2010届一轮复习高三数学第五编平面向量、解三角形平面向量基本定理及坐标表示

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2010 届步步高一轮复习高三数学第五编平面向量、解 三角形平面向量基本定理及坐标表示

基础自测
1.已知平面向量 a=(1,1) b=(1,-1),则向量 ,b ( A.(-2,-1) 答案 D ) B. (-2,1) C. (-1,0) D. (-1,2)
1 3 a- b 等于 2 2

2.(2008·安徽理,3)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB =(2,4), AC =(1,3),则 BD ( 安徽理 安徽 ,3) 等于 ( A. (-2,-4) 答案 B 3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,1),则 c 等于 b c ( A. ?
? 1 3 a+ b 2 2

) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)

) B. ?
1 3 a- b 2 2

C. ?

3 1 a- b 2 2

D.

3 1 a+ b 2 2

答案

B
1 x ),b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)//(2a+b),则 x 的值为 b a b a b 2

4.(2009·烟台模拟)已知向量 a=(8, 2009·烟台模拟 2009 ( A.4 答案 A )

B.8

C.0

D.2

3? ? ?1 1 ? 5.(2008·广东五校联考)设 a= ? sin x, ? ,b= ? , cos x ? ,且 a∥b,则锐角 x 为 (2008·广东五校联考) b b 4? ? ?3 2 ?

. D.
5 π 12

A. 答案

π
6

B. B

π
4

C.

π
3

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例 1 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2, e e e e e e 求证:A、C、D 三点共线; (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. e e e e e e (1)证明 证明 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2, e e e e e e

AC = AB + BC =4e1+e2 e e =1 1 (-8e1-2e2)=- CD , e e 2 2

∴ AC 与 CD 共线, 又∵ AC 与 CD 有公共点 C, ∴A、C、D 三点共线. (2)解 解 AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, e e e e e e

∵A、C、D 三点共线, ∴ AC 与 CD 共线,从而存在实数 λ 使得 AC = λ CD , 即 3e1-2e2= λ (2e1-ke2),由平面向量的基本定理, e e e e

?3 = 2λ 2 4 得? ,解之得 λ = ,k= . 3 3 ?? 2 = ?λk
例2 已知点 A(1,0)、B(0,2)、C(-1,-2),求以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D

的坐标. 解 设 D 的坐标为(x,y). (1)若是? ABCD,则由 AB = DC 得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y),

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??1 ? x = ?1 ∴? , ∴x=0,y=-4. ?? 2 ? y = 2
∴D 点的坐标为(0,-4) (如图中的 D1). (2)若是? ADBC,则由 AD = CB 得 (x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2) , 即(x-1,y)=(1,4).解得 x=2,y=4. ∴D 点坐标为(2,4) (如图中的 D2). (3)若是? ABDC,则由 AB = CD 得 (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0) (如图中的 D3). 综上所述,以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2, 0). 例 3 (12 分)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题: b c (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; a c b a (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d. d c a b d c 解 (1)∵(a+kc)∥(2b-a) a c b a , 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), c b a ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, ∴k=16 . 13

2分 4分 6分

(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), d c 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, d c a b d c
? ?4(x ? 4 ) ? 2( y ? 1) = 0 , ∴? ?(x ? 4)2 + ( y ? 1)2 = 1 ?

8分

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? ? 5 5 ?x = 4 + ?x = 4 ? ? ? 5 5 解得 ? 或? . 2 5 2 5 ? ? ?y = 1+ 5 ?y = 1? 5 ? ?
? 20 + 5 5 + 2 5 ? ? ? ? 或 d= ? 20 ? 5 ,5 ? 2 5 ? . ∴d= ? d , ? ? ? ? 5 5 5 5 ? ? ? ?

