高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)

选修 2-2
班级

期中测试卷
姓名 第I卷

(本科考试时间为 120 分钟,满分为 100 分) 说明:本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ,试卷Ⅰ分值为 30 分,试卷Ⅱ分值为 70 分。

一.选择题 1.在“近似替代”中,函数 f ( x ) 在区间 [ xi , xi?1 ] 上的近似值( (A)只能是左端点的函数值 f ( xi ) )

(B)只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 )

(C)可以是该区间内的任一函数值 f ??i ?(?i ? [ xi , xi?1 ] ) (D)以上答案均正确 2.已知 z1 ? m2 ? 3m ? m2i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i ,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 m 的 值为 (A) 4 3.设 S (n) ? ( ) (B) ?1 (C) 6 (D) 0

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 (n ? N* ) ,当 n ? 2 时, S (2) ? ( C ) n n ?1 n ? 2 n ? 3 n 1 1 1 A. B. ? 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 C. ? ? D. ? ? ? 2 3 4 2 3 4 5 4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( B )
A、假设至少有一个钝角 C.假设没有一个钝角 5.给出以下命题: ⑴若 B.假设至少有两个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ?

2? 0

sin xdx ? 4 ;

⑶已知 F ?( x) ? f ( x) ,且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( B ) A.1 B.2

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

C.3

D.0

lim f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 h?0 6.若
A. ? 3

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h (
C. ? 9

B )
D. ?6 ( D ) (D) xy ? 1 ? x ? y

B. ?12

7.已知 x ? 1, y ? 1 ,下列各式成立的是 (A) x ? y ? x ? y ? 2 (B) x ? y ? 1
2 2

(C) x ? y ? 1

1

8. 定积分

?

π 2 0

sin 2

x dx 的值等于( A ) 2
B.

A.

π 1 ? 4 2

π 1 ? 4 2
3

C.

1 π ? 2 4

D.

π ?1 2


【第 9 题 2 选 1】9.曲线 y ? x A. [

? 3x ? 2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是(
C. (? 3, ??) D. [? 3, ??)

3 , ??) 3

B. (

3 , ??) 3

9.设 P 为曲线 C: y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,则点 P 横 坐标的取值范围为( A. ? ?1 , ? ? 2 ) C. ?0, 1? D. ? , 1?

? ?? ? 4?

? ?

1? ?

B. ? ?1 , 0?

?1 ? ?2 ?

10. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a2 ? 3 , an?2 ?| an?1 ? an | ,则 a2016 =( A.1 B.2 C.3

) D.0

11. 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为 3,数列 ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2011 的值为(D )

? 1 ? ? ? f ( n) ?

A.

2008 2009

B.

2009 2010

C.

2010 2011

D.

2011 2012

12. 平面几何中, 有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( B ) A.

3 a ,类比上述命题,棱长为 a 2

4 a 3

B.

6 a 3

C.

5 a 4

D.

6 a 4

第Ⅱ卷
二.填空题

1? i 1? i ? ,则复数 z= 1? i 1? i 14.已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、?2 ? 6 i ,且 O 是坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z 【15 题 2 选 1】15.已知可导函数 f ( x )( x ? R) 的导函数 f ' ( x ) 满足 f ' ( x ) ? f ( x ) ,则当 a ? 0 时,
13.若复数 z ?

f ( a ) 和 e a f (0) ( e 是自然对数的底数)大小关系为
2

15.若函数 f ( x) ?

4x 在区间 (m, 2m ? 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是 x ?1
2



答案: ?1 ? m ≤ 0 16.仔细观察下面图形:图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小正方体木块叠放而 成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是 91

三 解答题(本大题共 5 小题,共 54 分) 17(本小题满分 10 分) (1) 求定积分

?

1

?2

x2 ? 2 dx 的值;

【2 选 1】(2)若复数 z1 ? a ? 2i(a ? R) , z2 ? 3 ? 4i , 且

z1 为纯虚数,求 z1 z2
2

(2)已知复数 z 满足 z ? z ? z i ? 由已知得 z ? z ? z i ? 1 ? i , 设 z ? x ? yi, ? x, y ? R? 代人上式得 x 2 ? y 2 ? 2 xi ? 1 ? i
2

?

