2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理试题理

2018 版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、 解三角形 第 6 讲 正 弦定理和余弦定理试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,△ABC 的面积为 =( A.30° ) B.45° C.60° D.75° 3 ,则 C 2

1 3 解析 法一 ∵S△ABC= ·AB·AC·sin A= , 2 2 1 3 即 × 3×1×sin A= ,∴sin A=1, 2 2 由 A∈(0°,180°),∴A=90°,∴C=60°.故选 C. sin B sin C 1 sin C 法二 由正弦定理,得 = ,即 = , AC AB 2 3 sin C= 3 ,又 C∈(0°,180°),∴C=60°或 C=120°. 2

当 C=120°时,A=30°,

S△ABC= S△ABC=

3 3 ≠ (舍去).而当 C=60°时,A=90°, 4 2 3 ,符合条件,故 C=60°.故选 C. 2

答案 C 2π 2 3 2.在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 A= ,a=2,b= ,则 B 等 3 3 于( A. C. π 3 π 5π 或 6 6 ) B. D. 5π 6 π 6

2π 2 3 解析 ∵A= ,a=2,b= , 3 3 ∴由正弦定理 = 可得, sin A sin B

a

b

1

2 3 3 b 3 1 sin B= sin A= × = . a 2 2 2 2π π ∵A= ,∴B= . 3 6 答案 D

a+c 2B 3.(2017·成都诊断)在△ABC 中, cos = (a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边), 则△ABC 2 2c
的形状为( A.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

a+c 2B 解析 因为 cos = , 2 2c a+ c a 2B 所以 2cos -1= -1,所以 cos B= , 2 c c
所以

a2+c2-b2 a 2 2 2 = ,所以 c =a +b . 2ac c

所以△ABC 为直角三角形. 答案 B 4.△ABC 的内角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c,则“a>b”是“cos 2A<cos 2B”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 2 2 2

)

解析 因为在△ABC 中,a>b?sin A>sin B?sin A>sin B?2sin A>2sin B?1-2sin A <1-2sin B?cos 2A<cos 2B.所以“a>b”是“cos 2A<cos 2B”的充分必要条件. 答案 C 5.(2016·山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=c,a =2b (1 -sin A),则 A=( A. 3π 4 ) π B. 3 π C. 4 D. π 6
2 2 2

解析 在△ABC 中,由 b=c,得 cos A= 以 cos A=sin A,

b2+c2-a2 2b2-a2 2 2 = ,又 a =2b (1-sin A),所 2 2bc 2b

π 即 tan A=1,又知 A∈(0,π ),所以 A= ,故选 C. 4 答案 C 二、填空题

2

1 6.(2015·重庆卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2,cos C=- , 4 3sin A=2sin B,则 c=________. 解析 由 3sin A=2sin B 及正弦定理,得 3a=2b,又 a=2,所以 b=3,故 c =a +b -
2 2 2

? 1? 2abcos C=4+9-2×2×3×?- ?=16,所以 c=4. ? 4?
答案 4 7.(2017·江西九校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC=________. 1 3 解析 因为角 A,B,C 依次成等差数列,所以 B=60°.由正弦定理,得 = , sin A sin 60° 1 解得 sin A= ,因为 0°<A<180°,所以 A=30°或 150°(舍去),此时 C=90°,所以 2

S△ABC= ab=
答案 3 2

1 2

3 . 2

2π b 8.(2016·北京卷)在△ABC 中,A= ,a= 3c,则 =________. 3 c 解析 在△ABC 中,a =b +c -2bc·cos A, 2π 将 A= ,a= 3c 代入, 3
2 2 2

? 1? 2 2 2 可得( 3c) =b +c -2bc·?- ?, ? 2?
整理得 2c =b +bc. ∵c≠0,∴等式两边同时除以 c , 2 ?b? b 得 2=? ? + , c
2 2 2

? ?
b c

c

可解得 =1. 答案 1 三、解答题 9.(2015·天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积 1 为 3 15,b-c=2,cos A=- . 4 (1)求 a 和 sin C 的值;

