09.09.23高一数学《函数的奇偶性》(课件)


湖南长郡卫星远程学校

制作 02

2006年下学期

[引 入课题]
1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(?1),f(1), f(?2),f(2) 及f(?x),并画出它的图象.

湖南长郡卫星远程学校

制作 02

2006年下学期

[引 入课题]
1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(?1),f(1), f(?2),f(2) 及f(?x),并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(?1)=(?1)2=1,f(1)=1 f(?2)=(?2)2=4 f(2)=4

f(?x)=(?x)2=x2

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制作 02

2006年下学期

[引 入课题]
1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(?1),f(1), f(?2),f(2) 及f(?x),并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(?1)=(?1)2=1,f(1)=1 f(?2)=(?2)2=4 f(2)=4
y

f(?x)=(?x)2=x2

O

x

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2006年下学期

[引 入课题]
1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(?1),f(1), f(?2),f(2) 及f(?x),并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(?1)=(?1)2=1,f(1)=1 f(?2)=(?2)2=4 f(2)=4
y

f(?x)=(?x)2=x2

O

x

思考:函数图象上横坐标互为相反数 的点的纵坐标有什么关系?
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

[引 入课题]
1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(?1),f(1), f(?2),f(2) 及f(?x),并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(?1)=(?1)2=1,f(1)=1 f(?2)=(?2)2=4 f(?2)=f(2) f(2)=4 f(?1)=f(1)
y

f(?x)=(?x)2=x2

O

x

思考:函数图象上横坐标互为相反数 的点的纵坐标有什么关系?
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

[引 入课题]
1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(?1),f(1), f(?2),f(2) 及f(?x),并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(?1)=(?1)2=1,f(1)=1 f(?2)=(?2)2=4 f(?2)=f(2) f(2)=4 f(?1)=f(1)
2) f( x)= f( ? x? )=( ?f x()x =x2

y

O

x

思考:函数图象上横坐标互为相反数 的点的纵坐标有什么关系?
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

[引 入课题]
1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(?1),f(1), f(?2),f(2) 及f(?x),并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(?1)=(?1)2=1,f(1)=1 f(?2)=(?2)2=4 f(?2)=f(2) f(2)=4 f(?1)=f(1)
2) f( x)= f( ? x? )=( ?f x()x =x2

y

(? x , y ) f(?x) ?x O

(x , y ) f(x ) x
x

思考:函数图象上横坐标互为相反数 的点的纵坐标有什么关系?
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

2.已知f(x)=x3,求f(0),f(?1),f(1),f(?2), f(2)及f(?x),并画出它的图象.

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2006年下学期

2.已知f(x)=x3,求f(0),f(?1),f(1),f(?2), f(2)及f(?x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(?1)=(?1)3=?1,f(1)=1

f(?2)=(?2)3=?8 f(2)=8 f(?x)=(?x)3=?x3

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2006年下学期

2.已知f(x)=x3,求f(0),f(?1),f(1),f(?2), f(2)及f(?x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(?1)=(?1)3=?1,f(1)=1
y

f(?2)=(?2)3=?8 f(2)=8 f(?x)=(?x)3=?x3

O

x

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2006年下学期

2.已知f(x)=x3,求f(0),f(?1),f(1),f(?2), f(2)及f(?x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(?1)=(?1)3=?1,f(1)=1
y

f(?2)=(?2)3=?8 f(2)=8 f(?x)=(?x)3=?x3

O

x

思考:函数图象上横坐标互为相反数 的点的纵坐标有什么关系?
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

2.已知f(x)=x3,求f(0),f(?1),f(1),f(?2), f(2)及f(?x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(?1)=(?1)3=?1,f(1)=1
3=?8 f (? 2)=( ? 2) f(?2)=?f(2) f(2)=8 f(?1)=?f(1)

y

f(?x)=(?x)3=?x3

O

x

思考:函数图象上横坐标互为相反数 的点的纵坐标有什么关系?
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

2.已知f(x)=x3,求f(0),f(?1),f(1),f(?2), f(2)及f(?x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(?1)=(?1)3=?1,f(1)=1
3=?8 f (? 2)=( ? 2) f(?2)=?f(2) f(2)=8 f(?1)=?f(1)

y

f(x ?)=( x)= )?x3 f (? ?? xf)(3x =

O

x

思考:函数图象上横坐标互为相反数 的点的纵坐标有什么关系?
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

