100测评网湖北省黄冈中学2009届高三上学期期末考试数学试题(理科)

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湖北黄冈中学 2009 届高三年级期末考试
数学试题(理科)

一、选择题:本次题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.函数 y ? sin 2x 的一个增区间是

()

A.

????

? 2

,

? 2

? ??

B.

????

? 4

,

? 4

? ??

C.

???0,

? 2

? ??

D.

????

? 2

,

0???

2.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线,则 m 等于 n

()

A. ? 2 ;

B. 2

C. ? 1 2

3.已知 AB ? (3, ?1) , n ? (2,1) ,且 n ? AC ? 7 ,则 n ? BC ?

A. ?2

B. 0

C. ?2 或 2

D. 1 2
D. 2

()

4.设 a ? 1? tan10 , b ? 3 ,则有 1? tan10

()

A. a ? b ? a2 ? b2 2

B. b ? a ? a2 ? b2 2

C. a ? a2 ? b2 ? b 2

D. b ? a2 ? b2 ? a 2

5.已知 a1 ? a2 ? 0 ,则使得 (ai x ?1)2 ? 1 (i ? 1, 2) 都成立的 x 取值范围是

()

A. (0 , 1 ) a1

B. (0 , 2 ) a1

C. (0 , 1 ) a2

D. (0 , 2 ) a2

6.由下列条件解△ABC,其中有两解的是
A. b ? 20 , A ? 45 ,C ? 80 C. a ? 14 ,c ? 16 , A ? 45

B. a ? 30 ,c ? 28 , B ? 60 D. a ? 12 ,c ? 15 , A ? 120

()

7.若向量 a ,b ,c 两两的夹角相等,且满足 a ?1, b ? 2 , c ? 4 ,则 a + b + c ? ( )

A. 7

B. 7 或 5

C. 7

D. 7 或 7

8.已知两不共线向量 a ? (cos? ,sin?) ,b ? (cos ? ,sin ? ) ,则下列说法不.正.确.的是( )

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A. (a ? b) ? (a ? b)

B. a 与 b 的夹角等于? ? ?

C. a ? b ? a ? b ? 2

D. a 与 b 在 a ? b 方向上的投影相等

9.已知

g

(

x)

是定义在

R

上的二次函数,f

(

x)

?

?? ?

x

2

,

x

?1
,若

f ?g(x)? 的值域是?0,???,

??x , x ? 1

则 g(x) 的值域是

()

A. ???,?1? ?1,???

B.???,?1? ?0,???

C. ?0, ???

D. ?1, ???

10.关于 x 的不等式 cos x ? lg(9 ? x2) ? cos x ? lg(9 ? x2) 的解集为

()

A. (?3, ?2 2) (2 2,3)

B. (?2 2, ? ? ) (? , 2 2) 22

C. (?2 2, 2 2)

D. (?3,3)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.不等式 x2 ? 4x ? x 的解集为____________.

12.函数 f (x) ? sin(? ? 1 x) ? cos 1 x 图象的相邻的两个对称中心的距离是__________.

63

3

13.等差数列?an? 中, a3 ? a5 ? 2a10 ? 4 ,则此数列的前13 项的和等于___________.

C

14.如图,半圆的直径 AB ? 6, O 为圆心, C 为半圆 P
上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,

则 (PA ? PB) ? PC 的最小值是__________.

A

O

B

第 14 题图

15.若对任意的 x ??0 ,1? ,不等式 1 ? 1? kx 总成立,则实数 k 的取值范围是______.
1? x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)

已知 A,B ? R ,且 y ? sin2 2A ? cos2 2B ? 3 sin 2 A ? cos 2B ? 2 .

