《三角函数模型的简单应用》的教学设计


1.6
一、教学分析

三角函数模型的简单应用教学设计

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻 画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学 习.本节教材通过 4 个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选 择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用. 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科 的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际 问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据 ,包括建立有关 数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等. 二、教学目标 1、知识与技能: 掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3) 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、过程与方法: 选择合理三角函数模型解决实际问题, 注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系, 还要调动相 关学科知识来帮助理解问题。 切身感受数学建模的全过程, 体验数学在解决实际问题中的价值 和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。 3、情态与价值: 培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。 三、教学重点与难点 教学重点:分析、 整理、 利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模 型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题. 四、教学过程: 三角函数模型的简单应用 一、导入新课 思路 1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周

期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题?它到 底能发挥哪些作用呢?由此展开新课. 思路 2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性. 在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢? 回忆必修 1 第三章第二节 “函数模型及其应用” ,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函 数模型来刻画它呢?以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.

二、推进新课、新知探究、提出问题 ①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的 哪些规律的? ②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? ③上述的数学模型是怎样建立的? ④怎样处理搜集到的数据? 活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程 .对课前 已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型. 对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学 生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求 解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题. 这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教 学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作 探究中自己解决问题,探求新知. 讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型. ②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括 ,再从数学角度来反映或近 似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加 以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. ③解决问题的一般程序是: 1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系; 2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型; 3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论; 4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.

④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.

三、应用示例 例 1 如图 1, 某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(ω x+φ )+b.

图1 (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 活动:这道例题是 2002 年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研 究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗?给出的模型 函数是什么?要解决的问题是什么?怎样解决?然后完全放给学生自己讨论解决. 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型 .其中第(1)小题实际上就是求函数图 象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实 际指的是 “求 6 是到 14 时这段时间的最大温差” ,可根据前面所学的三角函数图象直接写出 而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只 要用待定系数法求出解析式中的未知参数 , 即可确定其解析式 . 其中求 ω 是利用半周期 (14-6),通过建立方程得解. 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 ℃. (2)从图中可以看出,从 6—14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象,

1 1 (30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 2 1 2? ∵ · =14-6, 2 ?
∴A= ∴ω = ? .将 x=6,y=10 代入上式,解得φ =

?

8

综上,所求解析式为 y=10sin( ? x+

?

8

3? )+20,x∈[6,14]. 4

3? . 4

点评:本例中所给出的一段图象实际上只取 6—14 即可,这恰好是半个周期,提醒学生注 意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况 ,因此应当特

别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.

(互动探究)图 5 表示的是电流 I 与时间 t 的函数关系

图5 I=Asin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<

?
2

)在一个周期内的图象.

(1)根据图象写出 I=Asin(ω x+φ )的解析式; (2)为了使 I=Asin(ω x+φ )中的 t 在任意一段 和最小值,那么正整数ω 的最小值为多少? 解:(1)由图知 A=300,第一个零点为(- ∴ω ·(-

1 s 的时间内电流 I 能同时取得最大值 100

1 1 ? ? )+φ =0,ω · +φ =π .解得ω =100π ,φ = ,∴I=300sin(100π t+ ). 300 150 3 3 1 2? 1 (2)依题意有 T≤ ,即 ≤ ,∴ω ≥200π .故ω min=629. 100 ? 100
?

1 1 ,0),第二个零点为( ,0), 300 150

例 2 做出函数 y=|sinx|的图象并观察其周期

例 3 如图 2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ ,δ 为此时太阳直射纬度,φ 为该地的纬度 值,那么这三个量之间的关系是θ =90°-|φ -δ |.当地夏半年δ 取正值,冬半年δ 取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬 40°)的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼,要使新楼 一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 活动: 如图 2 本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知 识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量 的含义以及它们之间的数量关系.

首先由题意要知道太阳高度角的定义 :设地球表面某地纬度值为φ ,正午太阳高度角为 θ ,此时太阳直射纬度为δ ,那么这三个量之间的关系是θ =90°-|φ -δ |.当地夏半年δ 取 正值,冬半年δ 取负值. 根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图 3,由画 图易知 太阳高度角θ 、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系: h0=htanθ . 由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体 的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时 的情况.

图3 解:如图 3,A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影 点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑, 此时的太阳直射纬度-23°26′.依题意两楼的间距应不小于 MC. 根据太阳高度角的定义, 有∠C=90°-|40°-(-23°26′)|=26°34′, 所以 MC=

h0 h0 = ≈2.000h0, tan C tan 26 ? 34'

即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距. 点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题 ,是将实际问题直接抽象为与三 角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图 2 来建立函 数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图 3,然后由图形 建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这

道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究. 变式训练 某市的纬度是北纬 23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高 7 层,每层 3 米,楼与楼 之间相距 15 米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的 房?