2.已知f(x)=x3,求f(0),f(?1),f(1),f(?2), f(2)及f(?x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(?1)=(?1)3=?1,f(1)=1
3=?8 f (? 2)=( ? 2) f(?2)=?f(2) f(2)=8 f(?1)=?f(1)

y

?x (? x , y )

(x , y ) Ox x

f(x ?)=( x)= )?x3 f (? ?? xf)(3x =

思考:函数图象上横坐标互为相反数 的点的纵坐标有什么关系?
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[函数奇偶性的概念]
偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(?x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.

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[函数奇偶性的概念]
偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(?x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数. 偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(?x)=?f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
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[对奇函数、偶函数定义的说明]

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[对奇函数、偶函数定义的说明]
1. 函数具有奇偶性的前提是:定义域关

于原点对称.

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[对奇函数、偶函数定义的说明]
1. 函数具有奇偶性的前提是:定义域关

于原点对称.

[?b, ?a] O

[a, b]

x

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[对奇函数、偶函数定义的说明]
1. 函数具有奇偶性的前提是:定义域关

于原点对称.

[?b, ?a] O

[a, b]

x

2. 若f(x)为奇函数,则f(?x)=?f(x)成立. 若f(x)为偶函数, 则f(?x)=f(x)成立.

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2006年下学期

[对奇函数、偶函数定义的说明]
1. 函数具有奇偶性的前提是:定义域关

于原点对称.

[?b, ?a] O

[a, b]

x

2. 若f(x)为奇函数,则f(?x)=?f(x)成立. 若f(x)为偶函数, 则f(?x)=f(x)成立.
3. 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数, 那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性.
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[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
① f(x)=x4 _______ ④ f(x)=x?1_______
② f(x)=x ________ ⑤ f(x)=x?2 _______

③ f(x)=x5 _______ ⑥ f(x)=x?3 _______

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[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ④ f(x)=x?1_______ ① f(x)=x4 _______ ② f(x)=x ________ ⑤ f(x)=x?2 _______

③ f(x)=x5 _______ ⑥ f(x)=x?3 _______

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[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ④ f(x)=x?1_______ ① f(x)=x4 _______ 奇函数 ⑤ f(x)=x?2 _______ ② f(x)=x ________

③ f(x)=x5 _______ ⑥ f(x)=x?3 _______

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[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ④ f(x)=x?1_______ ① f(x)=x4 _______ 奇函数 ⑤ f(x)=x?2 _______ ② f(x)=x ________ 奇函数 ⑥ f(x)=x?3 _______ ③ f(x)=x5 _______

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2006年下学期

[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ④ f(x)=x?1_______ 奇函数 ① f(x)=x4 _______ 奇函数 ⑤ f(x)=x?2 _______ ② f(x)=x ________ 奇函数 ⑥ f(x)=x?3 _______ ③ f(x)=x5 _______

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2006年下学期

[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ④ f(x)=x?1_______ 奇函数 ① f(x)=x4 _______ 奇函数 ⑤ f(x)=x?2 偶函数 ② f(x)=x ________ _______ 奇函数 ⑥ f(x)=x?3 _______ ③ f(x)=x5 _______

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2006年下学期

[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ④ f(x)=x?1_______ 奇函数 ① f(x)=x4 _______ 奇函数 ⑤ f(x)=x?2 偶函数 ② f(x)=x ________ _______ 奇函数 ⑥ f(x)=x?3 奇函数 ③ f(x)=x5 _______ _______

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2006年下学期

[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ④ f(x)=x?1_______ 奇函数 ① f(x)=x4 _______ 奇函数 ⑤ f(x)=x?2 偶函数 ② f(x)=x ________ _______ 奇函数 ⑥ f(x)=x?3 奇函数 ③ f(x)=x5 _______ _______

[结论] 一般的,对于形如f(x)=xn的函数:

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2006年下学期

[练习1] 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ④ f(x)=x?1_______ 奇函数 ① f(x)=x4 _______ 奇函数 ⑤ f(x)=x?2 偶函数 ② f(x)=x ________ _______ 奇函数 ⑥ f(x)=x?3 奇函数 ③ f(x)=x5 _______ _______

