吉林省松原市油田高中2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

油田高中 2015-2016 学年下学期高二期中考试 数学试题(文)
(满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题(本 大题共 12 小题,共 60 分) 1、复数 z1 ? i, z2 ? 1 ? i ,那么复数 z1 ? z2 在复平面上的对应点所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

2.由 1 ? 12 ,1 ? 3 ? 22 ,1 ? 3 ? 5 ? 32 ,1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 42 , ???, 得到 1 ? 3 ? 5 ???? ? (2n ? 1) ? n2 ,用的是( A. 归纳推理 B.演绎推理 C. 类比推理 D. 特殊推理

3.具有线性相关关系的变量 x,y ,满足一组数据如下表所示.若 m 的值是( ) A. 4

? ? 3x ? 与 的回归直线方程为 y
0 1 1 2 m 3 8

3 ,则 2

9 B. 2

C. 5

D. 6

-1

4. 在判断“高中生选修文理科是否与性别有关”的一项调查中,通过 2 ? 2 列联表中的数据计算得到

K 2 ? 4.844 。已知 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05, P( K 2 ? 5.024) ? 0.025, 则下列结论正确的是(
A.认为“选修文理科和性别有关”出错的可能性不超过 5%; B. 认为“选修文理科和性别有关”出错的可能性为 2.5%; C.选修文理科和性别有 95%的关系; D. 有 97.5%的把握认为“选修文理科和性别有关” 。 5. 命 题 p : 若 x ? 2 , 则



x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ; 命 题 q : " ? x ? R,2 x ?

x ? ? "的 否 定 是

"?x ? R, x2 ? x ? ?" ;下列命题中是真命题的是( )
A. p ? q B. ? p ? q C. p ? ?q D. p ? q
2

6.若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是: a ? R, 结论是: a ( ) B.大前提 C.小前提 D. 推理过程

? 0 .那么这个演绎推理出错在

A.没出错

7.圆 C 的极坐标方程为 ?

? 2 2 cos(? ? ) ,则圆心 C 的极坐标为( ) 4 7? ) 4
C.

?

A.

( 2, ) 4

?

B.

( 2,

(2, ) 4

?

D.

(2,

3? ) 4

8.已知正三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则此正三棱锥的体积为( )
1

A.

2 12

B.

3 12

C.

1 8
2

D.

3 8
2

y' ? 1, 9.在平面直角坐标中, 经伸缩变换后曲线 x ? y ? 16 变换为椭圆 x ' ? 此伸缩变换公式是 ( ) 16
2
2

1 ? ? x ? x' 4 A. ? ? ? y=y'
直线 ? 10. A. (4,3)

B.

? x ? 4x ' ? ? y=y'

C.

? x ? 2x ' ? ? y=y'

D.

? x ? 4x ' ? ? y=8y'

?x ? 3 ? t , ( t 为参数)上与点 P(3, 4) 的距离等于 2 的点的坐标是( ) ?y ? 4 ? t
B. (?4,5) 或 (0,1) C. (2,5) D. (4,3) 或 (2,5)

11.在用反证法证明命题“已知: 求证:

1 x ? R, a ? x 2 ? , b ? 2 ? x, c ? x 2 ? x ? 1, 2

a, b, c 至少有一个不小于 1”时,假设正确的是( )
B.假设 a, b, c 都小于 1. D.假设 a, b, c 不都小于 1 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B, 且点 B 在 x

A.假设 a, b, c 都不小于 1. C.假设 a, b, c 不都大于等于 1. 12. 过椭圆 轴上的射影恰好为右焦点 F,若 A. B.

,则椭圆离心率的取值范围是( ) C. D.

二.填空 题(本大题共 4 小题,共 20 分)
2 2 13.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设 a ? b ? c? 且 a ? b ? c ? 0 ,求证: b ? ?a ? ac " 索

的因应是

. .

