2018年广东普通高中学业水平考试数学试卷真题和答案解析

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2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷(B 卷)

一、选择题:本大题共 15 小题. 每小题 4 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1、已知集合 M ? ??1,0,1, 2? , N ? ?x | ?1? x ? 2?,则 M N ? (



A .?0,1, 2?

B .??1,0,1?

C.M

D.N

2、对任意的正实数 x, y ,下列等式不成立的是(



A . lg y ? lg x ? lg y x

B . lg(x ? y) ? lg x ? lg y

C . lg x3 ? 3lg x

3、已知函数

f

(x)

?

??x3 ?1, x ? ???2x , x ? 0

0
,设

f

(0)

?

a

,则

f

(a)=





A . ?2

B . ?1

C.1

D.0

2

4、设 i 是虚数单位, x 是实数,若复数 x 的虚部是 2,则 x ? (



1? i

A.4

B.2

C . ?2 D . ?4

D . lg x ? ln x ln10

5、设实数 a 为常数,则函数 f (x) ? x2 ? x ? a(x ? R) 存在零点的充分必要条件是(



A.a ?1

B .a ?1

C.a? 1 4

D.a ? 1 4

6、已知向量 a ? (1,1) , b ? (0, 2) ,则下列结论正确的是(



A . a / /b

B . (2a ? b) ? b

C.a ? b

D.a b?3

7、某校高一(1)班有男、女学生共 50 人,其中男生 20 人,用分层抽样的方法,从该班学生中随

机选取 15 人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是(



.

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A . 6和9

B . 9和6

C . 7和8

D . 8和7

8、如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为





A .1

B.2

C .4

D.8

?x ? y ?1? 0 9、若实数 x, y 满足 ??x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为
??x ? 0





A.0

B . ?1

C.? 3

D . ?2

2

10、如图, o 是平行四边形 ABCD的两条对角线的交点,则下列等式正确的是(



A . DA ? DC ? AC

B . DA ? DC ? DO

C . OA ? OB ? AD ? DB D . AO ? OB ? BC ? AC

11、设 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 a ? 3, b ? 2, c ? 13 ,则 C ? (



5? A.

? B.

C . 2?

? D.

6

6

3

3

12、函数 f (x) ? 4sin x cos x ,则 f (x) 的最大值和最小正周期分别为(



A . 2和?

B . 4和?

C . 2和2?

D . 4和2?

13、设点

P

是椭圆

x2 a2

?

y2 4

? 1(a ? 2) 上的一点, F1,F2 是椭圆的两个焦点,若

F1F2

?4

3 ,则

PF1 ? PF2 ? (



.

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A.4

B .8

C.4 2

D.4 7

14、设函数 f (x) 是定义在 R 上的减函数,且 f (x) 为奇函数,若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,则下列结论不正

确的是(



A . f (0) ? 0

B . f (x1) ? 0

C.

f (x2

?

1 )?
x2

f (2)

1

D.

f (x1 ?

)? x1

f (2)

? ? 15、已知数列 an 的前 n 项和 Sn ? 2n?1 ? 2 ,则 a12 ? a22 ? ? an2 ? (



A . 4(2n ?1)2

B . 4(2n?1 ?1)2

C . 4(4n ?1) 3

4(4n?1 ? 2) D.
3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.

16、双曲线 x2 ? y2 ? 1 的离心率为

.

9 16

17、若 sin(? ?? ) ? 2 ,且 0 ?? ? ? ,则 tan? ?

.

2

3

18、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,

第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为

.

19、圆心为两直线 x ? y ? 2 ? 0 和 ?x ? 3y ?10 ? 0 的交点,且与直线 x ? y ? 4 ? 0 相切的圆的标准

方程是

.

三、解答题:本大题共 2 小题. 每小题 12 分,满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤.

? ? 20、若等差数列 an 满足 a1 ? a3 ? 8 ,且 a6 ? a12 ? 36 .

(1)求?an? 的通项公式;

? ? ? ? (2)设数列 bn 满足 b1 ? 2 , bn?1 ? an?1 ? 2an ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
.

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21、如图所示,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面ABC , PB ? BC , F 为 BC 的中点, DE 垂 直平分 PC ,且 DE 分别交 AC,PC 于点 D, E . (1)证明: EF / /平面ABP ; (2)证明: BD ? AC .
.

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2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷(B 卷)答案解析 一、选择题:本大题共 15 小题. 每小题 4 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1、B 解析: M N ? ??1,0,1?,故选 B.

2、B 解析:对于 B 项,令 x ? y ? 1,则 lg(x ? y) ? lg 2 ? lg1 ? 0 ,而 lg x ? lg y ? 0 ,显然不成
立,故选 B.

3、C 解析: a ? f (0) ? 03 ?1 ? ?1 ? f ( a) ? f (? 1 )??12 1?,故选 C. 2

4、D 解析: x ? x(1? i) ? x ? x i ?? x ? 2 ? x ? ?4 ,故选 D.

1? i (1? i)(1? i) 2 2

2

5、C 解析:由已知可得, ? ? 1? 4a ? 0 ? a ? 1 ,故选 C. 4
6、B 解析:对于 A 项,1?2-0?1 ? 0 ,错误;

对于 B 项, 2a ? b ? (2, 0) , b ? (0, 2) ,则 2 ? 0+0 ? 2 ? 0 ? (2a ? b) ? b ,正确;

对于 C 项, a ? 2, b ? 2 ,错误;

对于 D 项, a b ? 1? 0 ?1? 2 ? 2 ,错误. 故选 B.

