配套K12高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修2-2

小学+初中+高中+努力=大学
1.3.2 极大值与极小值

学习目标

重点难点

1.记住函数的极大值、极小值的概念.

2.结合图象知道函数在某点取得极值 重点:利用导数求函数的极值.

的必要条件和充分条件.

难点:函数极值的判断和与极值有

3.会用导数求不超过三次的多项式函 关的参数问题.

数的极大、极小值.

1.极值 (1)观察下图中的函数图象,发现函数图象在点 P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下 降”(函数由单调________变为单调________),这时在点 P 附近,点 P 的位置最高,亦即 f(x1)比它附近点的函数值都要大,我们称 f(x1)为函数 f(x)的一个________.

(2)类似地,上图中 f(x2)为函数的一个________. (3)函数的极大值、极小值统称为函数的______.

预习交流 1

做一做:函数 y=-|x|有极______值______.

2.极值点与导数的关系

观察上面的函数的图象,发现:

(1)极大值与导数之间的关系如下表:

x f′(x)

x1 左侧 f′(x)____

x1

x1 右侧

f′(x)____ f′(x)____

f(x)



极大值 f(x1)



(2)极小值与导数之间的关系如下表:

x f′(x)

x2 左侧 f′(x)____

x2

x2 右侧

f′(x)____ f′(x)____

f(x)



极小值 f(x2)



预习交流 2 做一做:函数 f(x)=3x-x3 的极大值为________,极小值为________.

预习交流 3

议一议:(1)导数为 0 的点一定是函数的极值点吗?

(2)函数在极值点处的导数一定等于 0 吗?

(3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗?

(4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值?若有极值,是否可以有多个?极大值一

定比极小值大吗?

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格

中做个备忘吧!

我的学困点

我的学疑点

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答案: 预习导引 1.(1)递增 递减 极大值 (2)极小值 (3)极值 预习交流 1:提示:大 0 2.(1)>0 =0 <0 (2)<0 =0 >0 预习交流 2:提示:f′(x)=3-3x2,令 f′(x)=0 得 x=±1,由极值的定义可得函数 的极大值为 f(1)=2,极小值为 f(-1)=-2. 预习交流 3:提示:(1)不一定,例如对于函数 f(x)=x3,虽有 f′(0)=0,但 x=0 并 不是 f(x)=x3 的极值点,要使导数为 0 的点成为极值点,还必须满足其他条件. (2)不一定,例如函数 f(x)=|x-1|,它在 x=1 处取得极小值,但它在 x=1 处不可导, 就更谈不上导数等于 0 了. (3)不可以,函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,因为不符合极值点的定义. (4)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以 只有极大值,没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值,又有极小值.极 大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.
一、求函数的极值
求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=x22+x 1-2. 思路分析:首先从方程 f′(x)=0 入手,求出在函数 f(x)的定义域内所有可能的极值 点,然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点.
1.函数 y=1+3x-x3 有极大值__________,极小值__________. 2.求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的极值.
利用导数求函数极值的步骤: (1)求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的所有实数根; (3)考察在每个根 x0 附近,从左到右导函数 f′(x)的符号如何变化: ①如果 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值; ②如果由负变正,则 f(x0)是极小值; ③如果在 f′(x)=0 的根 x=x0 的左右侧 f′(x)的符号不变,则不是极值点. 二、已知函数的极值求参数范围
已知函数 f(x)=ax3+bx+2 在 x=1 处取得极值,且极值为 0. (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的另一个极值. 思路分析:由极值的定义可知 f′(1)=0,再结合 f(1)=0,建立关于 a,b 的方程即可 求得 a,b 的值,从而得出另一个极值.
1.已知函数 y=-x3+6x2+m 有极大值 13,则 m 的值为________.
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2.若函数 f(x)=x3+ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________.
1.已知函数极值情况,逆向应用,确定函数的解析式,进而研究函数 性质时,注意两点:
(1)常根据极值点处导数为 0 和已知极值(或极值之间的关系)列方程组,利用待定系数 法求解;
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须 验证根的合理性.
2.对于可导函数 f(x),若它有极值点 x0,则必有 f′(x0)=0,因此函数 f(x)有极值的 问题,往往可以转化为方程 f′(x)=0 有根的问题加以解决.
三、利用函数的极值画函数图象
求函数 y=2x+8x的极值,并结合单调性、极值作出该函数的大致图象. 思路分析:先求出函数的极值点和极值,从而把握函数在定义域内各个区间上的单调性 和在极值点处的函数值,以及 x→∞时的 f(x)的变化趋势,据此可画出函数的大致图象.
已知函数 f(x)=13x3-4x+4,求函数的极值,并画出函数的大致图象.
1.列表时应将定义域内的间断点(如 x=0)考虑进去. 2.极大值不一定比极小值大,这是因为极值是相对某一区域讨论的. 3.借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段.
1.(2012 陕西高考改编)设函数 f(x)=xex,则下列说法正确的是__________.(填序号) ①x=1 为 f(x)的极大值点 ②x=1 为 f(x)的极小值点 ③x=-1 为 f(x)的极大值点 ④x=-1 为 f(x)的极小值点 2.若函数 f(x)=2x3+ax2+36x-1 在 x=2 处有极值,则 a 的值为__________. 3.函数 f(x)=ln x-x 在区间(0,e)上的极大值为________. 4.关于函数 f(x)=x3-3x2 有下列命题,其中正确命题的序号是________. ①f(x)是增函数;②f(x)是减函数,无极值;③f(x)的增区间是(-∞,0)和(2,+∞), 减区间为(0,2);④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 5.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数 y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如 下图所示,则下列说法中不正确的是____________.(填序号)

①当 x=32时函数取得极小值;②f(x)有两个极值点;③当 x=2 时函数取得极小值;④
当 x=1 时函数取得极大值. 6.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则 a 的取值范围是________.