[结论] 一般的,对于形如f(x)=xn的函数: 若n为偶数,则它为偶函数. 若n为奇数,则它为奇函数.
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[例1] 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2

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[例1] 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x3+2x 解: 定义域为R ∵f(?x)=(?x)3+2(?x) =?x3?2x =?(x3+2x) =?f(x) ∴f(x)为奇函数
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(2) f(x)=2x4+3x2

[例1] 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2

解: 定义域为R 解: 定义域为R ∵f(?x)=(?x)3+2(?x) ∵f(?x)=2(?x)4+3(?x)2 =?x3?2x 4+3x2 =2 x =?(x3+2x) =f(x) =?f(x) ∴f(x)为奇函数
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∴f(x)为偶函数
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[小结] 用定义判断函数奇偶性的步骤:

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[小结] 用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1) 先求定义域,看是否关于原点对称;

(2) 再判断f(?x)=?f(x)或f(?x)=f(x)是否
恒成立.

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[练习2] 判断下列函数的奇偶性:
1 (1) f ( x ) ? x ? x

(2) f ( x) ? ? x ? 1
2

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[练习2] 判断下列函数的奇偶性:
1 (1) f ( x ) ? x ? x

(2) f ( x) ? ? x ? 1
2

解: 定义域为{x|x≠0}

1 ? f (? x ) ? ? x ? ?x 1 ? ?x ? x ? ? f ( x)

∴f(x)为奇函数
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[练习2] 判断下列函数的奇偶性:
1 (1) f ( x ) ? x ? x

(2) f ( x) ? ? x ? 1
2

解: 定义域为{x|x≠0}

1 ? f (? x ) ? ? x ? ?x 1 ? ?x ? x ? ? f ( x)

解: 定义域为R
∵f(?x)=?(?x)2+1 =?x2+1 =f(x)

∴f(x)为奇函数
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∴f(x)为偶函数
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(3) f(x)=5

(4) f(x)=0

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(3) f(x)=5 解: f(x)的定义域为R ∵f(?x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数

(4) f(x)=0

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2006年下学期

(3) f(x)=5 解: f(x)的定义域为R ∵f(?x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数 y 5
O

(4) f(x)=0

x

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2006年下学期

(3) f(x)=5

(4) f(x)=0

解: f(x)的定义域为R 解: 定义域为R ∵f(?x)=f(x)=5 ∵ f(?x)=0=f(x)又 f(?x)=0=?f(x) ∴f(x)为偶函数 ∴f(x)为既奇又偶函数 y 5
O

x

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2006年下学期

(3) f(x)=5

(4) f(x)=0

解: f(x)的定义域为R 解: 定义域为R ∵f(?x)=f(x)=5 ∵ f(?x)=0=f(x)又 f(?x)=0=?f(x) ∴f(x)为偶函数 ∴f(x)为既奇又偶函数 y y 5
O

x

O

x

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(3) f(x)=5

(4) f(x)=0

解: f(x)的定义域为R 解: 定义域为R ∵f(?x)=f(x)=5 ∵ f(?x)=0=f(x)又 f(?x)=0=?f(x) ∴f(x)为偶函数 ∴f(x)为既奇又偶函数 y y 5
O

x

O

x

[结论] 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称) 为既奇又偶函数.
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(5) f ( x ) ? x ? x
2

(6) f ( x) ? x

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(5) f ( x ) ? x ? x
2

(6) f ( x) ? x

解: ∵f(?1)=0, f(1)=2 ∴f(?1)≠f(1), f(?1)≠?f(1) ∴f(x)为非奇非 偶函数
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(5) f ( x ) ? x ? x
2

(6) f ( x) ? x

解: ∵f(?1)=0, 解: 定义域为[0, +∞) f(1)=2 ∵定义域不关于 ∴f(?1)≠f(1), 原点对称 f(?1)≠?f(1) ∴f(x)为非奇非 ∴f(x)为非奇非 偶函数 偶函数
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(7) f ( x) ? 3 x

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(7) f ( x) ? 3 x
解: 定义域为R ? f (? x ) ? 3 ? x ? ? 3 x ? ? f ( x )

