(上交)微观经济学课件 11讲 技术 (CFA模考网-cfamk推荐)


第十八章 技 术

回顾与复习
?生产函数的概念

?几种特殊形式的生产函数
?技术的特征 ?边际产品的概念极其计算 ?边际报酬递减规律 ?边际技术替代率概念极其计算

?规模报酬的概念极其计算

技 术
? 技术是指投入与产出之间的一种关系,或投

入转化为产出的一种生产方法。
? 同一种产品(服务)可以有不同的技术来生

产。如上课可以是黑板+粉笔+演讲,也可 以是计算机+投影仪+话筒演讲
? 哪一个技术是最好的?哪一种是最适用的?
? 我们关心的是在技术一定的情况下,投入与

产出之间的关系。

生产函数
? xi

表示投入要素i的数量。 x2, … , xn)投入要素束. 表示产出水平,即产量。

? (x1, ?y

? 只有某些投入要素组合(与技术有关)

才有可能生产既定的产量。
? 技术上可行的生产方法的所有投入与产

出组合的集合叫生产集。

单一投入和产出的生产函数 (短期生产函数)
产量 y’ 生产集 (技术集), 所有可行生产 计划的集合。 x’ 投入量 x y’ = f(x’) 是既定投入 水平x’ 下的最大产出量

y”

由生产集边界线所确定的函 数就是生产函数y = f(x)
y’ y’ = f(x’) 是既定投入 水平x’ 下的最大产出量

x’

x

多种投入的生产函数(长期生产函数)
? 假设投入二种生产要素x1

和 x2,产出(

产量)为y
? 生产函数的形式很多,如道格拉斯生产

函数,固定比例生产函数,完全替代生 产函数。
? 用等产量曲线来描述。

? 如生产要素投入束为(x1,

x2) = (1, 8)

1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 y ? 2x1 x 2 ? 2 ? 1 ? 8 ? 2 ? 1 ? 2 ? 4.
? (x1,x2)

= (8,8)

1/3 1/3 1/3 1/3 y ? 2x1 x 2 ? 2 ? 8 ? 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? 8.

产量, y

x2

(8,8)
(8,1) x1

y

y ???

x2 y ???

x1

x2

y ???

y ??? x1

Output, y

y ???
y ??? x2 y ??? y ??? x1

x2

y ???

y ??? y ??? y ??? x1

x2

y

x1

y

x1

y

x1

几种特殊形式的生产函数
1. ?

Cobb-Douglas 生产函数
a1 a 2 an y ? A x1 x 2 ??? xn .

1 1 如:当 n ? 2, A ? 1, a1 ? ,a2 ? . 3 3
1/3 1/3 y ? x1 x 2

x2

所有的等产量线是双曲线, 并向二各轴渐近,但绝不 会与二各轴相交。
a1 a 2 y ? x1 x 2

x1

x2
a1 a 2 x1 x 2 ? y"

a1 a 2 x1 x 2 ? y' a1 a 2 y?x x

x1

1

2

x2

y" > y'
a1 a 2 x1 x 2 ? y" a1 a 2 x1 x 2 ? y'

x1

固定比例生产函数

y ? min{a1 x1 , a 2x 2 ,?, an xn }.
如:当

n ? 2, a1 ? 1,a2 ? 2.
y ? min{x1 , 2x 2 }

x2

y ? min{x1 , 2x 2 }

x1 = 2x2
7 4 2 4 8 min{x1,2x2} = 14 min{x1,2x2} = 8 min{x1,2x2} = 4 14 x1

完全替代生产函数
y ? a1 x1 ? a 2x 2 ? ? ? an xn .
如:当

n ? 2, a1 ? 1,a2 ? 3.
y ? x1 ? 3x 2

y ? x1 ? 3x 2
x2

x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 36
8 6 3 9 18

x1 + 3x2 = 48

24 x1

边际产量
y ? f ( x1 ,?, xn )
? 生产要素(投入要素)

