2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析44030_图文

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2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷(B 卷) 一、选择题:本大题共 15 小题. 每小题 4 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1、已知集合 M ? ??1,0,1, 2? , N ? ?x | ?1 ? x ? 2? ,则 M

N ?(



A . ?0,1, 2?

B . ??1,0,1?

C .M

D.N


2、对任意的正实数 x , y ,下列等式不成立的是(

A . lg y ? lg x ? lg

y x

B . lg( x ? y) ? lg x ? lg y

C . lg x3 ? 3lg x

D . lg x ?

ln x ln10

3、已知函数 f ( x) ? ?

? x3 ? 1, x ? 0 ? ,设 f (0) ? a ,则 f (a)= ( x ? ?2 , x ? 0



A . ?2

B . ?1

C.

1 2

D .0

4、设 i 是虚数单位, x 是实数,若复数

x 的虚部是 2,则 x ? ( 1? i



A .4

B .2

C . ?2

D . ?4
2

5、设实数 a 为常数,则函数 f ( x) ? x ? x ? a( x ? R) 存在零点的充分必要条件是(



A .a ?1

B .a ?1

C .a ?

1 4

D .a ?

1 4


6、已知向量 a ? (1,1) , b ? (0, 2) ,则下列结论正确的是(

A . a / /b

B . (2a ? b) ? b

C.a ? b

D .a b ? 3

7、某校高一(1)班有男、女学生共 50 人,其中男生 20 人,用分层抽样的方法,从该班学生中随 机选取 15 人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是( )

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A . 6和9

B . 9和6

C . 7和8

D . 8和7

8、如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为 ( )

A .1

B .2

C .4

D .8

?x ? y ?1 ? 0 ? 9、若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? 0 ?
( )

A .0

B . ?1

C .?

3 2

D . ?2


10、如图, o 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点,则下列等式正确的是(

A . DA ? DC ? AC

B . DA ? DC ? DO

C . OA ? OB ? AD ? DB

D . AO ? OB ? BC ? AC

11、设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 3, b ? 2, c ? 13 ,则 C ? (



A.

5? 6

B.

? 6

C.

2? 3

D.

? 3


12、函数 f ( x) ? 4sin x cos x ,则 f ( x ) 的最大值和最小正周期分别为(

A . 2和?

B . 4和?

C . 2和2?

D . 4和2?

13、设点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 2) 上的一点, F1,F2 是椭圆的两个焦点,若 F1F2 ? 4 3 ,则 a2 4


PF1 ? PF2 ? (

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A .4

B .8

C .4 2

D .4 7

14、设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的减函数,且 f ( x ) 为奇函数,若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,则下列结论不正 确的是( )

A . f (0) ? 0

B . f ( x1 ) ? 0

C . f ( x2 ?

1 ) ? f (2) x2

D . f ( x1 ?

1 ) ? f (2) x1

15、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n?1 ? 2 ,则 a12 ? a22 ?

? an 2 ? (
4(4n ?1 ? 2) 3



A . 4(2n ?1)2

B . 4(2n?1 ? 1)2

C.

4(4 n ? 1) 3

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.

16、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 9 16
?? ) ?

.

17、若 sin(

?
2

2 ,且 0 ? ? ? ? ,则 tan ? ? 3

.

18、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔, 先从笔筒中随机取出一支笔, 使用后放回笔筒, 第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为 .

19、圆心为两直线 x ? y ? 2 ? 0 和 ? x ? 3 y ? 10 ? 0 的交点, 且与直线 x ? y ? 4 ? 0 相切的圆的标准 方程是 .

三、解答题:本大题共 2 小题. 每小题 12 分,满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤. 20、若等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a3 ? 8 ,且 a6 ? a12 ? 36 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2 , bn?1 ? an?1 ? 2an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
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21、如图所示,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面ABC , PB ? BC , F 为 BC 的中点, DE 垂 直平分 PC ,且 DE 分别交 AC,PC 于点 D, E .