(1)若 A,B,C 为 ?ABC 的三内角,当 y 取得最小值时,求 C ;

(2)当 A ? B ? ? 时,将函数 y ? sin2 2 A ? cos2 2B ? 3 sin 2 A ? cos 2B ? 2 的图象按 2

d y

r

2

5

1

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17.(本小题满分 12 分)
? ? 数列 an 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1且 an?1 ? 2Sn ?1(n ? N*) . (1)求数列?an? 的通项公式; ( 2 ) 等 差 数 列 ?bn? 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 为 Tn , T3 ? 15 , 又
a1 ? b 1, a 2? b ,2a ?3b 3 成等比数列,求Tn .
18.(本小题满分 12 分)
(1)设 x 是正实数,求证: (x ?1)(x2 ?1)(x3 ?1) ? 8x3 ; (2)若 x ?R ,不等式 (x ?1)(x2 ?1)(x3 ?1) ? 8x3 是否仍然成立?如果成立,请给出证
明;如果不成立,请举出一个使它不成立的 x 的值.

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19.(本小题满分 12 分)

定义

x1 ,

x2 ,?,

xn 的“倒平均数”为

x1

?

n x2 ??xn

(n ?

N* ) ,已知数列{an}前n

项的“倒平均数”为 1 . 2n ? 4

(1)记 cn

?

an n?

1

(n

?

N

*

)

,试比较

cn



cn?1

的大小;

(2)是否存在实数 ? ,使得当 x ? ? 时,f (x) ? ?x2 ? 4x ? an ? 0对任意n ? N* 恒
n ?1
成立?若存在,求出最大的实数 ? ;若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 13 分)
甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数 f (x), g(x) ,当甲公司 投入 x 万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于 f (x) 万元,则乙公司对这一新产品 的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入 x 万元作宣传时,若甲公司 投入的宣传费小于 g(x) 万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有
失败的风险.
(1)若 f (0) ? 10 , g(0) ? 20 ,试解释它们的实际意义;
(2)设 f (x) ? x ?10 , g(x) ? x ? 20 ,甲、乙公司为了避免恶性竞争,经过协商, 4
同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司应投 入多少宣传费?

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21.(本小题满分 14 分)
已知定义在 ?0,1? 的函数 f (x) 同时满足以下三条:①对任意的 x??0,1? ,总有
f (x) ? 0 ;② f 1)( 1? ;③当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f (x1 ? x2) ? f (x1) ? f (x2)
成立.
(1)函数 g(x) ? 2x ?1在区间?0,1? 上是否同时适合①②③?并说明理由;
(2)假设存在 a??0,1? ,使得 f (a) ??0,1? 且 f ? f (a)? ? a ,求证: f (a) ? a .

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参考答案

1—5 BCDAB

6—10 CDBCB

11. (??,0) 12. 3?

13.13

14. ? 9 2

15.

? ???

??

,

2

? 2

2? ? ?

16.(1) y ? (sin 2A ? 3 )2 ? (cos 2B ? 1)2 ?1

d

2

2

y

?

由题,

??sin ?

2

A

?

???cos 2B ?

3 2, 1 2

A?? 6

或? 3

,B?? 6

或 5? 6



又 A?B??



r 2 5

1

故 C ? ? 或 2? . 23

(2)当 A ? B ? ? 时, 2A ? 2B ? ? ,cos 2B ? ?cos 2A , 2

? y ? cos 2A ? 3 sin 2A ? 3 ? 2cos(2A ? ? ) ? 3 3

按向量 p 平移后得到函数 y ? 2cos 2A的图象,故 p ? (? ? k? , ? 3) (k ? Z) . 6
17.(1)当 n ? 2 时, an?1 ? an ? (2Sn ?1) ? (2Sn?1 ?1) ,即有 an?1 ? 3an 又 a2 ? 2S1 ?1 ? 2 ?1 ? 3a1 ,

? ? ? an 是公比为 3 的等比数列,且 a1 ? 1 ,故 an ? 3n?1 .