i 的边际产量是 指:其它要素的投入量不变时,每单位 要素i 的变动引起的产出变动的比率。

?y MPi ? ? xi



1/3 2/ 3 y ? f ( x1 , x 2 ) ? x1 x 2

? y 1 ? 2/ 3 2/ 3 MP1 ? ? x1 x 2 ? x1 3

1/3 2/ 3 y ? f ( x1 , x 2 ) ? x1 x 2

? y 1 ? 2/ 3 2/ 3 MP1 ? ? x1 x 2 ? x1 3
? y 2 1/3 ? 1/3 MP2 ? ? x1 x 2 . ? x2 3

一般地一种投入要素的边际产量取决于另 一种投入要素的数量。

1 ? 2/ 3 2/ 3 MP1 ? x1 x 2 3 1 ? 2/ 3 2/ 3 4 ? 2/ 3 8 ? x1 if x2 = 8, MP1 ? x1 3 3
1 ? 2/ 3 2/ 3 ? 2/ 3 27 ? 3x1 . if x2 = 27 MP1 ? x1 3

边际产量递减规律
? 随着投入要素的增加,总产量会增加,

继续增加投入要素的投入量,总产量将 以递减的速度增加。

? MPi ? ? ? y ? ? 2y ? ? ? ? x ? ? ? x 2 ? 0. ? xi ? xi ? i ? ? i

规模报酬
? 边际产量描述的是单一投入要素变化时

产出的变化。
? 规模报酬描述的是所有投入要素以相同

的比例变化后总产出的变化。

对投入束 (x1,…,xn),
f (kx1 , kx 2 ,?, kxn ) ? kf ( x1 , x 2 ,?, xn )

规模报酬不变
f (kx1 , kx 2 ,?, kxn ) ? kf ( x1 , x 2 ,?, xn )

规模报酬递减
f (kx1 , kx 2 ,?, kxn ) ? kf ( x1 , x 2 ,?, xn )

规模报酬递增

一种投入要素时
产出
2y’ y = f(x)

规模报酬不变
y’

x’ 投入

2x’

x

产出
2f(x’) f(2x’) y = f(x)

f(x’)

规模报酬递减

x’

2x’

投入

x

产出

规模报酬递增
y = f(x)

f(2x’) 2f(x’) f(x’) x’ 2x’ 投入 x

同一技术(生产函数)可以出现不同的规模报酬
产出

规模报酬递增 规模报酬递减

y = f(x)

投入

x

几种特殊函数的规模报酬
完全替代生产函数

y ? a1 x1 ? a 2x 2 ? ? ? an xn .
a1 (kx1 ) ? a 2 (kx 2 ) ? ? ? an (kxn ) ? k( a1x1 ? a 2x 2 ? ? ? anxn ) ? ky.
规模报酬不变

固定比例生产函数

y ? min{a1 x1 , a 2x 2 , ? , an xn }.
min{ a1 (kx1 ), a 2 (kx 2 ), ? , an (kxn )} ? k(min{ a1x1 , a 2x 2 , ? , anxn }) ? ky.
规模报酬不变

道格拉斯生产函数
a1 a 2 an y ? x1 x 2 ? xn .

(kx1 )

a1

(kx 2 )

a2

?(kxn )

an

a1 a 2 an a1 a 2 an ? k k ?k x x ?x an a1 ? a 2 ??? an a1 a 2 ?k x 1 x 2 ? xn a1 ??? an

?k

y.

(kx1 )

a1

(kx 2 )

a2

?(kxn )

an

?k

a1 ??? an

y.

