100测评网湖北省黄冈中学2009届高三上学期期末考试数学试题(理科)

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

湖北黄冈中学 2009 届高三年级期末考试

数学试题(理科)
一、选择题:本次题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 y ? sin 2 x 的一个增区间是 A. ? ? ( C. ? 0, )

? ? ?? , ? 2 2? ?

B. ? ?

? ? ?? , ? 4 4? ?

? ?? ? 2? ?

D. ? ?

? ? ? ,0 ? 2 ? ?
( )

2.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线,则 A. ? 2 ; C. ?

m 等于 n 1 2

B. 2

1 2

D.

3.已知 AB ? (3, ?1) , n ? (2,1) ,且 n ? AC ? 7 ,则 n ? BC ? A. ? 2 4.设 a ? B. 0 C. ? 2 或 2 D. 2





1 ? tan10 , b ? 3 ,则有 1 ? tan10 a 2 ? b2 2
B. b ? a ? D. b ?





A. a ? b ? C. a ?

a 2 ? b2 2

a 2 ? b2 ?b 2

a 2 ? b2 ?a 2
( )

5.已知 a1 ? a2 ? 0 ,则使得 (ai x ?1)2 ? 1 (i ? 1,2) 都成立的 x 取值范围是 A. (0 ,

1 ) a1

B. (0 ,

2 ) a1

C. (0 ,

1 ) a2

D. (0 ,

2 ) a2

6.由下列条件解△ABC,其中有两解的是 A. b ? 20 , A ? 45 , C ? 80 C. a ? 14 , c ? 16 , A ? 45 B. a ? 30 , c ? 28 , B ? 60 D. a ? 12 , c ? 15 , A ? 120





7.若向量 a , b , c 两两的夹角相等,且满足 a ? 1, b ? 2 , c ? 4 ,则 a + b+ c ? ( A. 7 B. 7 或 5 C. 7 D. 7 或 7



b ? (cos ? ,sin ? ) , 8. 已知两不共线向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , 则下列说法不正确 的是 ( ...



欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
A. (a ? b) ? (a ? b) C. a ? b ? a ? b ? 2 B. a 与 b 的夹角等于 ? ? ? D. a 与 b 在 a ? b 方向上的投影相等

2 ? ?x , x ? 1 9. 已知 g ( x) 是定义在 R 上的二次函数,f ( x) ? ? , 若 f ? g ( x)? 的值域是 ? 0, ?? ? , ? ?x , x ? 1

则 g ( x) 的值域是 A. ? ??, ?1? C. ? 0, ?? ?

( B. ? ??, ?1? D. ?1, ?? ? (



?1, ???

?0, ???

2 2 10.关于 x 的不等式 cos x ? lg(9 ? x ) ? cos x ? lg(9 ? x ) 的解集为



A. (?3, ?2 2) C. (?2 2,2 2)

(2 2,3)

B. (?2 2, ? D. (?3,3)

?

) ( , 2 2) 2 2

?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.不等式 x2 ? 4x ? x 的解集为____________. 12.函数 f ( x) ? sin(

?

1 1 ? x) ? cos x 图象的相邻的两个对称中心的距离是__________. 6 3 3

13.等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? 2a10 ? 4 ,则此数列的前 13 项的和等于___________.

C
14.如图,半圆的直径 AB ? 6 , O 为圆心, C 为半圆

B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点, 上不同于 A、
则 ( PA ? PB) ? PC 的最小值是__________.

P A

O
第 14 题图

B

1 ? 1 ? kx 总成立,则实数 k 的取值范围是______. 15.若对任意的 x ? ?0 ,1? ,不等式 1? x
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 A,B ? R ,且 y ? sin 2 2 A ? cos2 2B ? 3sin 2 A ? cos2B ? 2 . (1)若 A,B ,C 为 ?ABC 的三内角,当 y 取得最小值时,求 C ; (2)当 A ? B ?

?
2

时,将函数 y ? sin 2 A ? cos 2B ? 3sin 2 A ? cos2B ? 2 的图象按
2 2

d y r 2 5 1

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
向量 p 平移后得到函数 y ? 2cos 2 A 的图象,求出所有满足条件的向量 p .