(2)由(1), a1 ? 1, a2 ? 3 , a3 ? 9 ,又T3 ? b1 ? b2 ? b3 ? 15 , ?b1 ? b3 ? 2b2 ? 10 , 依题 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,有 64 ? (1? b1)(9 ? b3) ? (1? b1)(19 ? b1) ,

解得 b1 ? 3或15 ,因?bn? 的各项均为正数,

?b1 ? 3 , d ? 2 ,故Tn ? 3n ? n(n ?1) ? n2 ? 2n .

18.(1)证明: x 是正数,由重要不等式知, x ?1? 2 x ,1? x2 ? 2x , x3 ?1? 2 x3

故 (x ?1)(x2 ?1)(x3 ?1) ? 2 x ? 2x ? 2 x3 ? 8x3 (当 x ?1时等号成立).

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(2)若 x ?R ,不等式 (x ?1)(x2 ?1)(x3 ?1) ? 8x3 仍然成立. 证明:由(1)知,当 x ? 0 时,不等式成立;当 x ? 0 时, 8x3 ? 0 ,



(x

? 1)( x 2

? 1)( x3

?1)

?

(x

?1)2 (x2

? 1)( x 2

?

x

?1)

?

(x

? 1) 2 ( x 2

?1)

???( x

?

1)2 2

?

3 4

? ??

?

0

此时不等式仍然成立.

19.(1)记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,则依题有

n Sn

?

1 2n ? 4

?Sn

?

n(2n ?

4)

?

2n2

?

4n,故 an

?

? ? ?

S1 Sn

?6 ? Sn?1?

4n

?

2

(n ? 1) (n ? 2)

故数列的通项为 an

?

4n

?

2 .故 cn

?

4n ? 2 n ?1

?

4

?

n

2 ?

1

,易知,

cn

?

cn?1 .

(2)假设存在实数 ? ,使得当 x ? ? 时,

f (x) ? ?x2 ? 4x ? an ? 0 对任意 n ? N? 恒成立,
n ?1

则 ? x2 ? 4x ? an 对任意n ? N* 都成立, n ?1

?

x2

?

4x

?

(

an n?

) 1

m

i

n?

a1 1?1

?

3,

得x2 ? 4x ? 3 ? 0,有x ? 1或x ? 3.故 存 在 最 大 的 实?数? 1符 合 题 意.

20.(1) f (0) ? 10 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败风
险,至少要投入 10 万元宣传费;
g( 0 )? 2表0 示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新产品的开发有失败的风险,
至少要投入 20 万元宣传费. (2)设甲公司投入宣传费 x 万元,乙公司投入宣传费 y 万元,若双方均无失败的风险,

依题意,当且仅当

? ? ?

y

?

f (x) ?

1 x ?10 4

成立.

??x ? g( y) ? y ? 20

故 y ? 1 ( y ? 20) ?10 ,则 4y ? y ? 60 ?0, ?( y?4)(4 15y)? 0 ? 4

,得 y ? 4

故 y ?16 , x ? y ? 20 ? 24

即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,甲公司应投入 24 万元宣传 费,乙公司应投入 16 万元的宣传费用.
21.(1)显然 g(x) ? 2x ?1,在[0,1]满足① g(x) ? 0 ;满足② g(1) ? 1;

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对于③,若 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,
? ? 则 g(x1 ? x2) ? g(x1) ? g(x2) ? 2x1?x2 ?1? ??2x1 ?1? 2x2 ?1?? ? 2x1?x2 ? 2x1 ? 2x2 ?1
? (2x2 ?1)(2x1 ?1) ? 0 .故 g(x) 适合①②③.
(2)由③知,任给 m、n??0,1?时,当 m ? n 时, f (m) ? f (n) ? f (m ? n)
由于 0 ? n ? m ?1,?m ? n??0,1? , f (m) ? f (n) ? f (m ? n) ? 0 所以 f (m) ? f (n)
若 a ? f (a) ,则 f (a) ? f [ f (a)] ? a 前后矛盾 若 a ? f (a) ,则 f (a) ? f [ f (a)] ? a 前后矛盾 故 a ? f (a) 得证.
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