2013高考数学一轮复习 11.5 离散型随机变量的期望与方差、正态分布精品教学案(教师版)新人教版

2013 年高考数学一轮复习精品教学案 11.5 离散型随机变量的期望与方 差、正态分布(新课标人教版,教师版)
【考纲解读】 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方 差,并能解决一些实际问题. 2.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,一般以实际应用 题的形式考查,又经常与其它知识结合,在考查概率等基础知识的同时,考查转化思想和分类讨论 等思想,以及分析问题、解决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率,或在选择题、填空题中继 续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.离散型随机变量均值、方差: (1)定义:若离散型随机变量 X 的分布列为

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

则称 E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn 为随机变量 X 的均值或数学期望. 称 D( X ) ?

? X [ x ? E ( X )]
i ?1 i i

n

2

pi 为随机变量 X 的方差.

(2)性质: (1)E(C)=C(C 为常数) (2)E(aX+b)=aE(X)+b(a、b 为常数) (3)E(X1+X2)=EX1+EX2 (4)如果 X1,X2 相互独立,则 E(X1·X2)=E(X1)E(X2) (5)D(X)=E(X )-(E(X)) (6)D(aX+b)=a ·D(X) 2.正态曲线及性质
2 2 2

1

(1)正态曲线的定义 ? x-μ ? 函数 φ μ ,σ (x)= e- 2 2σ 2π σ 1
2


μ ,σ

x∈(-∞,+∞),其中实数 μ 和 σ (σ >0)为参数,我们称 φ
度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的解析式 ①指数的自变量是 x 定义域是 R,即 x∈(-∞,+∞). ②解析式中含有两个常数:π 和 e,这是两个无理数.

(x)的图象(如图)为正态分布密

③解析式中含有两 个参数:μ 和 σ ,其中 μ 可取任意实数,σ >0 这是正态分布的两个特征数. ④解析式前面有一个系数为 ? 1 2π σ ,后面是一个以 e 为底数的指数函数的形式,幂指数为-

x-μ ?

2

2

.

【 例题精析】 考点一 离散型随机变量的期望与方差 例 1.(2011 年高考浙江卷理科 15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公 司投递了个

2 ,得到乙、丙两公司面试的概率为 p ,且三个公 3 1 司是否让其面试是相互独立的。记 ? 为该毕业生得到面试得公司个数。若 P (? ? 0) ? ,则随机 12
人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 变量 ? 的数学期望 E? ?

2

【名师点睛】 本小 题主要考查离散型随机变量的期望的求解, 熟练基本概念是解决本类问题的关键. 【变式训练】 1.(2011 年高考辽宁卷理科 19)某农场计划种植某种新作物, 为此对这种作物的两个品种 (分别称 为 品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随 机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学期 望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的 每公顷产量(单位:kg/hm )如下表:
2

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪 一品种? 附:样本数据 x1,x2,…,xa 的样本方差 s ?
2 2 2 2 1? x1 ? x ? x1 ? x ? ??? ? xn ? x ? ,其中 x 为 ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

样本平均数. 【解析】 (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且

P ? X ? 0? ?

1 1 ? , 4 C8 70

P ? X ? 1? ?

1 3 C4C4 8 ? , 4 C8 35

P ? X ? 2? ?

2 2 C4 C4 18 ? , C84 35

P ? X ? 3? ?

3 1 1 1 C4 C4 8 ? , P ? X ? 0? ? 4 ? , 4 C8 70 C8 35

即 X 的分布列为

3

X P

0

1

2

3

4

1 70

8 35

18 35

8 35

1 70

由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不 大,故应该选择种植品种乙 . 考点二 正态分布 2 例 2.随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ),已知 P(ξ <0)=0.3,则 P(ξ <2)=________.

2.(福建省福州市 2012 年 3 月高中毕业班质量检查)设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) , 则函数
2

f ( x) ? x2 ? 2x ? ? 不存在零点的慨率为(
A.

)

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

【答案】C
2 【解析】函数 f ( x) ? x ? 2x ? ? 不存在零点,则 ? ? 4 ? 4? ? 0, ? ? 1,

4

因为 ? ~ N (1, ? 2 ) ,所以 ? ? 1, P ? ? ? 1? ? 【易错专区】 问题:综合应用

1 . 2

例.(2012 年高考广东卷理科 17)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示, 其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记 为 ,求 的数学期望.

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

12 22

9 22

1 22

5

所以 的数学期望为

E? ? 0 ?

6 9 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 11 22 22 2 .

【名师点睛】本小题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计 知识解决实际问题的能力. 【课时作业】 1. (2010 年全国高考宁夏卷 6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发 芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( (A)100 【答案】B 【解析】根据题意显然有 (B)200 (C)300 (D)400 )

X X ? (0.1,1000) ,所以 E ( ) ? 0.1?1000 ? 100 ,故 EX ? 200 . 2 2

2.(2011 年高考重庆卷理科 17)某市公租房房屋位于 A.B.C 三 个地区,设每位申请人只申请其中一 个片区的房屋 ,且申请其中任一个片区的房屋是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)若有 2 人申请 A 片区房屋的概率; (Ⅱ)申请的房屋在片区的个数的 ? 分布列与期望。

6

3. (2009 年高考北京卷理科第 17 题)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到 红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯 停留的总时间 ? 的分布列及期望.

∴即 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

6

8

16 81
∴ ? 的期望是 E? ? 0 ?

32 81

8 27

8 81

1 81

16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . 81 81 27 81 81 3

4.(2012年高考湖北卷理科20)根据以往的经验,某工程施工期间的将数量X(单位:mm)对工期的 影响如下表: 降水量X 工期延误天数Y X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10

历年气象资料 表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求: (I)工期延误天数Y的均值与方差; (Ⅱ)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率。 【解析】 (Ⅰ)由已 知条件和概率的加法公式有:
P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 ,

P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 .
P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 .

7

【考题回放】 1. (2010 年高考数学湖北卷理科 14)某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

已知 ? 的期望 E? ? 8.9 ,则 y 的值为 【答案】0.4 【解析】由表 格 可知: x ? 0.1 ? 0.3 ? y ? 9, 联合解得 y ? 0.4 .



7 x ? 8 ? 0.1 ? 9 ? 0.3 ? 10 ? y ? 8.9

2.(2012 年高考浙江卷理科 19) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量

X 为取出 3 球所得分数之和.
(Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.

8

3.(2012 年高考山东卷理科 19)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 3 ,命

4

中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 2 ,每命中一次得 2 分,没有命

3

中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX .

9

X

0

1

2

3

4

5

P

1 36
36 12

1 12
9

1 9 3 9

1 3
3 12

1 9

1 3

所以 EX ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 1 ? 41 . 4. (山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习理科)将编号为 1,2,3,4 的四张同样材质的卡片, 随机放入编码分别为 1,2,3,4 的四个小盒中,每盒仅放一张卡片,若第 k 号卡片恰好落入第 k 号 小盒中,则称其为一个匹对,用 ? 表示匹对的个数. (1)求第 2 号卡片恰好落入第 2 号小盒内的概率; (2)求匹对数 ? 的分布列和数学期望 E? .

∴ ? 的分布列为:

10

?
p

0

1

2

4

3 8

1 3

1 4

1 24

……………………………10 分 ∴ E? ? 1 …………………12 分

11


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