18版高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法学案新人教B版必修1

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2.4.2

求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

1.了解函数变号零点与不变号零点的概念,会判断函数变号零点的存在.(重点) 2.会用二分法求函数变号零点的近似值,并能对二分法的过程作出程式化的步骤.(难 点)

[基础·初探] 教材整理 1 变号零点与不变号零点 阅读教材 P72~P73“第一行”以上部分内容,完成下列问题. 1.零点存在的判定 条件:y=f(x)在[a,b]上的图象不间断,f(a)·f(b)<0. 结论:y=f(x)在[a,b]上至少有一个零点,即 x0∈(a,b)使 f(x0)=0. 2.变号零点 如果函数图象通过零点时穿过 x 轴,则称这样的零点为变号零点. 3.不变号零点 如果函数图象通过零点时没有穿过 x 轴,则称这样的零点为不变号零点.

函数 f(x)的图象如图 2?4?1 所示,则函数 f(x)的变号零点的个数为(

)

图 2?4?1 A.0 C.2 B.1 D.3

【解析】 函数 f(x)的图象通过零点时穿过 x 轴,则必存在变号零点,根据图象得函 数 f(x)有 3 个变号零点. 【答案】 D

1

教材整理 2 二分法 阅读教材 P73“第三行”以下~P73“例”以上的内容,完成下列问题. 1.定义 对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到函数零点的方法叫 做二分法. 2.求函数零点的一般步骤 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个零点 x0 的近似值 x,使它满足给 定的精确度.用二分法求此函数零点的一般步骤为: ①在 D 内取一个闭区间[a0,b0]? D,使 f(a0)与 f(b0)异号,即 f(a0)·f(b0)<0,零点 位于区间[a0,b0]中. ②取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的坐标为 x0= 计算 f(x0)和 f(a0),并判断: a.如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止. b.如果 f(a0)·f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]中,令 a1=a0,b1=x0. c.如果 f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令 a1=x0,b1=b0. ③取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的坐标为 x1= 计算 f(x1)和 f(a1),并判断: a.如果 f(x1)=0,则 x1 就是 f(x)的零点,计算终止. b.如果 f(a1)·f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]上,令 a2=a1,b2=x1. c.如果 f(a1)·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令 a2=x1,b2=b1. …… 继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]上,当区间的长 度 bn-an 不大于给定的精确度时, 这个区间[an, bn]中的任何一个数都可以作为函数 y=f(x) 的近似零点,计算终止.

a0+b0
2

.

a1+b1
2

.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解.( (2)函数 f(x)=|x|可以用二分法求零点.( ) ) )

(3)用二分法求函数零点的近似值时, 每次等分区间后, 零点必定在右侧区间内. ( 【解析】 (1)×.如函数 x-2=0 用二分法求出的解就是精确解.

(2)×.对于函数 f(x)=|x|,不存在区间(a,b),使 f(a)·f(b)<0,所以不能用二分法

2

求其零点. (3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内. 【答案】 (1)× (2)× (3)×

[小组合作型] 二分法的概念 (1)

图 2?4?2 已知函数 f(x)的图象如图 2?4?2 所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分 别为( ) B.3,4 D.4,3

A.4,4 C.5,4

(2)用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[1,3]内的根,取区间的中点为 x0=2,那么下 一个有根的区间是________. 【导学号:60210063】 【精彩点拨】 (1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号; (2)方程的实根就是对应 函数 f(x)的零点,判断 f(2)的符号,在 2 的左右两边寻找函数值与 f(2)异号的自变量. 【自主解答】 (1)图象与 x 轴有 4 个交点,所以解的个数为 4;左、右函数值异号的 有 3 个零点,所以可以用二分法求解的个数为 3. (2)设 f(x)=x -2x-5,f(1)=1-2-5=-6<0,f(2)=2 -4-5=-1<0,f(3)=3 -6-5=16>0,f(x)零点所在的区间为(2,3),∴方程 x3-2x-5=0 有根的区间是(2,3). 【答案】 (1)D (2)(2,3)
3 3 3

二分法求函数零点的依据:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点,因 此, 用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用, 对函数的不变号零点不适 用.

3

[再练一题] 1.下面关于二分法的叙述,正确的是( A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 C.二分法无规律可循 D.只有在求函数零点时才用二分法 【解析】 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号, 才可以 用二分法求函数的零点的近似值,故 A 错.二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故 C 错.求方程的近似解也可以用二分法,故 D 错. 【答案】 B 变号零点与不变号零点的判断 分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点. (1)f(x)=3x-6; (2)f(x)=x -x-12; (3)f(x)=x -2x+1; (4)f(x)=(x-2) (x+1)x. 【精彩点拨】 (1)是一次函数,(2)、(3)均是二次函数,(4)虽然是高次函数,但给出 因式积的形式,所以容易分别求得. 【解】 (1)零点是 2,是变号零点. (2)零点是-3 和 4,都是变号零点. (3)零点是 1,是不变号零点. (4)零点是-1,0 和 2,其中变号零点是 0 和-1,不变号零点是 2.
2 2 2

)

图象连续不间断的函数 f x 在[a,b]上,若 f

a

f b

,则函数 f x

在该

区间上至少有一个变号零点,也就是可能有多个变号零点,还可能有不变号零点,但至少有 一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.