提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能

的要领部分写下来并进行识记.

知识精华

技能要领

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答案:

活动与探究 1:解:(1)函数 f(x)的定义域为 R. f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).

令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=2.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,-2)

-2

(-2,2)

2

(2,+∞)

f′(x )



0



0



f(x)

极大值 f(-2)=16

极小值 f(2)=-16

从上表可以看出:

当 x=-2 时,函数有极大值,且 f(-2)=16;

当 x=2 时,函数有极小值,且 f(2)=-16.

(2)函数的定义域为 R. f′(x)=2(x(2x+2+1)1-)24x2=-2(x(-x21+)(1x)+2 1).

令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f′(x )



0



0



f(x)

极小值 f(-1)=-3

极大值 f(1)=-1

由上表可以看出:

当 x=-1 时,函数有极小值,且 f(-1)=-3;

当 x=1 时,函数有极大值,且 f(1)=-1.

迁移与应用: 1.3 -1 解析:f′(x)=3-3x2,令 f′(x)=0 得 x=±1,

当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,当 x∈(-1,1)时,f′(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,

f′(x)<0,

∴f(x)在 x=-1 处取极小值-1,

在 x=1 处取极大值 3. 2.解:f′(x)=3x2-6x-9. 令 3x2-6x-9=0,解得 x1=-1,x2=3.
当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,-1) -1

(-1,3)

3

(3,+∞)

f′(x)



0



0



f(x)

极大值

极小值

因此,当 x=-1 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-1)=10;当 x=3 时,f(x)有极

小值,且极小值为 f(3)=-22. 活动与探究 2:解:(1)∵f(x)=ax3+bx+2, ∴f′(x)=3ax2+b.

依题意可得 f′(1)=0 且 f(1)=0,

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即?????3aa++bb+=20=,0, 解得?????ab==1-,3. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x+2,f′(x)=3x2-3, 令 f′(x)=0 得 3x2-3=0,所以 x=±1. 故函数 f(x)在 x=-1 处取得另一个极值,且极值为 f(-1)=-1+3+2=4.

迁移与应用: 1.-19 解析:y′=-3x2+12x=-3x(x-4).令 y′=0 得 x=0 或 x=4,当 x<0 或 x>4 时,y′<0,函数递减;当 0<x<4 时,函数递增,故 f(x)在 x=4 处取得极大值, 且 f(4)=-64+96+m=13,故 m=-19. 2.a<0 解析:f′(x)=3x2+a,由于 f(x)在 R 上有两个极值点,所以方程 f′(x)= 0 在 R 上有两个不同的实数根,即 Δ =0-12a>0,解得 a<0. 活动与探究 3:解:函数的定义域为 x∈R 且 x≠0.

y′=2-x82,令 y′=0,得 x=±2.

当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表:

x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)

y′



0





0



y

-8

8

因此当 x=-2 时,y 取得极大值-8; 当 x=2 时,y 取得极小值 8.

由表易知 y=2x+ 8 的草图如图所示. x

迁移与应用:

解:(1)f′(x)=x2-4.

解方程 x2-4=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,- 2)

-2

(-2,2)

2

(2,+∞)

f′(x)

+

0



0

+

f(x)

28

?4

3

3

从上表看出,当 x=-2 时,函数有极大值,且极大值为 f(-2)=238;

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而当 x=2 时,函数有极小值,且极小值为 f(2)= ? 4 . 3
函数 f(x)= 1 x3-4x+4 的图象如图所示. 3
当堂检测 1.④ 解析:由 f′(x)=x′·ex+(ex)′·x=ex+ex·x=ex(x+1)=0,得 x=-1. 当 x<-1 时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,-1)上是减少的;当 x>-1 时,f′(x)>0,f(x) 在(-1,+∞)上是增加的.所以 x=-1 为 f(x)的极小值点. 2.-15 解析:f′(x)=6x2+2ax+36,依题意 f′(2)=0,所以 24+4a+36=0,解 得 a=-15. 3.-1 解析:定义域为(0,+∞),f′(x)=1x-1.令 f′(x)=0 得 x=1,且当 0<x <1 时,f′(x)>0,x∈(1,e)时 f′(x)<0,故 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)=ln 1-1 =0-1=-1. 4.③④ 解析:f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,则 x=0 或 x=2.利用极值的求法可 求得 x=0 是极大值点,x=2 是极小值点. 5.① 解析:从图象上可以看到:当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,2)时,f′(x) <0;当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以 f(x)有两个极值点 1 和 2,且当 x=2 时函数取 得极小值,当 x=1 时函数取得极大值.只有①不正确. 6.a<-1 解析:y′=ex+a,依题意方程 ex+a=0 有大于 0 的实数根,而 a=-ex, 所以 ex>1,-ex<-1,即 a<-1.
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