? f ( x )为 奇 函 数

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(7) f ( x) ? 3 x
解: 定义域为R ? f (? x ) ? 3 ? x ? ? 3 x ? ? f ( x )

? f ( x )为 奇 函 数
[小结] 根据奇偶性,函数可划分为四类:

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(7) f ( x) ? 3 x
解: 定义域为R ? f (? x ) ? 3 ? x ? ? 3 x ? ? f ( x )

? f ( x )为 奇 函 数
[小结] 根据奇偶性,函数可划分为四类: (1) 奇函数 (2) 偶函数 (3) 既奇又偶函数 (4) 非奇非偶函数
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

1? x [例2] 判断函数f ( x ) ? 的奇偶性. x?2 ?2 (1) 求函数的定义域; (2) 化简函数表达式; (3) 判断函数的奇偶性.
2

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1? x [例2] 判断函数f ( x ) ? 的奇偶性. x?2 ?2 (1) 求函数的定义域; (2) 化简函数表达式; (3) 判断函数的奇偶性.
2

解:

?1 ? x 2 ? 0 ?? 1 ? x ? 1 (1) ? ?? ? x ? 2 ? 2 ? x ? 0且x ? ?4 ? ?1 ? x ? 1且x ? 0 ?定 义 域 为 [?1, 0) ? (0, 1].
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1? x 1? x ( 2) f ( x ) ? ? . ( x ? 2) ? 2 x
2 2

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1? x 1? x ( 2) f ( x ) ? ? . ( x ? 2) ? 2 x
2 2
2 1 ? (? x ) 1? x ( 3) f ( ? x ) ? ?? ? ? f ( x) ?x x ? f ( x )为 奇 函 数 . 2

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[奇偶函数图象的性质]

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[奇偶函数图象的性质]
奇函数的图象(如y=x3 )

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[奇偶函数图象的性质]
奇函数的图象(如y=x3 )

y

P(a, f(a))

?a

O a

x

P'(?a, f(?a))
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

[奇偶函数图象的性质]
奇函数的图象(如y=x3 )

y

P(a, f(a))

?a

O a

x

P'(?a, f(?a)) (?a, ?f(a))
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

[奇偶函数图象的性质]
奇函数的图象(如y=x3 ) 偶函数的图象(如y=x2)

y

P(a, f(a))

?a

O a

x

P'(?a, f(?a)) (?a, ?f(a))
湖南长郡卫星远程学校 制作 02 2006年下学期

[奇偶函数图象的性质]
奇函数的图象(如y=x3 ) 偶函数的图象(如y=x2)

y

P(a, f(a))

y
P'(?a, f(?a)) P(a, f(a))

?a

O a

x

P'(?a, f(?a)) (?a, ?f(a))
湖南长郡卫星远程学校

?a

O

a
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x

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[奇偶函数图象的性质]
奇函数的图象(如y=x3 ) 偶函数的图象(如y=x2)

y

P(a, f(a))

y
(?a, f(a)) P'(?a, f(?a))

?a

P(a, f(a))

O a

x

P'(?a, f(?a)) (?a, ?f(a))
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?a

O

a
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x

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[奇偶函数图象的性质]
1.奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于 原点对称,那么这个函数为奇函数.

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[奇偶函数图象的性质]
1.奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于 原点对称,那么这个函数为奇函数.
2. 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于 y轴对称,那么这个函数为偶函数.
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[注] 奇偶函数图象的性质可用于: ① 判断函数的奇偶性; ② 简化函数图象的画法.

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[例3] 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴 右边的图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边 的图象. y

O
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x
2006年下学期

[例3] 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴 右边的图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边 的图象. y 解:

O
湖南长郡卫星远程学校 制作 02

x
2006年下学期

[例3] 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴 右边的图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边 的图象. y 解:

O
湖南长郡卫星远程学校 制作 02

x
2006年下学期

[例3] 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴 右边的图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边 的图象. y 解:

O
湖南长郡卫星远程学校 制作 02

x
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[本课小结]
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x,

如果都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x )为奇函数 . 如果都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( x )为偶函数 .
2.两个性质:

一个函数为奇函数 ? 它的图象关于原点对称 . 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于 y轴对称 .
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[书面作业]
P43 习题6(A组) B组第3题

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