2018版高中数学(理)一轮全程复习(课件)选修4—4 坐标系与参数方程 4-4.1_图文

[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1.极坐标的概念 (1)极坐标系: 极点 ,从 O 如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做①______ 极轴 ,选定一个单位长度和角及其 点引一条射线 Ox,叫做②______ 正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系, 极坐标系 简称为③__________. (2)极坐标: 对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 极径 ,θ 叫做 Ox 为始边、OM 为终边的角度,ρ 叫做点 M 的④______ 极角 ,有序实数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标,记作 点 M 的⑤______ M(ρ,θ). 当点 M 在极点时,它的极径⑥______ ρ=0 ,极角 θ 可以取⑦ 任意值 ______. (3)点与极坐标的关系: 平面内一点的极坐标可以有无数对, 当 k∈Z 时, (ρ, θ), ( ρ, θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示⑧________ 同一个点,而用平面直角坐 标表示点时,每一个点的坐标是唯一的. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π, 或者-π<θ≤π, 那么, 除极点外, 平面内的点和极坐标就一一对应了. 2.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正 半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位 长度,如图所示. (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标 是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),于是极坐标与直角 坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) 2 2 x + y ρ =?________________ 互化公式 y ρsinθ tanθ=?______________ x(x≠0) 在一般情况下,由 tanθ 确定角时,可根据点 M 所在的象限 取最小正角. ? ?x=⑨ ? ? ?y=⑩ ρcosθ 2 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 圆心在极点,半 径为 r 的圆 圆心为(r,0), 半径 为 r 的圆 ? π? 圆心为?r,2?,半 ? ? 径为 r 的圆 极坐标方程 ρ=r(0≤θ<2π) ?________________ ? π π? =2rcosθ?-2≤θ<2? ?ρ ________________ ? ? ρ=2rsinθ(0≤θ<π) ?________________ 过极点,倾斜角 为 α 的直线 过点(a,0),与极 轴垂直的直线 (1)θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ ∈R) (2)θ=α(ρ≥0)和 θ=π+ α(ρ≥0) ρcosθ=a ?________________ ? π? 过点?a,2?, 与极 ? ? ρsinθ=a(0<θ<π) ?________________ 轴平行的直线 过点(a,0),倾斜 角为 α 的直线 ?________________ ρsin(α-θ)=asinα 二、必明 3●个易误点 1.极坐标系的四要素:①极点;②极轴;③长度单位;④ 角度单位和它的正方向,四者缺一不可. 2.由极径的意义知 ρ≥0,当极角 θ 的取值范围是[0,2π)时, 平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系, 约定极点的极坐标是极径 ρ=0,极角可取任意角. 3.极坐标与直角坐标的重要区别:多值性.在直角坐标系 中,点与直角坐标是“一对一”的关系;在极坐标系中,由于终 边相同的角有无数个,即点的极角不唯一,因此点与极坐标是 “一对多”的关系,但不同的极坐标可以写出统一的表达式.如 果(ρ, θ)是点 M 的极坐标, 那么(ρ, θ+2kπ)或(-ρ, θ+(2k+1)π)(k ∈Z)都可以作为点 M 的极坐标. [授课提示:对应学生用书第 193 页] 考向一 直角坐标系中的伸缩变换 [自主练透型] 2 ? ?x′=3x, y 2 ? [例 1] 求双曲线 C: x -64=1 经过 φ: 变换后 ? ?2y′=y 所得曲线 C′的焦点坐标. [解析] 设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? 2 ?x= x′, y 由上述可知,将? 3 代入 x2-64=1, ? ?y=2y′, x′2 4y′2 x′2 y′2 得 9 - 64 =1,化简得 9 - 16 =1, x2 y2 即 9 -16=1 为曲线 C′的方程, 可见仍是双曲线, 则焦点 F1(-5,0),F2(5,0)为所求. ——[悟· 技法]—— 伸缩变换公式应用时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩 变换实现的,解题时一定要区分变换前的点 P 的坐标(x,y)与变 换 后 的 点 P′ 的 坐 标 (x′ , y′) , 再 利 用 伸 缩 变 换 公 式 ? ?x′=λx?λ>0?, ? 建立联系. ? ?y′=μy?μ>0?, (2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(x′,y′)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式. ——[通· 一类]—— 1.若函数 y=f(x)的图象在伸缩变换 下得到曲线的方程为 周期. ? ?x′=2x, φ:? ? ?y′=3y 的作用 ? π? y′=3sin?x′+6?, 求函数 ? ? y=f(x)的最小正 解析:由题意,把变换公式代入曲线 ? ? π? π? y′=3sin?x′+6?得 3y=3sin?2x+6?, ? ? ? ? ? ? π? π? 整理得 y=sin?2x+6?,故 f(x)=sin?2x+6?. ? ? ? ? 2π 所以 y=f(x)的最小正周期为 2 =π. 考向二 极坐标与直角坐标的互化 [自主练透型] [例 2] 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为 ? π? 极轴建立极坐标系.曲

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