?

3?i ,求 z . 2? i

?

?

1 ? ? x??2 ?x2 ? y2 ? 1 ? 所以 ? ,解得 ? ?y ? ? 3 ? 2 x ? ?1 ? 2 ?
故z ??

1 3 ? i 2 2

18.【3 选 1】 (1)已知 a , b 是正实数,求证:

a b

?

b a

? a? b

3

只需证 a a ? b b ?

ab( a ? b ) ab( a ? b )

即证 (a ? b ? ab)( a ? b ) ? 即证 a ? b ? ab ?

ab

即证 a ? b ? 2 ab ,即 ( a ? b ) 2 ? 0 该式显然成立,所以

a b

?

b a

? a? b

(2)求证:(1) a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ; 证明: (1) ∵ a 2 ? b 2 ? 2ab ,

a2 ? 3 ? 2 3a , b2 ? 3 ? 2 3b
;

将此三式相加得 2 (a2 ? b2 ? 3) ? 2ab ? 2 3a ? 2 3b , ∴ a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) . (3)已知 a, b, c 均为实数,且 a ? x 2 ? 2 y ?

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0. 证明: (反证法) 假设 a, b, c 都不大于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,则 a ? b ? c ? 0 , 因为 a ? x 2 ? 2 y ?

π π π , b ? y 2 ? 2z ? , c ? z 2 ? 2x ? 2 3 6

?a ? b ? c ? (x2 ? 2 y ?

π π π ) ? ( y 2 ? 2z ? ) ? (z 2 ? 2x ? ) 2 3 6 2 2 2 ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? π ? 3 ? 0

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,故假设错误,原命题成立. 19.设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . (1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. 解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,
2

则 f ?( x) ? 2ax ? b .
4

由已知 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,得 a ? 1 , b ? 2 .

? f ( x) ? x2 ? 2x ? c .
又方程 x ? 2 x ? c ? 0 有两个相等的实数根,
2

?? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? 1 .
故 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ; (2)依题意,得

?

?t

?1

( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ,
?t

0

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?
3 2

?t ?1

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?

0 ?t



整理,得 2t ? 6t ? 6t ? 1 ? 0 ,即 2(t ?1)3 ? 1 ? 0 ,

?t ? 1 ?

3

1 . 2

x (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) ) x ?1 b 处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ? . a
20.已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ?

21.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? nan (n ? N* ) . (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论. 解: (1)依题设可得 a1 ?
5

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? , a2 ? ? , a3 ? , a4 ? ; 2 1? 2 6 2?3 12 3 ? 4 20 4 ? 5

(2)猜想: an ?

1 . n(n ? 1)

证明:①当 n ? 1 时,猜想显然成立. ②假设 n ? k (k ? N* ) 时,猜想成立, 即 ak ?

1 . k (k ? 1)

那么,当 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , 即 Sk ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 . 又 S k ? 1 ? kak ? 所以

k , k ?1

k ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , k ?1

从而 ak ?1 ?

1 1 . ? (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1]

即 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立.

2 21(本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1, n ? 1, 2, 3,

,

(1) 当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 ?an ? 的一个通项公式; (2) 当 a1 ? 3 时,证明对所有 n ? 1 ,有 ① an ? n ? 2 ②

1 1 ? ? 1 ? a1 1 ? a2

1 1 ? 1 ? an 2

x3 ? x 2 ? 3 x ? 3a(a ? 0) (12 分) 18、设函数 f ( x ) ? 3
(1) 如果 a ? 1 , 点 P 为曲线 y ? f ( x ) 上一个动点, 求以 P 为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程; (2)若 x ? [a , 3a] 时, f ( x ) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。
6

解: (1)设切线斜率为 k,则 k ? f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3.当x=1时,k有最小值-4 。 又 f (1) ? ?