10 分

12 分

1.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM =c, AN =d,试用 c,d c d d 表示 AB , AD . a b 解 方法一 设 AB =a, AD =b,
? 1 ? 则 a= AN + NB =d+ ? ? b ? d ? 2 ?

b= MD
? 1 ? ?? a? ? 2 ? ? 1 ? ? ? 1 ?? 将②代入①得 a=d+ ? ? ? ?c + ? ? a ? ? ? 2 ? ? ? 2 ??
? a=

AM

+ =c+ c

4 2 d - c,代入② 3 3

2 ? 4 2 ? 1? ?4 得 b=c+ ? ? ? ? d ? c ? = c- d 3 ? 3 3 ? 2? ?3 即 AB = 4 2 4 2 d- c, AD = c- d 3 3 3 3

方法二 设 AB =a, AD =b. 因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, 所以 BN = 1 1 b, DM = a, 2 2
? ?a = ? ? ?b = ? ?

1 ? ?c = b + 2 a ? 因而 ? ? ?d = a + 1 b ? 2 ? 即 AB =

2 ( 2 d ? c) 3 , 2 ( 2c ? d ) 3

2 2 (2d-c), AD = (2c-d). 3 3

、 、 2.已知 A(-2,4) B(3,-1) C(-3,-4)且 CM =3 CA , CN =2 CB ,求点 M、N 及 MN 的坐标.

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、B(3,-1) 、C(-3,-4) , 解 ∵A(-2,4) ∴ CA =(1,8) CB =(6,3) , , ∴ CM =3 CA =(3,24) CN =2 CB =(12,6). , 设 M(x,y) ,则有 CM =(x+3,y+4) ,

?x + 3 = 3 ?x = 0 ,∴ ? , ∴? y + 4 = 24 ? ? y = 20
∴M 点的坐标为(0,20). 同理可求得 N 点坐标为(9,2) ,因此 MN =(9,-18) , 故所求点 M、N 的坐标分别为(0,20)(9,2) 、 , MN 的坐标为(9,-18). 3.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)(3,-1)(1,2) 、 、 ,并且 AE = 求证: EF ∥ AB . 证明 设 E、F 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 ,则依题意,得 AC =(2,2) BC =(-2,3) , ,
AB =(4,-1).
BC

1 1 AC , BF = BC . 3 3

∴ AE =

1 2 2 1 2 AC = ( , ), BF = BC = (? ,1) 3 3 3 3 3

2 2 ∴ AE = ( x1 , y1 ) ? ( ?1,0) = ( , ), 3 3 2 BF = ( x 2 , y 2 ) ? (3,?1) = (? ,1). 3 2 2 1 2 ∴ ( x 1 , y 1 ) = ( , ) + (?1,0) = (? , ), 3 3 3 3 2 7 ( x 2 , y 2 ) = ( ? ,1) + (3,?1) = ( ,0), 3 3
EF

AB
EF

AB .

一、选择题 选择题 1.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则 b a b b ( )
m 等于 n

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A.1 2

B.2

C.

1 2

D.-2

答案 A 2.设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知 AB =2a+pb, BC =a+b, CD =a-2b.若 A、B、D 三点共线,则 b a b a b a b p 的值为 A.1 答案 D 3.已知向量 OM =(3,-2), ON =(-5,-1),则 ( A.(8,1) 答案 D 4.已知向量 a=(2,4),b=(1,1),若向量 b⊥(a+ λ b),则实数 λ 的值是 b a ( ? A.3 答案? 答案 B ?? 5.(2008·辽宁文,5)已知四边形 ABCD 的顶点 A(0,2) ( 辽宁文, 、B(-1,-2) 、C(3,1) ,且 BC =2 AD ,则 辽宁文 顶点 D 的坐标为( A.(2,
7 ) 2 1 MN 等于 2

(

) B.2 C.-2 D.-1

) B.(-8,1) C.(4,1 ) 2

D. (-4,

1 ) 2

)? ? B.-3 C.
1 ? 3

D.-

1 ? 3

) B.(2, ?
1 ) 2

C.(3,2)?

D.(1,3)?

