2014-2015学年高一数学寒假作业(10)(Word版,含答案)


高一数学寒假作业(十) 一、选择题,每小题只有一项是正确的。 1.已知 f(x)为定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上为增函数,则 a=f(2),b=f(π ),c=f(--3)的大小顺序是( A. c ? a ? b B. a ? c ? b ) D. b ? c ? a )

C. c ? b ? a

2.如果不等式 f ( x) = ax2 - x - c > 0 的解集为 (-2,1) ,那么函数 y ? f (- x) 的大致图象是(

3.在同一坐标系中,当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a 与 y ? log a x 的图象是(

?x



4.已知 m , l 是两条不同的直线, ? .? 是两个不重合的平面,给出下列命题: ①若 l ? ? , m // ? ,则 l ? m; ③若 ? ? ? , m ? ? , l ? ? 则 m ? l ; 其中正确命题的个数为( A. 1个 B.2 个 ) C.3 个 D. 4 个 ②若 m // l , m ? ? 则 l // ? ; ④若 m ? l , m ? ? , l ? ? 则 ? ? ? ;

5.下列四个正方体图形中, A , B 为正方体的两个顶点, M , N , P 分别为其所在棱的中 点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形是(
N A P M M M B M M B M N B P P A

).
A M M M B M N P N A

① A.①、②

② B.①、③

③ C. ②、③

④ D.②、④

M M

6.在直角坐标系中,直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是 A.30° B.60° C. 120° D.150° )

7.若 x2 ? y 2 ? (? ?1) x ? 2? y ? ? ? 0 表示圆,则 ? 的取值范围是( A.

??R

B.

? ?0

C.

1 ? ? ?1 5

D.

? ? 1或? ?

1 5

8.下列函数中既是偶函数,又在区间(0,1)上是减函数的是 A. y ?| x | B. y ? ? x2 C. y ? ex ? e? x D. y ? cos x

?a 9.若定义运算 a ? b ? ? ?b
A.[1,+∞) 二、填空题

( a ? b) ,则函数 f ( x) ? 3 x ? 3? x 的值域是( ( a ? b)
B. (0,+∞) C. (-∞,+∞)



D. (0,1]

10.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 的圆心坐标和半径分别是 11.圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? _____.
2 2

12.下面给出五个命题: ① 已知平面 ? //平面 ? , AB, CD 是夹在 ? , ? 间的线段,若 AB // CD ,则 AB ? CD ; ② a , b 是异面直线, b, c 是异面直线,则 a, c 一定是异面直线; ③ 三棱锥的四个面可以都是直角三角形。 ④ 平面 ? //平面 ? , P ? ? , PQ // ? ,则 PQ ? ? ; ⑤ 三棱锥中若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也一定互相垂直; 其中正确的命题编号是 *** . (写出所有正确命题的编号) 13.函数 f ? x ? ?

1 log 0.5 ? 2 x ? 1?

的定义域为_____________

三、计算题

14.(本小题满分 12 分)(普通班做)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求实数 a 的值. (2)用定义证明: f ( x) 在 R 上是减函数.

?2 x ? a 是奇函数. 2x ? 1

15. (本小题 8 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD ?

底面 ABCD ,且 PA ? PD ?

2 AD ,设 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2

(1) 求证: EF //平面 PAD ; (2) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (3) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值.

P E D F A B C

16.圆 C 与 y 轴切于点 (0, 2) ,与 x 轴正半轴交于两点 M , N (点 M 在点 N 的左侧) , 且

MN ? 3



(1)求圆 C 的方程; (2)过点 M 任作一直线与圆 O : x ? y ? 4
2 2

相交于 A, B ,连接 AN , BN ,求证:

k AN ? kBN ? 0 .

高一数学寒假作业(十)参考答案 一、选择题 1~5 BCCBB 6~9BDDD 二、填空题 10. (-2,0),2, 11 .3 ,12.①③④⑤,13. ? ? 三、计算题 14.(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),令 x=0,则 f(0)=0

? 1 ? ,0 ? ? 2 ?

1 ? 2x a ?1 f (x) ? ? 0 ? a ? 1 即 ,所以 1 ? 2x 2
(2) 由(I)知 f ( x) ?

1 ? 2x 2 , ? ?1 ? x x 1? 2 2 ?1

任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (?1 ?
因为 x1 ? x2
x

2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ) ? ( ? 1 ? ) ? 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 +1)
x x x2

故 2 1 ? 2 2 , 又2 1 ? 0, 2

?0,

从而 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

2(2 x1 ? 2 x2 ) <0 ,即 f ( x1 )>f ( x2 ) (2 x1 ? 1)(2 x2 +1)

故 f ( x) 在 R 上是减函数 . 15.(Ⅰ )证明: ABCD 为平行四边形 连结 AC

BD ? F , F 为 AC 中点,

E 为 PC 中点∴在 ?CPA 中 EF // PA
且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ∴ EF // 平面PAD ………2 分

(Ⅱ)证明:因为面 PAD ? 面 ABCD 平面 PAD

面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD
所以 CD ? 平面 PAD ∴ CD ? PA 又 PA ? PD ? 且 ?PAD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2
即 PA ? PD

?
2

CD

PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD

PA ? 面 PDC
又 PA ? 面 PAB
P E M D F A B C

面 PAB ? 面 PDC

………5 分

(Ⅲ)设 PD 的中点为 M ,连结 EM , MF , 则 EM ? PD 由(Ⅱ)知 EF ? 面 PDC ,

EF ? PD , PD ? 面 EFM , PD ? MF ,

?EMF 是二面角 B ? PD ? C 的平面角

Rt ?FEM 中, EF ?

1 1 1 2 PA ? a EM ? CD ? a 2 2 2 4

2 a EF 2 2 故所求二面角的正切值为 tan ?EMF ? ? 4 ? 1 2 EM 2 a 2

………8 分

16.解:(1)因为圆 C 与 y 轴切于点 (0, 2) ,可设圆心坐标为(m,2),则圆的半径为 m,所以

? 3 ? 25 5 5 25 m2 ? 4 ? ? ? ? m? ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,得 2 ,所以所求圆的方程为 2 4 ; ?2?
(2) 证明:设 AB : x ? 1 ? ty ,代入 x ? y ? 4 ? 0 ,并整理得: (t ? 1) y ? 2ty ? 3 ? 0
2 2
2 2

2

2t ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?1 ? ? y y ? ?3 , 1 2 ? t2 ?1 ?
k AN ? kBN ?



y1 y y1 y2 2ty y ? 3( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? ? 1 2 ?0 x1 ? 4 x2 ? 4 ty1 ? 3 ty2 ? 3 (ty1 ? 3)(ty2 ? 3) .


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