图4 解:如图 4,由例 3 知,北楼被南楼遮挡的高度为 h=15tan[90°-(23°+23°26′)]=15tan43°34′≈14.26, 由于每层楼高为 3 米,根据以上数据, 所以他应选 3 层以上.

例 4 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地, 早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回 海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 水深/ 5.0 米 (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 ,给出整点时的水深的 近似数值(精确到 0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 米的安 全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每 小时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据. 并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图, 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00

如图 6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律. 根据散点图中的最高点、 最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与 时间的关系可以用形如 y=Asin(ω x+φ )+h 的函数来刻画.其中 x 是时间,y 是水深,我们可以 根据数据确定相应的 A,ω ,φ ,h 的值即可.这时注意引导学生与 “五点法” 相联系.要求学生 独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所 得的函数模型,求出整点时的水深.

图6 根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理 解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时 间情况?如果不符合,应怎样修改?让学生养成检验的良好习惯. 在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢? 引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是 什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、 港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候. 进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸 货行吗?为什么?正确结论是什么?可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通 过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船 驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨. 解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图 6). 根据图象,可以考虑用函数 y=Asin(ω x+φ )+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据 和图象可以得出: A=2.5,h=5,T=12,φ =0, 由 T=

2?

?

=12,得ω =

?
6

.

所以这个港口的水深与时间的关系可用 y=2.5sin 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 时 0:00 刻 水 深 5.00 0 6.25 0 7.16 7.5 5 5 0 0 1:00 2:00 0 7.16 6.25 5.00 3:0 4:00 5:00 6:00

?
6

x+5 近似描述.

10:0 7:00 3.75 4 8:00 2.83 5 9:00 0 2.50 0 2.83 5

11:0 0 3.75 4

时刻

12:0 0

13:0 0 6.25 0

14:0 0 7.16 5

15:0 0 7.5

16:0 0 7.16 5

17:0 0 6.25 0

18:0 0 5.00 0

19:0 0 3.75 4

20:0 0 2.83 5

21:0 0 2.50 0

22:0 0 2.83 5

23:0 0 3.75 4

水深

5.00 0

(2)货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5(米),所以当 y≥5.5 时就可以进港. 令 2.5sin

?
6

x+5=5.5,sin

?
6

x=0.2.

由计算器可得 MODE MODE 2 SHIFT

sin 0.2 =

-1

0.201 357 92≈0.201 4. 如图 7,在区间[0,12]内,函数 y=2.5sin

?
6

x+5 的图象与直线 y=5.5 有两个交点 A、B,

图7 因此

?
6

x≈0.201 4,或π -

?
6

x≈0.201 4.

解得 xA≈0.384 8,xB≈5.615 2. 由函数的周期性易得:xC≈12+0.384 8=12.384 8,xD≈12+5.615 2=17.615 2. 因此,货船可以在 0 时 30 分左右进港,早晨 5 时 30 分左右出港;或在中午 12 时 30 分左 右进港,下午 17 时 30 分左右出港.每次可以在港口停留 5 小时左右.

图8 (3)设在时刻 x 货船的安全水深为 y,那么 y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出 这两个函数的图象,可以看到在 6—7 时之间两个函数图象有一个交点(如图 8). 通过计算也可以得到这个结果.在 6 时的水深约为 5 米,此时货船的安全水深约为 4.3 米;6.5 时的水深约为 4.2 米,此时货船的安全水深约为 4.1 米;7 时的水深约为 3.8 米,而货 船的安全水深约为 4 米.因此为了安全,货船最好在 6.5 时之前停止卸货,将船驶向较深的水 域. 点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题 ,题目只给出了时间与水深 的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的 .对第(2)问的解答,教师引导学生利用 计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并 且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天 中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.

四、课堂小结 1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用 ,即根据图象建立解析式,根据解析式 作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 .你能概括出建立三角函数模 型解决实际问题的基本步骤吗? 2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在

应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系 ,还要调动相 关学科知识来帮助理解问题.

课后作业: 1.课本 P65 练习 1,2,3. 2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型. 解:如以下两例: ①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、 体温、睡眠节奏、饥饿程度等; ②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质 层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行 1 次 或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮;蜕下的“旧表 皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性, 但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴 和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤, 约每 2 个月为一个周期可完整地脱落 1 次,称为蛇蜕.


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