人教版高中数学必修二2.3.4_平面与平面垂直的性质ppt模板_图文


2.3.4 平面与平面垂直的性质 提出问题: 1、平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就 说这两个平面互相垂直。 2、平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直。 符号表示: 该命题正确吗? ? b b ? ?? ? ? ? ? ? b ??? ? 平面与平面垂直的性质定理 Ⅰ. 观察实验 ,则一个平面内垂 两个平面垂直 观察两垂直平面中,一个平面 直于交线的直线与另一个平面垂 内的直线与另一个平面的有 直 . 哪些位置关系 ? 符号表示: ? b l ? ? ?? ?l ? b?l ? ? ? ? ? ? ? ?? ? b? ? ? ? b? ? ? b 简述为: ?b ? ? 面面垂直 Ⅱ.概括结论 ? 该命题正确吗? 线面垂直 Ⅲ.严格证明 已知? ? ? , ? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD于B 求证 : AB ? ? . ? A D 证明:在平面 内作 ? BE⊥CD, 垂足为B. 则∠ABE就是二面角 -CD- ? 的平面角 ? ? B E C ∵ ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义) ? ? ,? 又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B ? ∴AB⊥ ? (直线与平面垂直的判定定理) 预习自测 1、已知:两个平面?与? 互相垂直,判断下列命题是否正确: × (1)若b ? ? ,则b ? ?。 (2)若? × ? =l,b ? l则b ? ?。 (3)若b ? ? ,则b垂直于平面?内的无数条直线。 (4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面。 × ? √ l ? 例 1 如图,已知平面 ?,β ,?⊥β ,直线 a 满足 a⊥β , a??, 试判断直线 a 与平面 ? 的位置关系. α b l β A a ? ? ?l 解:设 在α内作直线b ⊥l ? ?? ? ? ? ? ? l? ? ?b??? b?? ? 又a ? ? ? ? ? b?l ? ? a // b b ?? a ?? ? ? ?? ? ? a // ? [例2] 已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l 求证:l⊥γ [解析] 证法1:在 γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A, 作 PB垂直β与γ的交线于 B,则PA⊥α,PB⊥β,∵l=α∩β , ∴l⊥PA,l⊥PB,∵PA与PB相交,又PA?γ,PB?γ,∴l⊥γ. 证法 2:在 α内作直线 m垂直于 α与 γ的交线,在 β 内作直线 n 垂 直于 β 与 γ 的交线, ∵ α⊥γ , β⊥γ , ∴ m⊥γ , n⊥γ , ∴ m∥n , 又n?β,∴m∥β,又m?α,α∩β=l,∴m∥l,∴l⊥γ. 变式:如图所示,在三棱锥P-ABC中, PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC. 求证:BC⊥AC. [精解详析] 在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D. ∵平面 PAC⊥平面 PBC ,AD ?平面PAC ,且AD ⊥PC ,平面PAC∩平 [思路点拨 ] 若BC ⊥AC ,则会有 BC⊥平面 PAC ,故只要在平面 PAC内再找 面PBC =PC, 一线与 BC垂直.由已知平面PAC⊥平面PBC,故由两平面垂直的性质在面 ∴ AD⊥平面 PBC . 的垂线可证. PAC 中作交线 PC 又∵BC?平面PBC, ∴有AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC, ∴PA⊥

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