最新审定人教A版高中数学必修五:1.1《正弦定理和余弦定理(2)》ppt(名校课件)_图文

最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 余弦定理 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 ? 中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命.某时某中国 海监船位于中国南海的A处,与我国海岛B相距s海里.据观 测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探, 这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐.假如能 测得∠BAC=α,BC=m海里,你能根据上述数据计算出它赶 到C处的时间吗? 1.判断(正确:T,错误:F). (1)已知两个三角形两边及其夹角对应相等,则两个三角形 全等. (2) 已知两个三角形三边分别对应相等,则两个三角形全 等. 2.在△ABC 中,正弦定理的表达式是________. [ 答案] a b c 1.(1)T (2)T 2. = = sinA sinB sinC 1.余弦定理 在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即 a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. 解析法证明余弦定理 如图,以点 A 为原点,以△ABC 的边 AB 所在直线为 x 轴, 以过点 A 与 AB 垂直的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(0,0),C(bcosA,bsinA),B(c,0).由两点间的距离公式得 BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2, 即 a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A, a2=b2+c2-2bccosA. 同理可证 b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC. 在△ABC 中, AB=4, BC=3, B=60° , 则 AC 等于________. [ 答案] 13 [ 解析] 由条件已知三角形的两边及其夹角,故可以直接 利用余弦定理求得边 AC,即 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB= 1 16+9-2×4×3× =13. 2 ∴AC= 13. 2.余弦定理的推论 b2+c2-a2 根据余弦定理, 可以得到以下推论: cosA= , cosB 2bc a2+c2-b2 a2+b2-c2 = ,cosC= . 2ac 2ab 边长为 5 、 7 、 8 的三角形中,最大角与最小角的和是 ________. [ 答案] [ 解析] 120° 设中间角为 θ,由于 8>7>5,故 θ 的对边长为 7, 52+82-72 1 由余弦定理,得 cosθ= = .所以 θ=60° ,故另外两角 2×5×8 2 和为 180° -60° =120° . 3.余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC 中,由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC,若角 C=90° ,则 cosC=0,于是 c2=a2+b2-2a· b· 0=a2+b2,这说 明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 规律:设 c 是△ABC 中最大的边(或 C 是△ABC 中最大的 角),则 a2+b2<c2?△ABC 是钝角三角形,且角 C 为钝角; a2+b2=c2?△ABC 是直角三角形,且角 C 为直角; a2+b2>c2?△ABC 是锐角三角形,且角 C 为锐角. 在△ABC 中,sinA ? sinB ? sinC=3 ? 5 ? 7,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.无法确定 [ 答案] C [ 解析] 由正弦定理,得 a ? b ? c=sinA ? sinB ? sinC =3 ? 5 ? 7. 设 a=3k,b=5k,c=7k(k>0),由于 c>b>a,故角 C 是△ ABC 中最大的角, b2+a2-c2 ?5k?2+?3k?2-?7k?2 因为 cosC= = 2ab 2×5k×3k 1 =- <0, 2 所以 C>90° ,即△ABC 为钝角三角形 课堂典例探究 ? 已知两边和夹角解三角形 在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45° ,解 三角形. [ 分析] 已知两边及其中一边的对角,先由余弦定理列方 程求 c,然后由余弦定理的推论求 A,C. [ 解析] 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB, 2 2 则 2=3+c -2 3× ×c,即 c2- 6c+1=0, 2 6+ 2 6- 2 解得 c= ,或 c= . 2 2 6+ 2 当 c= 时,由余弦定理的推论,得 2 6+ 2 2 b2+c2-a2 2+? 2 ? -3 1 cosA= = = . 2bc 6+ 2 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ,∴A=60° , ∴C=180° -(A+B)=180° -(60° +45° )=75° . 6- 2 b2+c2-a2 当 c= 时, 由余弦定理的推论, 得 cosA= 2 2bc 6- 2 2 2+? ? -3 2 1 = =- . 2 6- 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ,∴A=120° , ∴C=180° -(A+B)=180° -(120° +45° )=15° . 6+ 2 故 c= 时,A=60° ,C=75° ; 2 6- 2 c= 时,A=120° ,C=15° . 2 ? ? [方法总结] 已知两边及一角解三角形的方法: (1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边, 再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解; (2)当已知两边及其一边的对角时,可用正弦定理求解,也 可用余弦定理求解,但都要注意解的情况的讨论.利用余弦 定理求解相对简便. ? 已知△ABC 中,a=1,b=1,C=120° ,则边 c=________. [ 答案] 3 [ 解析 ] 由余弦

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