29 29 , 所以切线方程为y ? ? ?49 x ? 1),即12 x ? 3 y ? 17 ? 0 。 (6 分) 3 3

若x ? [a, 3a]时,f ( x ) ? 0恒成立,则:
? 0 ? a ? 3 ? 3a ? 0 ? a ? 3a ? 3 ? a?3 (1)或 ? (2)或 ? (3) ? ? f (3a ) ? 0 ? f (a ) ? 0 ? f (3) ? 0
(1) , (2)无解,由(3)解得 a ? 6 ,综上所述。

20. 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 的图像在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? ,问:m 在什么范围取值时, 对于任意的 t ? [1,2] ,函数 g ( x ) ? x ? x [
3 2

m ? f ' ( x )] 在区间 ( t ,3) 上总存在极值? 2
p ? 2e ? 3 ,若在区间 [1, e ] 上至少存在一个 x 0 ,使得 x

(Ⅲ)当 a ? 2 时,设函数 h( x ) ? ( p ? 2) x ?

h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.

解(Ι )由 f ' ( x ) ?

a(1 ? x ) ( x ? 0) 知: x

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,? ?) ; (Ⅱ)由 f ' ( x ) ? ?

a 2 ? 1 得到 a ? ?2 ,故 f ( x ) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3, f ' ( x ) ? 2 ? , 2 x

g( x ) ? x 3 ? x 2 [

m m ? f ' ( x )] ? x 3 ? ( 2 ? ) x 2 ? 2 x , g' ( x ) ? 3 x 2 ? (4 ? m ) x ? 2 2 2

7

因为 g ( x ) 在区间 ( t ,3) 上总存在极值,且 1 ? t ? 2 ,所以 ?

? g' ( 2) ? 0 ,解得: ? g' ( 3) ? 0

?

37 37 m ? m ? ?9 ,故当 ? ? m ? ?9 时,对于任意的 t ? [1,2] ,函数 g( x ) ? x 3 ? x 2 [ ? f ' ( x )] 在 3 3 2

区间 ( t ,3) 上总存在极值。 (Ⅲ) f ( x ) ? 2 ln x ? 2 x ? 3 ,令 F ( x ) ? h( x ) ? f ( x ) ? px ?

p 2e ? ? 2 ln x x x

① 当 p ? 0 时 , 由 x ? [1, e ] 得 到 px ? p ? 0,?

2e ? 2 ln x ? 0, 所 以 在 [1, e ] 上 不 存 在 x 0 , 使 得 x

h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立;
② 当 p ? 0 时 , F '( x) ?

px 2 ? 2 x ? p ? 2e 2 , 因 为 x ? [1, e ] , 所 以 2e ? 2 x ? 0, px ? p ? 0 , x2

F ' ( x ) ? 0 在 [1, e ] 上恒成立,故 F ( x ) 在 [1, e ] 上单调递增。

F ( x ) max ? F (e ) ? pe ? 4e ,? ?) 。 e ?1
2

p p 4e ? 4 ,由题意可知 pe ? ? 4 ? 0 ,解得 p ? 2 ,所以 p 的取植范围是 e e e ?1

(

21.已知 a ? 0 ,设函数 f ( x) ? a ln x ? 2 a ? x ? 2a , g ( x) ? (I)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值;

1 (x ? 2 a )2 . 2

(II)若 e 是自然对数的底数,当 a ? e 时,是否存在常数 k 、 b ,使得不等式 f ( x) ? kx ? b ? g ( x) 对 于任意的正实数 x 都成立?若存在,求出 k 、 b 的值,若不存在,请说明理由. 解: (I)∵ h( x) ? a ln x ?

1 2 x ( x ? 0) , 2 a ( x ? a )( x ? a ) ∴ h?( x) ? ? x ? ? . x x x (0, a ) + h ?( x)
h( x ) ?