3

π? ? (2)求 cos?2A+ ?的值. 6? ? 解 1 15 (1)在△ABC 中,由 cos A=- ,可得 sin A= . 4 4

1 由 S△ABC= bcsin A=3 15, 2 得 bc=24,又由 b-c=2,解得 b=6,c=4. 由 a =b +c -2bccos A,可得 a=8. 由
2 2 2

a c 15 = ,得 sin C= . sin A sin C 8

π? π π ? (2)cos?2A+ ?=cos 2A·cos -sin 2A·sin 6? 6 6 ? = 3 1 15-7 3 2 (2cos A-1)- ×2sin A·cos A= . 2 2 16

10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. sin B (1)求 ; sin C (2)若∠BAC=60°,求∠B. 解 (1)由正弦定理得

= , = . sin B sin∠BAD sin C sin∠CAD sin B DC 1 因为 AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以 = = . sin C BD 2 (2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以 sin C=sin(∠BAC+∠B)= 3 1 cos B+ sin B. 2 2 3 , 3

AD

BD

AD

DC

由(1)知 2sin B=sin C,所以 tan B= 即∠B=30°.

能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2017·郑州调研)在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是 ( )
2 2 2

? π? A.?0, ? 6? ?
2

?π ? B.? ,π ? ?6 ?
2 2 2 2 2

? π? C.?0, ? 3? ?

?π ? D.? ,π ? ?3 ?

解析 由已知及正弦定理有 a ≤b +c -bc, 由余弦定理可知 a =b +c -2bccos A,
4

1 2 2 2 2 于是 b +c -2bccos A≤b +c -bc,∴cos A≥ , 2 在△ABC 中,A∈(0,π ). π 由余弦函数的性质,得 0<A≤ . 3 答案 C 12.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 S△ABC=2 3,a+b=6,

acos B+bcos A =2cos C,则 c=( c
A.2 7 解析 ∵ B.4

) C.2 3 D.3 3

acos B+bcos A =2cos C, c

由正弦定理, 得 sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos C, ∴sin(A+B)=sin C=2sin Ccos C, 1 π 由于 0<C<π ,sin C≠0,∴cos C= ,∴C= , 2 3 1 3 ∵S△ABC=2 3= absin C= ab,∴ab=8, 2 4 又 a+b=6,解得? 故选 C. 答案 C 13.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取 值范围是________. 解析 如图所示,延长 BA 与 CD 相交于点 E,过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F,则 BF<AB<BE. 在等腰三角形 CBF 中,∠FCB=30°,CF=BC=2, ∴BF= 2 +2 -2×2×2cos 30°= 6- 2. 在等腰三角形 ECB 中,∠CEB=30°,∠ECB=75°,
2 2

?a=2, ? ? ?b=4

或?

?a=4, ?

? ?b=2,

c2=a2+b2-2abcos C=4+16-8=12,∴c=2 3,

BE=CE,BC=2,
∴BE=

BE

sin 75°



2 , sin 30°

2 6+ 2 × = 6+ 2. 1 4 2

∴ 6- 2<AB< 6+ 2.

5

答案 ( 6- 2, 6+ 2) π? 2? 14.设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f? ?=0,a=1,求△ABC 面积 ?2? 的最大值. π? ? 1+cos?2x+ ? 2? sin 2x ? (1)由题意知 f(x)= - 2 2 sin 2x 1-sin 2x 1 - =sin 2x- . 2 2 2

?A?

解 =

π π 由- +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2 π π 可得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z; 4 4 由 π 3π +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2

π 3π 可得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 4 4 π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k∈Z); 4 ? 4 ? 3π ?π ? 单调递减区间是? +kπ , +kπ ?(k∈Z). 4 ?4 ? 1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= , 2 2 ?2? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A=
2 2 2

3 . 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc, 即 bc≤2+ 3,且当 b=c 时等号成立. 1 2+ 3 2+ 3 因此 bcsin A≤ .所以△ABC 面积的最大值为 . 2 4 4
2 2

6


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