当 a1+ … + an a1+ … + a n a1+ … + a n

= 1,规模报酬不变 > 1,规模报酬递增 < 1,规模报酬递减

边际产量与规模报酬
a1 a 2 2/ 3 2/ 3 y ? x1 x 2 ? x1 x 2

4 a1 ? a 2 ? ? 1 3
2 ? 1/ 3 2/ 3 MP1 ? x1 x 2 3
2 2/ 3 ? 1/ 3 MP2 ? x1 x 2 3

规模报酬递增
边际产量递减

边际产量递减

?作业:P394

6

技术替代率
? 技术替代率指,在保持产出量不变的情况

下,增加一单位要素1的投入量并相应地调 整的要素2的投入量。
TRS=?X2/ ?X1
? 给定要素投入的技术替代率就是等产量线

上过该投入束的切线的斜率。

x2

x'2

y????
x' 1

x1

T RS的计算
? 生产函数

y ? f ( x1 , x 2 ).
(dx1, dx2) 引起总产

? 投入束的微小变化

出的变化为

?y ?y dy ? dx1 ? dx 2 . ? x1 ? x2
因为总产量变化dy = 0

?y ?y 0? dx1 ? dx 2 . ? x1 ? x2

?y ?y 0? dx1 ? dx 2 ? x1 ? x2
?y ?y dx 2 ? ? dx1 ? x2 ? x1

dx2 ?y / ?x1 MP 1 ?? ? dx1 ?y / ?x2 MP 2

a b y ? f ( x1 , x 2 ) ? x1 x 2

?y a?1 b ? ax1 x 2 ? x1

?y a b? 1 ? bx1 x 2 . ? x2

a?1 b dx 2 ? y / ? x1 ax1 x 2 ax 2 ?? ?? ?? . a dx1 ? y / ? x2 bx1 bx1 xb? 1 2

例题
? 生产函数的概念

? 几种特殊形式的生产函数
? 技术的特征

? 边际产量的概念极其计算
? 边际报酬递减规律

? 技术替代率概念极其计算
? 规模报酬的概念极其计算

1.道格拉斯生产函数
1)

潘大婶种桃树,产量是投入劳动L和土 地T的函数

y ? f ( L, T ) ? L T
2)

1 2

1 2

画出产量为4的等产量曲线。

解题关键是找出产量为4的要素投入
3)

求该生产函数的规模报酬。

4)

假设潘大婶土地的数量不能改变,设T=1 ,画出判大婶的短期生产函数,曲线上任 意一点的斜率表示的是什么?生产函数曲 线的走势如何?(平坦还是更陡峭取决于 MP的一阶导数)? 假设T=1,原来劳动力的使用量为1,现增 加1单位劳动,产量会增加多少?投入束 为(1,1)时的边际产量是多少?

5)

2. 固定比例生产函数
? 一个工厂有生产函数

f

? x, y ? ? min{2 x, x ? y}
f

? 第二个工厂有生产函数

? x, y ? ? x ? min{x, y}

1. 画出这二个生产函数的等产量线。 2. 求它们的规模报酬。

3.完全替代的生产函数
?

18.6

4.短期生产函数
?

某企业生产函数为

Q ? 21L ? 9 L ? L
2

3

1. 2.

求企业的边际产量函数。 如果企业现在使用了3个劳动力,合理 否?合理的劳动量是多少?

技术的特征
? 单调性:指如果在至少一种投入要素上增

加投入,那么产出量应该至少等于原先的

产量。
y

单调的

y

非单调的

x

x

? 这一性质也被称为“自由处置”,即生

产者可以无代价地处置任何投入品,拥

有超额的投入品至少不会损害生产者。

? 凸性:

x2
x'2

如果投入束 x’投入束 x”都能生产y 单位产出,那么 它们的加权平均数tx’ + (1t)x”至少也能生产 y 单位产 出( 0 < t < 1)。

?
x" 2
x' 1

tx' ? (1 ? t )x" , tx'2 ? (1 ? t )x" 1 1 2

?

y???? y????
x" 1

x1

x2

产出量越高

y???? y??? y????
x1

x2

y

x1

x2

y
x1

x2 y x1

x2 y

x1

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