全国名校高中数学最全知识点总结_图文

全国名校高中数学最全知识点总结 *15. 等差数列﹑等比数列 公式法 an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d ; an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 1 n n ?1 已知 S n (即 a1 ? a2 ? 作差法 ? an ? f (n) )求 a n : an ? n n 1 1 如数列 {an } 满足 a1 ? 2 a2 ? 2 2 ,(n ? 1) 。 ?S S ? S ,(n ? 2) 1 14, n ? 1 ) ? a ? 2n ? 5 ,求 (答: a ? ? 2 ,n ? 2 2 an n n ?1 数 列 通 项 、 求 和 的 常 见 方 法 作商法 简 单 的 递 推 数 列 解 法 累加法 累乘法 已知 a1a2 an ? f (n) 求 an 如 a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 有 a1a2a3 61 an ? n 2 , 则 a3 ? a5 ? ___ (答: ) 16 an?1 ? an ? f (n) 型 an?1 ? an f (n) 型 (构造等差、 等比数列) , 递推式为 an ?1 ? qan ? q n ?1 (q 为常数) 时, 可以将数列两边同时除以 q n ?1 , 得 构造法 an ?1 an ? ? 1 .如已知 a1 ? 1, an ? 3an ?1 ? 2n ,求 an (答: an ? 5 ? 3n ?1 ? 2n ?1 ) q n ?1 q n 若 an ?1 ? can ? d (c ? 0,1, d ? 0) ? an ?1 ? ? ? c(an ? ? ) 。比较系数得出 ? ,转化为等比数列。 已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1 = 3an +2,求 an 。设 an ?1 ? t ? 3(an ? t ) , an ? 2 ? 3n ?1 ? 1 待定 系数法 若 an ?1 ? pan ? qn ? d , an ?1 ? a(n ? 1) ? b ? q(an ? an ? b) ; 已知数列{an}中,a1=1,且 an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求数列{an}的通项公式。 设 an ?1 ? p(n ? 1) ? q ? 3(an ? pn ? q ) , a n ? 2 ? 3n ?1 ?n 。 若 an ?1 ? pan ? q n ?1 ( p ? q ) ,设 an ?1 ? ? q n ?1 ? p(an ? ? q n ) ; 已知数列 {an }满足a1 ? 1, an ? 3n ? 2an ?1 (n ? 2). 求 an 设 an ? ? 3n ? 2(an ?1 ? ? 3n ?1 ) 取倒数法 已知 a1 ? 1, an ? 1 an ?1 ,求 an (答: an ? ) 3n ? 2 3an ?1 ? 1 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项和 Sn=2 -1,则 n ① 公式法 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 ? 2 =_____(答: ? an 1 ? 1 ? 1 ; ② 1 ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n( n ? k ) k n n ? k 1 k 2 4n ? 1 ) ; 3 ③( ?) 1 k ?1 2 ? 1 分组法 常 用 求 和 方 法 裂项法 分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将 1 1 1 1 1 1 1 “和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法 ? ? (? 2 ?) ? ? ; k (k ? 1)k k ? 1 k Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? (?1) n (2n ? 1) 求和. 如求: (答: k k ? 1 ( k ? 1) k 1 1 1 1 n n (?1)n ? n )如 an ? 2n ? 2 , an ? (?1) n ? 2 。 ④ ? [ ? ]; n( n ? 1)( n ? 2) 2 n( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2) 如果数列通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项 ⑤ n ?1? 1 ; 分裂后相关联,常选用裂项相消法求和.裂项形式: (n ? 1)! n! (n ? 1)! 1 如在数列 {an } 中, an ? ,且 Sn ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1) ; n ? n ?1 n 设数列 ?an ? 为等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则数 列 ?anbn ? 的前 n 项和 S n 求解,均可用错位相减法 先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求 1 1 和法求和。求和: 1 ? ? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 1? 2 ? 3 ? ?n ? 2 k ?1 ( 1 ? 1 k ?1 ); ⑦ an ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2) ; ⑧ Cn ? Cn ? Cn?1 ? Cn ? Cn?1 ? Cn ; m m m m m?1 m?1 错位相 减法 ⑧ ⑨ 1 a? b 1 ? 1 ( a? a?b b) ; ? 1 ). 通项转 换法 ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C ? 1 ( 1 1 全国名校高中数学最全知识点总结 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列 的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加 法, 发挥其共性的作用求和 (这也是等差数列前 n 和 公式的推导方法). 已知 f ( x) ? 倒序 相加法 x2 , 1 ? x2 7 1 1 1 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =_ 2 2 3 4 注:表中 n, k 均为正整

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