7、A 解析:抽样比为 k ? 15 ? 3 ,则应抽取的男生人数为 20? 3 =6(人) ,应抽取的女生人数

50 10

10

为 (50 ? 20) ? 3 ? 9(人) ,故选 A. 10

8、C 解析:由三视图可知,该几何体为长方体,长为 2,宽为 2,高为 1,则体积为V ? 2? 2?1 ? 4,
故选 C.

9、D 解析:(快速验证法)交点为 (0,1), (0, 0), (? 1 , 1) ,则 z ? x ? 2 y 分别为 ?2, 0, ? 3 ,所以 z

22

2

.

的最小值为 ?2 ,故选 D. 10、D 解析:对于 A 项, DA ? DC ? CA ,错误;

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对于 B 项, DA ? DC ? 2DO ,错误;

对于 C 项, OA ? OB ? AD ? BA ? AD ? BD ,错误;

对于 D 项, AO ? OB ? BC ? AB ? BC ? AC ,正确. 故选 D.

11、A

解析:由余弦定理,得 cos C ? a2 ? b2 ? c2 ? (

3)2 ? 22 ? (

13)2 ??

3 ,又

0?C ??

2ab

2? 3?2

2

?C= 5? ,故选 A. 6

12、A 解析:

f (x) ? 2sin 2x ?

f (x)max

? 2 ,最小正周期为T

?

2? 2

??

,故选 A.

13、B 解析: F1F2 ? 4 3 ? 2c ? c ? 2 3 ?a2 ? c2 ? b2 ? (2 3)2 ? 4 ? 16 ? a ? 4

? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2?4 ? 8 ,故选 B.

14、D 解析:对于 A 项, f (x) 为 R 上的奇函数 ? f (0) ? 0 ,正确;

对于 B 项, f (x) 为 R 上的减函数 ? x1 ? 0 ? f (x1) ? f (0) ? 0 ,正确;

对于 C 项,

x2

?

0

? x2

?

1 x2

?

2

x2

1 x2

? (2 当且仅当x2

?

1 x2

,即x2

? 1时等号成立)

?

f

( x2

?

1 )? x2

f (2) ,正确;

对于 D 项,

x1 ? 0

? x1

?

1 x1

?

?(?x1

?

1 )
? x1

?

?2

? x1

1 ? x1

? ?2

.

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?

f

(x1 ?

1)? x1

f

(?2) ?

? f (2) ,错误.

故选 D.

15、C 解 析: 当 n ? 2 时 , an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2 ? (2n ? 2) ? 2 ? 2n ? 2n ? 2n ; 当 n ?1 时 ,
? ? a1 ? S1 ? 22 ? 2 ? 2 适合上式. ? an ? 2n (n ? N ? ) ? an2 ? (2n )2 ? 4n ? an2 是首项为 4 ,公比为

4 的等比数列 ? a12 ? a2 2?

? an

2? 4(1? 4n ) ? 4(4n ?1) ,故选 C.

1? 4

3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.
16、 5 解析:由已知,得 a2 ? 9 ? a ? 3,b2 ? 16 ? b ? 4 ?c2 ? a2 ? b2 ?9 1?6 ?2 5 ?c ?5 3
?双曲线的离心率为 e ? c ? 5 . a3

17、 5 解析: s i n?( ?? ?) c?o?s 2 ,且 0 ?? ? ? ?sin? ? 1? cos2 ? ? 1? ( 2)2 ? 5

2

2

3

33

? tan? ? sin? ?

5?3 ?

5
.

cos? 3 2 2

18、 4 解析: P ? 2? 2? 4.

9

3? 3 9

19、 (x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

解析:联立

?x ? y ?2 ? 0 ???x ? 3y ?10

?

0



?x

? ?

y

? ?

4 ?2

?

圆心为(

4

?,

2)

4?2?4

则圆心 (4, ?2) 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离为 d ?

? 2 ,故圆的半径为 2

12 ?12

?圆的标准方程为 (x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 .

三、解答题:本大题共 2 小题. 每小题 12 分,满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤.

20、解:(1)设等差数列?an? 的公差为 d .
.

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?

?a1 ?? a6

? a3 ? 8 ? a12 ? 36

?

?a1 ??a1

? ?

a1 ? 2d 5d ? a1

?8 ?11d

?

36

?

???ad1

?2 ?2

?an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?数列?an? 的通项公式为 an ? 2n .

(2)由(1)知, an ? 2n ?bn?1 ? an?1 ? 2an ? 2(n ?1) ? 2? 2n ? ?2n ? 2

?bn ? ?2(n ?1) ? 2 ? ?2n ? 4 又 b1 ? 2 适合上式 ?bn ? ?2 n ?4 (n ?N? )

?bn?1 ? bn ? ?2n ? 2 ? (?2n ? 4) ? ?2 ?数列?bn? 是首项为 2 ,公差为 ?2 的等差数列.

? Sn

?

2n

?

n(n ?1) 2

? (?2)

?

2n

?

n2

?

n

?

?n2

? 3n

21、解:(1)证明: DE 垂直平分 PC ?E 为 PC 的中点

又 F 为 BC 的中点 ?EF 为 B C P的中位线 ?EF / /BP

又 EF ? 平面ABP, BP ? 平面ABP ?EF / /平面ABP

(2)证明:连接 BE PB ? BC , E 为 PC 的中点 ?P C? B E DE 垂直平分 PC ?P C? D E
又 BE DE ? E , BE, DE ? 平面BDE ?P C? 平面 B D E

又 BD ? 平面BDE ?P C? B D

PA ? 平面ABC, BD ? 平面ABC ?P A? B D

又 PC PA ? P , PC, PA ? 平面PAC ?B D? 平面 P A C

又 AC ? 平面PAC ?B D? A C

.

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