配套K12高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数余弦函数的性质周期性课后

小学+初中+高中+努力=大学

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(周期性)

课后集训

基础达标

1.y=cos(-2x)的最小正周期为( )

A.π

B. ?

C.2π

D. ?

2

4

解析:T= 2? ? 2? =π . |? | 2

答案:A

2.函数 y=sin(- x + ? )的最小正周期是( ) 24

A.π

B.2π

C.4π

D. ?

2

解析:T= 2? ? 2? =4π . |?| |?1 | 2

答案:C

3.下列函数中,最小正周期为 π 的函数是( )

A.y=sin x 2

B.y=cos x 2

解析:A 中 T= 2? =4π ; 1

C.y=cosx

D.y=cos x 2

2 B 中 T= 2? =4π ;
1

2
C 中 T=2π .

答案:D

4.下列两个函数:①y=|cosx|;②y=sin|x|周期性是( )

A.只有①是周期函数

B.只有②是周期函数

C.①和②都是周期函数

D.①和②都不是周期函数

解析:由两函数图象可判断.

答案:A

5.函数 y=cos( k x + ? )(k>0)的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值应是( ) 43

A.10

B.11

C.12

D.13

解析:∵y=cos(k4x+ ? )(k>0)的最小正周期为 T= 2? ? 8? ,∴ 8? ≤2,∴k≥4π ,

3

kk

k

4 ∴k 的最小值为 1 .故选 D.
3
答案:D

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6.函数 y=2cos( ? -ω x)的最小正周期是 4π ,则 ω =______________. 3
解析:T= 2? =4π , |? |

∴|ω |= 1 ,∴ω =± 1 .

2

2

答案:± 1 2

综合运用

7.(2004 天津)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是 π ,

且当 x∈[0, ? ]时,f(x)=sinx,则 f( 5 π )的值为( )

2

3

A.- 1

B. 1

2

2

解析:由题意可得

f( 5 ? )=f(π + 2 ? )=f( 2 ? )

3

3

3

=f(- ? +π )=f(- ? )=f( ? )

3

33

C.- 3 2

D. 3 2

=sin ? = 3 . 32

答案:D

8.y=sin3x+cos2x 的最小正周期为_____________.

解析:∵y1=sin3x 的最小正周期为 T1= 2? ,y2=cos2x 的最小正周期为 T2=π ,而 2? 与 3 ?

3

33

的最小公倍为 6? 即 2π . 3

∴y=sin3x+cos2x 的最小正周期为 2π .

答案:2π

9.若函数

f(x)的定义域为

R,最小正周期为

3? 2

,且满足

f(x)=

??c ?

os

x

??sin x

?

? 2

?

x

?

0, 则

0 ? x ? x,

f( ? 15? )=________________. 4

解析:∵f(- 15 ? )=f(- 3? ×3+ 3? )=f( 3 ? )=sin 3? = 2 .

4

2

44

42

答案: 2 2

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拓展探究

10.求函数 y=|sinx|+|cosx|的周期.

解:∵|sin(x+ ? )|=|cosx|,|cos(x+ ? )|=|sinx|,

2

2

∴y=|cos(x+ ? )|+|sin(x+ ? )|=|sinx|+|cosx|.

2

2

∴ ? 是函数 y=|sinx|+|cosx|的周期.下面是证明 ? 是函数 y 的最小正周期.

2

2

设存在 T(0<T< ? ),使 y=|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|对一切实数 x 都成立. 2

令 x= ? 代入上式得 2

|sinx|+|cosx|=1+0=1,

|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|cosT|+|sinT|=cosT+sinT>1,

此时|sin(x+T)|+|cosx(x+T)|≠sinT+cosT,矛盾,

∴ ? 是函数 y=|sinx|+|cosx|的最小正周期. 2
备选习题

11.y=|3cos(- 1 x ? ? )|的最小正周期为_____________. 24

解析:y=3cos(- 1 x ? ? )的周期 T= 2? =4π .加绝对值周期减半.

24

|?1 |

2

答案:2π

12.若函数 f(x)=2cos(ω x+ ? )的最小正周期为 T,且 T∈(1,3),则正整数 ω 的最大值是 3
__________.

解析:∵T= 2? ,T∈(1,3), ?

∴1< 2? <3,即 2? <ω <2π .

?

3

∴ω 的最大整数为 6.

答案:6

13.求下列各函数的周期:

(1)y=cos2x;

(2)y=sin 1 x ; 2
(3)y=2sin( x - ? ). 26
解:(1)T= 2? =π . 2
(2)T= 2? =4π . 1

2

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(3)T= 2? =4π . 1 2
14.已知函数 f(x)= log 1 |sinx|.(1)求 f(x)定义域与值域;(2)判断 f(x)周期性.若是周期
2
函数,求周期.
解:(1)|sinx|>0 ?sinx≠0,∴x≠kπ ,k∈Z,
∴定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z}. ∵0<|sinx|≤1,
∴ log 1 |sinx|≥0,
2
∴函数的值域为{y|y≥0}. (2)∵|sinx|在定义域{x|x≠kπ ,k∈Z}内是周期函数,且最小正周期是 π ,
∴函数 y= log 1 |sinx|是周期函数,且最小正周期是 π .
2
15.设 f(x)为定义在(-∞,+∞)上的周期函数,且周期为 2,当 x∈[2,3]时,f(x)=x.当 x∈[0,1]时,求 f(x)的解析式. 解:设 x∈[0,1],则 x+2∈[2,3],∴f(x+2)=x+2. ∵f(x)是周期为 2 的函数, ∴f(x+2)=f(x), ∴f(x)=x+2. 16.已知定义在(-∞,+∞)上的函数 f(x)的周期为 π ,若在[0,π ]上 f(x)=-sinx,求函 数 f(x)在区间[-22.8π ,-22.4π ]上的解析式. 解:设 x∈[-22.8π ,-22.4π ],则 x+23π ∈[0.2π ,0.6π ]. ∵x∈[0,π )时,f(x)=-sinx, ∴f(x+23π )=-sin(x+23π )=-sin(x+π )=sinx. ∵f(x)是周期为 π 的函数, ∴f(x+23π )=f(x), ∴f(x)=sinx,即当 x∈[-22.8π ,-22.4π ]时,f(x)的解析式为 f(x)=sinx.
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