………………(2 分)

a 0
极大值

( a ,??) ?
………………(4 分)

∴当 x ? a 时,函数 h( x) 取最大值

(II)当 a ? e 时, h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值是 0, 即 f ( x) ? g ( x) ,当且仅当 x ? e 时取等号,
8

a ln a ? a ; 2

………………(6 分)

函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象在 x ? e 处有且仅有一个公共点 ( e , ) , ∵ f ?( x) ?

e 2

e ? 2 e ,函数 f ( x) 的图象在 x ? e 处切线斜率是 k f ? ? e , x

∵ g ?( x) ? x ? 2 e ,函数 g ( x) 的图象在 x ? e 处切线斜率是 k g ? ? e , ∴ f ( x) 和 g ( x) 的图象在 x ? e 处有公共切线方程为 y ? ? e x ?

3e , 2

………………(8 分) 设 F ( x) ? f ( x) ? (? e x ?

x

e e (x ? e ) 3e e ) ? e ln x ? e x ? , F ?( x) ? ? e ? ? x x 2 2 e (0, e ) ( e ,??)
+ 0 极大值 -

F '( x)
F ( x)

?

?

∴当 x ? e 时,函数 F ( x) 取得最大值 0 ,∴ f ( x) ? ? e x ?

3e 恒成立; 2

………………(10 分)

3e 1 e 1 ) ? x2 ? ex ? ? (x ? e )2 ? 0 , 2 2 2 2 3e ∴ g ( x) ? ? e x ? 在 x ? R 时恒成立; 2 3e ∴当 a ? e 时, k ? ? e , b ? . ………………(12 分) 2
∵ g ( x) ? (? e x ?

新课改高二数学选修 2-2 模块综合测试题参考答案
一 选择题 1 C 2B
二 填空题 13 1-i 三 解答题 17(1) 14

3D

4D

5A

6B

7D 8C

9 D 10 A 11A 12 C

n2 ? n ? 2 2

15 -2

16 -1

1? 8 2 3

(2)

10 3

18

当高 h ?

3 2 3? 3 l 时, Vmax ? l 3 27

19 (1)单调增区间 (0, ??) ,单调减区间 ( ?1, 0)
9

(2)切线方程为 x ? 4 y ? 4 ln 2 ? 3 ? 0 (3)所证不等式等价为 ln 而 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

a b ? ?1 ? 0 b a

1 1 ? 1 , 设 t ? x ? 1, 则 F (t ) ? ln t ? ? 1 , 由 ( 1 ) 结 论 可 得 , x ?1 t

F (t )在(0,1)单调递减,在(1, ??)单调递增,由 此 F (t )min ? F (1) ? 0 , 所 以 F (t ) ? F (1) ? 0 即
1 a F (t ) ? ln t ? ? 1 ? 0 ,记 t ? 代入得证。 t b
20 (选做题:从两个不等式任选一个证明,当两个同时证明的以第一个为准) (1)证:左式= (

a1 ? a2 ?

an +b1 ? b2 ? 4 ? (an ? bn )? (
a2 a2 ? b2

bn

)(

2 a12 a2 ? ? a1 ? b1 a2 ? b2

2 an ) an ? bn

=

1 ?(a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? 4
a1 a1 ? b1

2 a12 a2 ? ? a1 ? b1 a2 ? b2

2 an ) an ? bn

1? ? ? a1 ? b1 4? ?
=

? a2 ? b2

?

? an ? bn

? ? an ? bn ? ? an

2

1 ( a1 ? a2 ? 4

an )2 ? 1

(2)证:由排序不等式,得:
2 a12 ? a2 ? 2 ? an ? a1a2 ? a2a3 ? 2 ? ana1 , a12 ? a2 ? 2 ? an ? a1a3 ? a2a4 ?

? ana2

2 2 两式相加: 2(a1 ? a2 ?

2 ? an ) ? a1(a2 ? a3 ) ? a2 (a3 ? a4 )

? an (a1 ? a2 ) ,从而

2 2( a12 ? a2 ?

2 ? an )(

a1 a2 ? ? a2 ? a3 a3 ? a4

?

an )? a1 ? a2 a1 a2 ? ? a2 ? a3 a3 ? a4 ? an ) a1 ? a2

?

a1 ( a2 ? a3 ) ? a2 ( a3 ? a4 )

? an (a1 ? a2 ) ? (

? (a1 ? a2 ?
21

an )2 ,即证。

10

11


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