14.执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 P 是

2

15.已知 m,n 是两条直线,α ,β 是两个平面,给出下列命题: ①若 n⊥α ,n⊥β ,则 α ∥β ; ②若 m∥α ,m∥n,则 n∥α ; ③若 a⊥α ,b∥a, b? β ,则 α ⊥β . 其中正确命题的个数是 16.下列类比推理结论正确的是 . .

①若 “ a, b ? R, 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出 “ a, b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”; ②若“ a, b, c, d ? R, 则复数 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ” 类比推出 “ a, b, c, d ? Q, 则

a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c, b ? d ”;
③若“ a, b ? R, 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出 “若 a, b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”; ④若“ x ? R, 则

x ? 1 ? ?1 ? x ? 1”类比推出 “若 z ? C, 则 z ? 1 ? ?1 ? z ? 1 ”.

三.解答题(本大题共 6 小题,70 分 ) 17.(本题满分 10 分)设复数 z=a+i(i 是虚数单位,a∈R,a>0) ,且|z|= (Ⅰ)求复数 z; (Ⅱ)在复平面内,若复数 z ?

10 .

m?i (m∈R)对应的点在第四象限,求实数 m 取值范围. 1? i

18. (本题满分 12 分)在一次数学 测验后,班级学委对选做题的选题情况进行统计,,如下表: 平面几何选讲 男同学(人数) 女同学(人数) 合计 12 0 12 极坐标与参数 方程 4 8 12 不等式选讲 6 12 18 合计 22 20 42

(1)在统计结果中,如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类,把不等式选讲称为代数类, 我们可以得到如下 2×2 列联表: 几何类 男同学(人数) 女同学(人数) 合计 16 8 24 代数类 6 12 18 合计 22 20 42

据此统计是否可以认为选做"几何类"或"代数类 "与性别有关?若有关,则有多大把握? (2)在原统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出 7 名同学进行座谈.已知这名学委和两名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中,求在这名学委被
3

选中的条件下,两名数学课代表也被选中的概率; 下面临界值表仅供参考:

P (K2≥k0) k0
2 (参考公式: K ?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
1 AB ? 1 . ?PAD 为等腰 2

19.(本题满分 12 分)梯形 ABCD 中 AB ? CD, BC ? AB, ,且 BC ? CD ? 直角三角形, ?APD ? 90 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD (1)求证: BD ? PA . (2)若 E 为 PA 的中点,求证:
?

DE ? 平面 PBC

(3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积

20.

(本题满分 12 分)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下对应数据 :

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

5 5 ? 5 2 ? ? 2 参考数据 ? ? xi ? 145, ? yi ? 13500, ? xi yi ? 1380 ? , b ? i ?1 i ?1 ? i?1 ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

(1)求线性回归方程; (2)试预测广告 费支出为 10 百万元时,销售额多大? 21.(本小题满分 12 分) 已知

f ( x) = x ln x ? ax , g ( x) ? ? x2 ? 2 ,
4

(1)对一切 x∈(0, +∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)证明:对一切 x∈(0, +∞),都有 ln x ? 1 ?

1 2 ? e x ex

成立。

22. 在 平 面直 角 坐标 系 xOy 中 , 曲 线 C 1 : ?

? x ? a ? a cos? ( ? 为 参 数 , 实数 a ? 0 ) ,曲线 C2 : ? y ? a sin ?

? x ? b cos? ( ? 为参数,实数 b ? 0 ) .在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? y ? b ? b sin ? ?
l : ? ? ? ( ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 与 C 1 交于 O、A 两点,与 C 2 交于 O、B 两点 . 当 ? ? 0 时, | OA |? 1 ;当

??

?
2

时, | OB |? 2 .

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求 2 | OA | 2 ? | OA | ? | OB | 的最大值.