17.(本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1且 an?1 ? 2Sn ? 1(n ? N* ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2 ) 等 差 数 列 ?bn? 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 为 Tn , T3 ? 15 , 又

a1 ? b 1, a 2 ? b ,2a ?3b

3

成等比数列,求 Tn .

18.(本小题满分 12 分) (1)设 x 是正实数,求证: ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 1) ? 8x ;
2 3 3

(2)若 x ? R ,不等式 ( x ? 1)( x2 ? 1)( x3 ? 1) ? 8x3 是否仍然成立?如果成立,请给出证 明;如果不成立,请举出一个使它不成立的 x 的值.

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
19.(本小题满分 12 分) 定义 x1 , x2 ,?, xn 的“倒平均数”为

n (n ? N * ) ,已知数列 {an }前n x1 ? x2 ? ? xn

项的“倒平均数”为

1 . 2n ? 4

(1)记 c n ?

an (n ? N * ) ,试比较 cn 与 cn?1 的大小; n ?1
2

(2) 是否存在实数 ? , 使得当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? 4 x ?

an ? 0对任意n ? N * 恒 n ?1

成立?若存在,求出最大的实数 ? ;若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数 f ( x), g ( x) ,当甲公司 投入 x 万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于 f ( x ) 万元,则乙公司对这一新产品 的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入 x 万元作宣传时,若甲公司 投入的宣传费小于 g ( x) 万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有 失败的风险. (1)若 f (0) ? 10 , g (0) ? 20 ,试解释它们的实际意义; (2)设 f ( x) ?

x ? 10 , g ( x) ? x ? 20 ,甲、乙公司为了避免恶性竞争,经过协商, 4

同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用, 问甲、 乙两公司应投 入多少宣传费?

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
21.(本小题满分 14 分) 已知定义在 ?0,1? 的函数 f ( x ) 同时满足以下三条:①对任意的 x ??0,1? ,总有 ② f1 ③当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时, 总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x) ? 0 ; ) ( 1? ; 成立. (1)函数 g ( x) ? 2x ? 1在区间 ?0,1? 上是否同时适合①②③?并说明理由; (2)假设存在 a ??0,1? ,使得 f (a) ??0,1? 且 f ? f (a)? ? a ,求证: f (a) ? a .

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

参考答案

1—5 BCDAB 11. (??,0) 12. 3?

6—10 CDBCB 14. ?

13.13

9 2

15. ? ?? ,

? ? ?

2? 2? ? 2 ?
d y r 2 5 1

16.(1) y ? (sin 2 A ?

3 2 1 ) ? (cos 2 B ? ) 2 ? 1 2 2

? 3 sin 2 A ? ? ? 2 , A ? ? 或 ? , B ? ? 或 5? , 又 A ? B ? ? , 由题, ? 6 3 6 6 ?cos 2 B ? 1 ? ? 2
故C ?

?
2



2? . 3

(2)当 A ? B ?

?
2

时, 2 A ? 2B ? ? ,cos 2B ? ? cos 2 A ,

? y ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 3 ? 2cos(2 A ? ) ? 3 3
按向量 p 平移后得到函数 y ? 2cos 2 A 的图象,故 p ? (

?

?
6

? k? , ? 3) (k ? Z) .

17.(1)当 n ? 2 时, an?1 ? an ? (2Sn ? 1) ? (2Sn?1 ? 1) ,即有 an?1 ? 3an 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3a1 ,

??an ? 是公比为 3 的等比数列,且 a1 ? 1 ,故 an ? 3n?1 .
(2)由(1), a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 ,又 T3 ? b1 ? b2 ? b3 ? 15 , ?b1 ? b3 ? 2b2 ? 10 , 依题 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,有 64 ? (1 ? b1 )(9 ? b3 ) ? (1 ? b1 )(19 ? b1 ) , 解得 b1 ? 3 或 15 ,因 ?bn? 的各项均为正数,

?b1 ? 3, d ? 2 ,故 Tn ? 3n ? n(n ?1) ? n2 ? 2n .
18.(1)证明: x 是正数,由重要不等式知, x ? 1 ? 2 x ,1 ? x2 ? 2 x , x3 ? 1 ? 2 x3 故 ( x ? 1)( x 2 ? 1)( x3 ? 1) ? 2 x ? 2 x ? 2 x3 ? 8x3 (当 x ? 1 时等号成立).