答案 A 6.设 0≤ θ <2 π ,已知两个向量 OP =(cos θ ,sin θ ) OP2 =(2+sin θ ,2-cos θ ) , ,则向量 P1 P2 长度 1 的最大值是( A. 2 答案 C 二、填空题 则 7. 2008· ( 全国Ⅱ 13) 若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线, λ = b 全国Ⅱ文, ) 13 设向量 a=(1,2),b=(2,3), b . ) B. 3 C. 3 2 ? D. 2 3 ?

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答案 2 8.(2008·菏泽模拟)已知向量 m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n (a>0,b>0),则 ab 的最小值是 ( 菏泽模拟) 菏泽模拟 n m n 答案 16 三、解答题 9.已知 A(-2,4) ,B(3,-1) ,C(-3,-4). 设 AB =a, BC =b, CA =c,且 CM =3c, CN =-2b, c a b c b (1)求:3a+b-3c; a b c (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. b c 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). b c (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) a b c =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n) b c , .

??6m + n = 5 ?m = ?1 ,解得 ? . ∴? ?? 3m + 8n = ?5 ?n = ?1
10.若 a,b 为非零向量且 a∥b, λ1 , λ2 ∈R,且 λ1 λ2 ≠0. b b R 0 求证: 求证: λ1 a+ λ2 b 与 λ1 a- λ2 b 为共线向量. 证明 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). b ∵a∥b,b≠0,a≠0,∴存在实数 m,使得 a=mb, a b b 0 a 0 b 即 a=(x1,y1)=(mx2,my2), ∴ λ1 a+ λ2 b=((m λ1 + λ2 )x2,(m λ1 + λ2 )y2) =(m λ1 + λ2 )(x2,y2) 同理 λ1 a- λ2 b=(m λ1 - λ2 )(x2,y2), ∴( λ1 a+ λ2 b)∥( λ1 a- λ2 b)∥b, b 而 b≠0,∴( λ1 a+ λ2 b)∥( λ1 a- λ2 b). 0 ,点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. 11.在? ABCD 中,A(1,1) AB =(6,0) ,

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(1)若 AD =(3,5) ,求点 C 的坐标; (2)当| AB |=| AD |时,求点 P 的轨迹. 解 (1)设点 C 坐标为(x0,y0), 又 AC = AD + AB =(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5) , ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)由三角形相似,不难得出 PC =2 MP 设 P(x,y) ,则 BP = AP - AB =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1), AC = AM + MC = =
1 AB +3 MP 2

1 1 AB +3( AP - AB ) 2 2

=3 AP - AB =(3(x-1),3(y-1))-(6,0) =(3x-9,3y-3) , ∵| AB |=| AD |,∴? ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, ∴ AC ⊥ BP ,即(x-7,y-1)(3x-9,3y-3)=0. · (x-7) (3x-9)+(y-1) (3y-3)=0, ∴x +y -10x-2y+22=0(y≠1). ∴(x-5) +(y-1) =4(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆去掉与直线 y=1 的两个交点. 12.A(2,3),B(5,4),C(7,10), AP = AB + λ AC .当 λ 为何值时, (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上; (2)点 P 到两坐标轴的距离相等?
2 2 2 2

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, , 解 (1)由已知 AB =(3,1) AC =(5,7) 则 AB + λ AC =(3,1)+ λ (5,7)=(3+5 λ ,1+7 λ ). 设 P(x,y) ,则 AP =(x-2,y-3) ,

? x ? 2 = 3 + 5λ ? x = 5 + 5λ ,∴ ? . ∴? y ? 3 = 1 + 7λ ? ? y = 4 + 7λ
∵点 P 在第一、三象限的角平分线上, ∴x=y,即 5+5 λ =4+7 λ ,∴ λ =
1 . 2

(2)若点 P 到两坐标轴的距离相等, 则|x|=|y|,即|5+5 λ |=|4+7 λ |, ∴λ =
1 3 或 λ =- . 2 4

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