5

2015---2016 高(二)期中考试数学(文)参考答案 一.BAAAB,BBCBD,BC 二. (a ? b)(a ? c) ? ? ; 2 ; ①③ ; ①② 16.解析:设两条直线的交点为 ( x0 , y0 ) ,且 sin ? , cos? 为方程 方

t 2 ? ( c? ? os s ? i )t n ?s ? i cn ? o ?x s0 ( sin ? ? cos? ? sin ? ? cos ? ? 0


x0 ? x0 ? ? 1 的两个根,即为 t ? sin ? t ? cos ? c? ? os s ? i)? n0 的 两 个 根 , 因 此

三.解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.解析: (Ⅰ)∵z=a+i,|z|= ∴|z|==
2

10 ,

a2 ?1 ? 10

即 a =9,解得 a=±3, 又∵a>0, ∴a=3, ∴z=3+i. (Ⅱ)∵z=3+i,则 z =3-i, ∴z?

m?i m ? i m ? 5 m ?1 ? i =3?i + = 1? i 2 2 1? i m?i (m∈R)对应的点在第四象限, 1? i

又∵复数 z ?

? m?5 ?0 ? ? 2 ∴ ? ? m ? 1 <0 ? ? 2
18.解析:(1)?

解得 ∴﹣5<m<1

K 2 ? 4.582 ? 3.847 ,

? 有 95%以上的把握可以认为选做"几何类"或"代数类"与性别有关.
(2)P=

1 136 .

19.解析: (1)易证 BD ? 平面 PAD ,从而可证 BD ? PA (2)略 (3)

2 4

x?
20.解析: (1)

25 250 ? 5, y ? ? 50 5 5 ,
5

?x
i ?1

5

2

i

? 145, ? yi 2 ? 13500, ? xi yi ? 1380
i ?1 i ?1

5


6

b?
于是可得:

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5, a ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 145 ? 5 ? 5 ? 5

因此,所求线性回归方程为: y ? 6.5x ? 17.5 . (2)根据上面求得的线性回归方程,当广告费支出为 10 百万元时, y ? 6.5 ?10 ? 17.5 ? 82.5 百万元) , 即这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元.

2 21. 解析: (1)已知即 a ? ln x ? x ? x 在 x ? (0, ??) 恒成立,
令 F ( x) ? ln x ? x ?

2 ( x ? 2)( x ? 1) ,则 F '( x) ? x x2

在 (0, 上 F ? ( x) ? 0 1) 上 F ? ( x) ? 0 ,在 (1 , ? ?) 上 因此, F ( x) 在 x ? 1 处取极小值,也是最小值,即 Fmin ( x) ? F (1) ? 3 , 所以 a ? 3 . (2)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? 等价于证明: x ln x ? x ?

1 2 ? 成立 e x ex

x 2 ? ( x ? (0,?? )) , ex e

由(1)知 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x , f ?( x) ? ln x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 , e 当 x ? (0,

1

1 1 ) 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; x ? ( 2 , ?? ) 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数, 2 e e

f ( x) 在 x ?

1 1 处取得极小值,也是最小值. f min ( x ) ? ? 2 . 2 e e

设 G ( x) ?

x 2 1? x ? ( x ? (0,?? )) ,则 G ? ( x ) ? x ,易知 x e e e

1 Gmax ( x) ? G (1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e
但?

1 2 1 1 ?? , 从而可知对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? x ? 成立. 2 e e e ex
2 2 2

22.【解析】 . (Ⅰ)将 C 1 化为普通方程为 ( x ? a) ? y ? a ,其极坐标方程为 ? ? 2a cos ? , 由题可得当 ? ? 0 时, | OA |? ? ? 1 ,∴ a ?
2 2

1 2
2

将 C2 化为普通方程为 x ? ( y ? b) ? b ,其极坐标方程为 ? ? 2b sin ? , 由题可得当 ? ?

?
2

时, | OB |? ? ? 2 ,∴ b ? 1 .
7

(Ⅱ)由 a , b 的值可得 C 1 , C2 的方程分别为 ? ? cos ? , ? ? 2sin ? , ∴ 2 | OA |2 ? | OA | ? | OB |? 2cos2 ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2? ? 1

? 2? ?

?

? 5? ? ? [ , ],? 2 sin(2? ? ) ? 1 最大值为 2 ? 1 , 4 4 4 4
当 2? ?

? 2 sin(2? ? ) ? 1 , 4

?

?

4

?

?

2

,? ?

?

8

时取到.

8


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