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
(2)若 x ? R ,不等式 ( x ? 1)( x2 ? 1)( x3 ? 1) ? 8x3 仍然成立.
3 证明:由(1)知,当 x ? 0 时,不等式成立;当 x ? 0 时, 8 x ? 0 ,

而 ( x ? 1)( x 2 ? 1)( x3 ? 1) ? ( x ? 1)2 ( x 2 ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)2 ( x 2 ? 1) ( x ? ) 2 ? ?0 ? 2 4?

? ?

1

3? ?

此时不等式仍然成立. 19.(1)记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则依题有

n 1 ? Sn 2n ? 4

? Sn ? n(2n ? 4) ? 2n2 ? 4n ,故 an ? ?

(n ? 1) ? S1 ? 6 ? S n ? S n?1 ? 4n ? 2 (n ? 2)

故数列的通项为 an

? 4n ? 2 .故 cn ?

4n ? 2 2 ,易知, cn ? cn?1 . ? 4? n ?1 n ?1

(2)假设存在实数 ? ,使得当 x ? ? 时,

f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ?
则 ? x ? 4x ?
2

an ? ? 0 对任意 n ? N 恒成立, n ?1

an 对任意n ? N * 都成立, n ?1

an a ) m i n? 1 ? 3, n ?1 1?1 2 得x ? 4 x ? 3 ? 0, 有x ? 1或x ? 3.故存在最大的实数 ? ? 1符合题意. ? x 2 ? 4x ? (
20.(1) f (0) ? 10 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败风 险,至少要投入 10 万元宣传费;

g( 0 ) ? 2表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新产品的开发有失败的风险, 0
至少要投入 20 万元宣传费. (2)设甲公司投入宣传费 x 万元,乙公司投入宣传费 y 万元,若双方均无失败的风险,

1 ? ? y ? f ( x) ? x ? 10 4 依题意,当且仅当 ? 成立. ? x ? g ( y ) ? y ? 20 ?
故y?

1 ( y ? 20) ? 10 , 则 4y ? y ? 6 0 ?0, ? ( 4

y ? 4 ) ( 4

1 5 y ) ?0 ?

, 得

y ?4

故 y ? 16 , x ?

y ? 20 ? 24

即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,甲公司应投入 24 万元宣传 费,乙公司应投入 16 万元的宣传费用. 21.(1)显然 g ( x) ? 2 ? 1,在[0,1]满足① g ( x) ? 0 ;满足② g (1) ? 1 ;
x

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
对于③,若 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 , 则 g ( x1 ? x2 ) ? ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ? 2 1
x ? x2 x1 x2 x1 ? x2 ?1 ? ? ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1? ??2

? (2x2 ?1)(2x1 ?1) ? 0 .故 g ( x) 适合①②③.
(2)由③知,任给 m、 n ??0,1? 时,当 m ? n 时, f (m) ? f (n) ? f (m ? n) 由于 0 ? n ? m ? 1,?m ? n ? ? 0,1? , f (m) ? f (n) ? f (m ? n) ? 0 所以 f (m) ? f (n) 若 a ? f (a) ,则 f (a) ? f [ f (a)] ? a 前后矛盾 若 a ? f (a) ,则 f (a) ? f [ f (a)] ? a 前后矛盾 故 a ? f (a) 得证.

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小 四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在 线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育, 在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线 练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料, 课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析, 课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库, 测评卷,小学学习资料, 中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷, 期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


相关文档

湖北省黄冈中学2009届高三上学期期末考试数学试题(文科)
湖北省黄冈中学2009届高三年级期末考试数学试题(理科)
100测评网高三数学复习湖北省黄冈中学2009届高三上学期期末考试(理综)
湖北黄冈中学2009届高三年级期末考试数学试题(文科)
湖北省黄冈市黄冈中学2008届高三上学期期末考试数学试题(理科)
湖北省黄冈中学2009届高三上学期期末考试数学试题(理科)
湖北省黄冈中学2009届高三年级期末考试数学试题(文科)
湖北省黄冈中学2009届高三上学期期末考试数学试题
湖北黄冈中学2009届高三年级期末考试语文试题
湖北黄冈中学2009届高三年级上学期期末考试语文
电脑版