(1)证明: EF / / 平面ABP ; (2)证明: BD ? AC .

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2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷(B 卷)答案解析 一、选择题:本大题共 15 小题. 每小题 4 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1、B 解析: M

N ? ??1 , 01 , ? ,故选 B.

2、B 解析:对于 B 项,令 x ? y ? 1 ,则 lg( x ? y) ? lg 2 ? lg1 ? 0 ,而 lg x ? lg y ? 0 ,显然不成 立,故选 B. 3、C 解析:

1 a ? f (0) ? 03 ?1 ? ?1 ? f ( a) ? f (? 1 )??1 2 ? ,故选 C. 2

4、D 解析:

x x(1 ? i ) x x ? ? ? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

??

x ? 2 ? x ? ?4 ,故选 D. 2

5、C 解析:由已知可得, ? ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? 6、B 解析:对于 A 项, 1? 2-0 ?1 ? 0 ,错误;

1 ,故选 C. 4

对于 B 项, 2a ? b ? (2,0) , b ? (0, 2) ,则 2 ? 0+0 ? 2 ? 0 ? (2a ? b) ? b ,正确; 对于 C 项, a ?

2, b ? 2 ,错误;

对于 D 项, a b ? 1? 0 ? 1? 2 ? 2 ,错误. 故选 B. 解析:抽样比为 k ?

7、A

15 3 3 ? ,则应抽取的男生人数为 20 ? =6(人) ,应抽取的女生人数 50 10 10

为 (50 ? 20) ?

3 ? 9(人) ,故选 A. 10

8、C 解析: 由三视图可知, 该几何体为长方体, 长为 2, 宽为 2, 高为 1, 则体积为 V ? 2 ? 2 ?1 ? 4 , 故选 C. 9、D 解析: (快速验证法)交点为 (0,1), (0, 0), ( ?
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1 1 3 , ) ,则 z ? x ? 2 y 分别为 ?2, 0, ? ,所以 z 2 2 2

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的最小值为 ?2 ,故选 D. 10、D 解析:对于 A 项, DA ? DC ? CA ,错误; 对于 B 项, DA ? DC ? 2DO ,错误; 对于 C 项, OA ? OB ? AD ? BA ? AD ? BD ,错误; 对于 D 项, AO ? OB ? BC ? AB ? BC ? AC ,正确. 故选 D.

11、A 解析: 由余弦定理, 得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ( 3)2 ? 22 ? ( 13)2 3 , 又 0?C ?? ? ?? 2ab 2 2? 3 ? 2

?C=

5? ,故选 A. 6
f ( x) ? 2sin 2 x ? f ( x)max ? 2 ,最小正周期为 T ?

12、A 解析:

2? ? ? ,故选 A. 2

13、B 解析:

F1F2 ? 4 3 ? 2c ? c ? 2 3 ?a2 ? c2 ? b2 ? (2 3)2 ? 4 ? 16 ? a ? 4

? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 ? 4 ? 8 ,故选 B.
14、D 解析:对于 A 项,

f ( x) 为 R 上的奇函数 ? f (0) ? 0 ,正确;

对于 B 项,

f ( x) 为 R 上的减函数 ? x1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f (0) ? 0 ,正确;

对于 C 项,

x2 ? 0 ? x2 ?

1 1 1 ? 2 x2 ? (当且仅当 2 x2 ? ,即x2 ? 1时等号成立) x2 x2 x2

? f ( x2 ?

1 ) ? f (2) ,正确; x2

对于 D 项,

x1 ? 0 ? x1 ?

1 1 1 ? ?(? x1 ? ) ? ?2 ? x1 ? ?2 x1 ? x1 ? x1

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? f ( x1 ?

