t 已知,求切线 PQ 的方程

(2)求 ?QAP 的面积的最大值

解:(1) f ' (x) ? 2x ,所以过点 M 的切线的斜率为 k ? f ' (t) ? 2t

由点斜式得切线 PQ 方程为 y ? t 2 ? 2t(x ? t) ,

即 y ? 2tx ? t 2 ……①

(2) S?QAP

?

1 2

AP

AQ

?

1 2

(6

?

x

p

)

yQ …………②

对①令 x=6 得 yQ ? 12t ? t 2 …………③

令 y=0 得 xP

?

t …………④ 2

③④代入②得

S?QAP

?

1 2

(6 ?

t) 2

(12t

?t2)

?

1 t3 4

? 6t2

? 36t

S' ?QAP

?

3t2

? 12t

? 36 ,令 S '?QAP

?

0

解得 t ? 4或t ? 1(2 舍去)

4

T

(0,4)

4

(4,6)

S’

+

0

-

S



极大值 64



所以当 t=4 时 S ?QAP 有极大值 64,

所以当 t=4 时, ?QAP 的面积的最大值为 64.
11.用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截
去一个小正方形,然后把四边翻折 900 角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,
容器的容积最大?最大的容积是多少? 解:设容器的高为 x,容器的体积为 V.
则V ? (90 ? 2x)(48 ? 2x)x,   (0 < x < 24) = 4x3 ? 276x2 ? 4320x
∵V‘ ? 12x 2 ? 552x ? 4320x 由V ’?  0 得 x1 ? 10,   x2 ? 36(舍去) ∴ 0 ? x ? 10 时,   V‘ ? 0;    10 ? x ? 24 时,V’<0
所以 当 x ? 10,   V有最大值 V(10) ? 19600 又V(0) ? 0 ,  V(24) ? 0
所以 当x ? 10 时, V(10)=1960 0

答:该容器的高为 10cm 时,容器有最大容积 19600 cm3
12.某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x) ? 1200 ? 2 x3 (万元),已知产品单价的平方与 75
产品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少时总利润最大?
分析:先建立总利润的目标函数,总利润=总销售量-总成本 C(x)= 产品件数*产品单价-C(x), 因而应首先求出产品单价 P(x)的解析式.

解:设产品的单价 P 元,据已知, P2 ? k ,? x ? 100, P ? 50,?k ? 250000, x

? P2 ? 250000, ? P ? 500 , x ? 0 设利润为 y 万元,则

x

x

? y? ?

250

?

2

x2

?

2???? 55

?

x

5 2

????

,?

x

?

25,

y?

?

0,

x 25

25 x

? x ?(0,25), y? ? 0, y 递增;? x ?(25,??), y? ? 0, y 递减,

? x ? 25, y 极大= y 最大.

答:当产量为 25 万件时,总利润最大
四、理科定积分、微积分
选修 2-2 第 59 页例 1、例 2 计算下列定积分: 变式 1:计算:;

? ? ?
(1) 2

cos 2x

2
dx ;(2)

4 ? x2 dx

0 cos x ? sin x

0

解:.(1)

(2)利用导数的几何意义: y ? 4 ? x2 与 x=0,x=2 所围图形是以(0,0)为圆心,2 为半径的四

?2
分之一个圆,其面积即为

4 ? x2 dx ? ? ? 22 ? ? (图略)

0

4

变式 2: 求将抛物线 y 2 ? x 和直线 x ?1围成的图形绕 x 轴旋转一周得到的几何体的体积.
分析:利用定积分的定义解题,应当画出草图.
解:先求出抛物线 y 2 ? x 和直线 x ?1交点坐标(1,1),(1,-1)
利用定积分的定义易得:
变式 3:在曲线 y ? x2 ?x ? 0? 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 1 ,
12
试求:(1)切点 A 的坐标;(2)在切点 A 的切线方程.


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