[再练一题] 2.判断下列函数是否有变号零点. (1)y=x2-5x-14; (2)y=x2+x+1; (3)y=x -18x +81. 【解】 (1)零点是-2,7,是变号零点. (2)无零点.
4
4 2

(3)零点是-3,3,都不是变号零点. [探究共研型] 用二分法求方程的近似解 探究 1 函数 y=f(x)的零点与方程 f(x)=0 的解有何关系? 【提示】 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的解. 探究 2 如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解? 【提示】 设方程为 f(x)=g(x),构造函数 F(x)=f(x)-g(x),求方程 f(x)=g(x)的 近似解问题就可转化为求函数 F(x)=f(x)-g(x)零点的近似解问题. 用二分法求方程 2x +3x-3=0 的一个正实数近似解(精确度为 0.1). 【精彩点拨】 构造函数 f(x)=2x +3x-3→确定初始区间(a, b)→二分法求方程的近 似解→验证|a-b|<0.1 是否成立→下结论. 【自主解答】 令 f(x)=2x3+3x-3, 经计算, f(0)=-3<0, f(1)=2>0, f(0)·f(1)<0, 所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点, 即方程 2x +3x=3 在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点 0.5,经计算 f(0.5)<0, 又 f(1)>0, 所以方程 2x +3x-3=0 在(0.5,1)内有解. 如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表: (a,b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) 中点 c 0.5 0.75 0.625 0.687 5
3 3 3 3

f(a) f(0)<0 f(0.5)<0 f(0.5)<0 f(0.625)<0

f(b) f(1)>0 f(1)>0 f(0.75)>0 f(0.75)>0

f?

?a+b? ? ? 2 ?

f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 f(0.687 5)<0

由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1, 所以方程 2x3+3x-3=0 的一个精确度为 0.1 的正实数近似解可取为 0.687 5.

1.根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价 的.求方程 f(x)=0 的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解. 2.对于求形如 f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如 F(x)=f(x) -g(x)=0 的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.

[再练一题] 3.用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零点可以取的初始区间是( )
5

A.[-2,1] C.[0,1]

B.[-1,0] D.[1,2]

【解析】 由于 f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,故可以取区间[-2,1]作为计算的初始区 间,用二分法逐次计算. 【答案】 A

1.下列函数中能用二分法求零点的是(

)

【解析】 在 A 和 D 中,函数虽有零点,但它们均是不变号零点,因此它们都不能用二 分法求零点.在 B 中, 函数无零点.在 C 中, 函数图象是连续不断的, 且图象与 x 轴有交点, 并且其零点为变号零点,所以 C 中的函数能用二分法求其零点. 【答案】 C 2.用二分法求函数 f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为 0.001,则结束计算的条 件是( ) B.|a-b|<0.001 D.|a-b|=0.001

A.|a-b|<0.1 C.|a-b|>0.001

【解析】 据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度 ε 时,便可结束计算. 【答案】 B 3.用“二分法”可求近似解,对于精确度 ε 说法正确的是( A.ε 越大,零点的精确度越高 B.ε 越大,零点的精确度越低 C.重复计算次数就是 ε D.重复计算次数与 ε 无关 【解析】 由“二分法”的具体步骤可知,ε 越大,零点的精确度越低. 【答案】 B 4. 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 参考数据 如下: )

6

f(1)=-2 f(1.375)=-0.260
3 2

f(1.5)=0.625 f(1.406 25)=-0.054

f(1.25)=-0.984 f(1.437 5)=0.162

那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似根为________.(精确到 0.1) 【导学号:97512033】 【解析】 根据题意知函数的零点在 1.406 25 至 1.437 5 之间,因为此时|1.437 5- 1.406 25|=0.031 25<0.1,故方程的一个近似根可以是 1.4. 【答案】 1.4 5.已知函数 f(x)=3ax +2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明 a>0,并利用 二分法证明方程 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根. 【证明】 ∵f(1)>0, ∴3a+2b+c>0, 即 3(a+b+c)-b-2c>0, ∵a+b+c=0, ∴-b-2c>0, 则-b-c>c,即 a>c. ∵f(0)>0,∴c>0,则 a>0. 1 在[0,1]内选取二等分点 , 2 3 1 ?1? 3 则 f? ?= a+b+c= a+(-a)=- a<0. 2 4 4 ? ? 4 ∵f(0)>0,f(1)>0,
2

? 1? ?1 ? ∴f(x)在区间?0, ?和? ,1?上至少各有一个零点, ? 2? ?2 ?
又 f(x)最多有两个零点, 从而 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根.

7


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