11-12学年高二数学2.2.2 双曲线的简单几何性质 课件(人教A版选修1-1)_图文

2.2.2 双曲线的简单几何性质 1.了解双曲线的几何图形,知道双曲线的有关性质. 2.能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单几何问题. 教 材 导 读 双曲线的几何性质: 2 2 2 2 y x x y 标准 2- 2= 2- 2=1(a>0, a b a b 方程 b>0) 1(a>0,b>0) 图形 焦点 F1?-c,0?,F2?c,0? F1?0,-c?,F2?0,c? |F1F2|=2c 焦距 a、b、c 关系 c2=a2+b2 |y|≥a,x∈R |x|≥a,y∈R 范围 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 性 ?-a,0?,?a,0? ?0,-a?,?0,a? 顶点 质 实轴长 2a,虚轴长 2b 轴 c e ? (e ? 1) 离心率 a a b y?? x y?? x 渐近线 b a 思考探究 双曲线的离心率与开口大小有关系吗? 怎样反映这种关系? b c 提示:e= = 1+ 2,当 e 越大时,双曲线开口越大, a a 当 e 越小接近于 1 时,双曲线开口越小. 2 1.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0)、(4,0),则双 曲线方程为( ) x 2 y2 x 2 y2 A. - =1 B. - =1 4 12 12 4 x 2 y2 x 2 y2 C. - =1 D. - =1 10 6 6 10 b2 解析:由题意知 c=4,焦点在 x 轴上,所以( ) +1=e2 a b =4,所以 = 3, a 又由 a2+b2=4a2=c2=16,得 a2=4,b2=12. x 2 y2 所以双曲线方程为 - =1. 4 12 答案:A 6 2.下列曲线中离心率为 的是( 2 x 2 y2 x 2 y2 A. - =1 B. - =1 2 4 4 2 x 2 y2 x 2 y2 C. - =1 D. - =1 4 6 4 10 ) 6 3 2 3 2 c 解析:由 e= ,得 e = ,即 e = 2= , 2 2 a 2 2 2 a +b 3 则 2 = . a 2 2 b 1 所以 2= ,故选 B. a 2 2 答案:B x 2 y2 3.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12 A.2 3 B.2 C. 3 D.1 ) 解析:由已知双曲线的右焦点为(4,0), 其中一条渐近线 y= 3x,则焦点到渐近线的距离 4 3 =2 3,故选 A. 2 答案:A x 2 y2 4.双曲线 - =-1 的实轴长为________ 2 3 , 4 3 ,± 7) , 4 虚轴长为________ ,焦点坐标为(0 ________ 3 21 y = ± x 离心率为________ ,渐近线方程为________ 2 . 3 y2 x 2 解析:因为双曲线的标准方程为 - =1,所以实轴 3 4 7 21 长为 2 3,虚轴长为 4,焦点坐标为(0,± 7),e= = , 3 3 3 渐近线方程为 y=± x. 2 x y 5.已知双曲线的渐近线方程为: ± =0, 2 3 且过点(2,-6),求双曲线的方程. 解:解法一:由点(2,-6)与渐近线的位置关系可设双 y2 x 2 曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b ?a 3 ?b=2, 则? 4 ?36 2 - 2=1. ?a b 2 ? ?a =27, 解得? 2 ? ?b =12. y2 x 2 故所求双曲线方程为 - =1. 27 12 x 2 y2 解法二:设双曲线方程为 - =λ(λ≠0), 4 9 把(2,-6)代入可得 λ=-3, 2 2 y x ∴所求双曲线方程为 - =1. 27 12 1.双曲线的渐近线及其求法 渐近线是双曲线的特有几何性质,求双曲线的渐近线方 程方法较多,一是可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为中 点的矩形的对角线方程求得,也可以运用下列方法求得: 2 2 x y 将 2- 2=1(a>0,b>0)中的“1”换为 0 即得双曲线的渐 a b x 2 y2 x y b 近线方程 2- 2=0,即 ± =0,即 y=± x. a b a b a x y 注意:与双曲线 2- 2=1 共渐近线的双曲线方程可以 a b x 2 y2 设为 2- 2=λ(a>0,b>0,λ≠0),即“1”换为“λ”. a b 2 2 2.双曲线的离心率及其开阔程度的关系 c b2 (1)离心率公式:e= = 1+? ? a a (2)离心率范围:e>1 (3)离心率是刻画双曲线的开阔程度的比率, 双曲线的离 心率越大,双曲线的“开口”越开阔. x 2 y2 x 2 y2 y2 注意:双曲线 2- 2=1 与双曲线 2- 2=λ 和双曲线 2 a b a b a x2 - 2=λ(a>0,b>0,λ>0)的离心率相同. b 双曲线的简单几何性质 例 1 求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、 焦点坐标、 实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图. x y x y [解] 将 9y -4x =-36 变形为 - =1, 即 2- 2=1, 9 4 3 2 ∴a=3,b=2,c= 13. 因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标 F1(- 13,0),F2( 13,0), c 13 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4,离心率 e= = , a 3 2 b 渐近线方程 y=± x=± x. a 3 作草图: 2 2 2 2 2 2 [点拨] 画几何图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点,然后根据双曲 线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形. 练 1 求双曲线 4x -y =4 的顶点坐标,焦点坐标,实 半轴长,虚半轴长,离心率和渐近线方程,并作出草图. 2 2 2 2 2 y x y [解] 将 4x2

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