广义逆矩阵的应用

7 广义逆矩阵的应用
一、矩阵方程的通解
定理 1 设 A ? C
则矩阵方程
m? n

, ?C B

p?q

, ?C A

m?q



AXB ? D
有解的充要条件是存在 和B ,使得 A
? ?

A AXBB ? D
返回

?

?

成立. 在有解的条件下,矩阵 方程AXB ? D 的通解为
? ? ? ? n? p

X ? A DB ? Y ? A AYBB

?Y ?C

.

证 : 必要性:
设X为AXB ? D的解, AA A ? A, BB B ? B
? ?

D ? AXB? AA AXBB B ? AA DB B
充分性:
返回

?

?

?

?

AA DB B ? D
X为AXB ? D的解

?

?

X ? A DB

?

?

AXB ? A( A DB ? Y ? A AYBB ) B

?

?

?

?

? AA DB B ? AYB ? AA AYBB B
? D ? AYB ? AYB ? D
X ? A DB ? Y ? A AYBB 是AXB ? D的解
设G是AXB ? D的任一解
? ? ? ?

?

?

?

?

AGB ? D
返回

G ? A DB ? G ? A DB
? ? ?

?

?

?

?

? A DB ? G ? A AGBB

?

推论 1 设 A ? C

m? n

, ?C D
?

m? p

, AX ? D 则

有解的充要条件是存在 ,使得 A

AA D ? D
成立. 此时 AX ? D的通解为

?

X ? A D ? Y ? AA Y

?

?

? Y ?C

n? p

.

返回

推论 2 设 B ? C

m? n

, ?C D

p? n

, XB ? D 则

有解的充要条件是存在 ,使得 B

?

DB B ? D
成立. 此时 XB ? D的通解为
? ? p? m

?

X ? DB ? Y ? YBB
推论 3 设 A ? C
m? n

?Y ?C

.

,b ? C

m? n

, 则方程组Ax ? b

有解的充要条件是存在 ,使得 A
AA b ? b
返回

?

?

成立. 此时 Ax ? b的通解为

x ? A b ? ( E n ? A A)u

?

?

? u?C .
m? l

n

定理 2 设 A1 ? C
D2 ? C
n? p

m? n

, 1 ?C D

, 2 ?C A

l? p



? A1 X ? D1 ? ? XA2 ? D2

(?)

有公共解的充要条件是两个方程分别有解且 ,

A1 D2 ? D1 A2
返回

在有公共解的条件下通解为 ,

X ? X 0 ? ( En ? A1 A1 )Y ( E l ? A2 A2 ) ? Y ? C
其中,X 0是(?)的一个解.

?

?

n? l

证 : 必要性
设X是(?)的一个解

? A1 X ? D1 ? ? XA2 ? D2

D1 A2 ? ( A1 X ) A2 ? A1 ( XA2 ) ? A1 D2

充分性
返回

X ? A1 D1 ? D2 A2 ? A1 A1 D2 A2
? ?

?

?

?

? ? ?

A1 X ? A1 A1 D1 ? A1 D2 A2 ? A1 A1 A1 D2 A2 ? D1 ? A1 D2 A2 ? A1 D2 A2
? ?

? D1
XA2 ? A1 D1 A2 ? D2 A2 A2 ? A1 A1 D2 A2 A2 ? A1 D1 A2 ? D2 ? A1 D1 A2 A2 A2 ? A1 D1 A2 ? D2 ? A1 D1 A2
? ? ? ? ? ? ? ? ?

? D2
返回

任取X 0是(?)的一个公共解 A1 ( X ? X 0 ) ? 0, ( X ? X 0 ) A2 ? 0 R( X ? X 0 ) ? N ( A1 ), R( A2 ) ? N ( X ? X 0 ) ?Y , Z

返回


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