1 ) ? f (?2) ? ? f (2) ,错误. 故选 D. x1

15、C

解 析: 当 n ? 2 时 , an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2 ? (2n ? 2) ? 2 ? 2n ? 2n ? 2n ; 当 n ? 1 时 ,

a1 ? S1 ? 22 ? 2 ? 2 适合上式. ?an ? 2n (n ? N ? ) ? an2 ? (2n )2 ? 4n ? ?an 2 ? 是首项为 4 ,公比为
4 的等比数列 ? a12 ? a2 2?

? an 2?

4(1 ? 4n ) 4(4n ? 1) ? ,故选 C. 1? 4 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 16、

5 3

解析: 由已知, 得 a ? 9 ? a ? 3, b ? 16 ? b ? 4
2 2

? c 2 ? a 2 ? b2 ? 9

1 ?6 ? 25 ? c

? 5

? 双曲线的离心率为 e ?
5 2

c 5 ? . a 3

17、

解析: s i n ( ? ? ?)

?

2

2 2 5 2 2 c ?o?s , 且 0 ? ? ? ? ?sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ? 3 3 3

? tan ? ?
4 9

sin ? 5 3 5 . ? ? ? cos ? 3 2 2
2? 2 4 ? . 3? 3 9
2

18、

解析: P ?

19、 ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 2
2

解析:联立 ?

?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 4 得? ? 圆心为( 4 ? , 2) ?? x ? 3 y ? 10 ? 0 ? y ? ?2 4?2?4 12 ? 12 ? 2 ,故圆的半径为 2

则圆心 (4, ?2) 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离为 d ?

? 圆的标准方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 .
三、解答题:本大题共 2 小题. 每小题 12 分,满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤. 20、解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .
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?a1 ? a3 ? 8 ?a1 ? a1 ? 2d ? 8 ?a ? 2 ?? ?? 1 ?? ?a6 ? a12 ? 36 ?a1 ? 5d ? a1 ? 11d ? 36 ?d ? 2
? an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n .
(2)由(1)知, an ? 2n ?bn?1 ? an?1 ? 2an ? 2(n ? 1) ? 2 ? 2n ? ?2n ? 2
? ?bn ? ?2(n ?1) ? 2 ? ?2n ? 4 又 b1 ? 2 适合上式 ?bn ? ? 2n ? 4 (n ?N )

?bn?1 ? bn ? ?2n ? 2 ? (?2n ? 4) ? ?2 ? 数列 ?bn ? 是首项为 2 ,公差为 ?2 的等差数列.
? S n ? 2n ? n(n ? 1) ? (?2) ? 2n ? n 2 ? n ? ?n 2 ? 3n 2
DE 垂直平分 PC ? E 为 PC 的中点

21、解:(1)证明: 又 又

F 为 BC 的中点 ? EF 为 B C P 的中位线 ? EF / / BP

EF ? 平面ABP, BP ? 平面ABP ? EF / / 平面ABP

(2)证明:连接 BE

PB ? BC , E 为 PC 的中点 ? P C ? B E
DE 垂直平分 PC


? P C? D E
? P C? 平面 B D E

BE

DE ? E , BE, DE ? 平面BDE



BD ? 平面BDE

? P C? B D
? P A? B D

PA ? 平面ABC, BD ? 平面ABC


PC

PA ? P , PC, PA ? 平面PAC

? B D? 平面 P A C



AC ? 平面PAC

? B D? A C

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感恩和爱是亲姐妹。有感恩的地方就有爱,有爱的地方就有感恩。一方在哪里,另一方 迟 早 会 出 现 。 你 做 一 切 都 是 为 自 己 做 , 为 存 在 而 感 恩 。

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“人要经历一个不幸的抑郁症的或自我崩溃阶段。在本质上,这是一个昏暗的收缩点。每一个文化 创造者都要经历这个转折点,他要通过这一个关卡,才能到达安全的境地,从而相信自己,确信一 个更内在、更高贵的生活。”

——黑格尔

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