高二数学试题

高二数学试题

第Ⅰ卷 选择题 (共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项中,只有一选 项是符合题目要求的)

1. 等 差 数 列 {an } 中 , a3 = 2 , 则 该 数 列 的 前 5 项 的 和 为

(D) A.32

B.20

2. 抛 物 线 y = -2x2 的 准 线 方 程 是

C.16

A.x=- 1 2

B.x= 1 2

.C.y= 1 8

3. 下 列 命 题 中 , 其 “ 非 ” 是

(D)

D.10
D.y=- 1 8
真命题

(C) 的是

A.?x∈R ,x2- 2 2 x + 2 ≥ 0 ;

B.?x∈R ,3x-5 = 0 ;

C.一切分数都是有理数 ; 一解 .

D.对于任意的实数 a,b,方程 ax=b 都有唯

4. 已知 F1、F2 是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角

形 MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 ( B)

A.4+ 2 3

B. 3 +1

C. 3 —1

D. 3 ? 1 2

5.方程 2(x ? 3)2 ? 2( y ?1)2 ? x ? y ? 3 表示的曲线是

( D)

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

6.

已 知 f(x) = x2 + 2x f1 (1) , 则 f 1 ( 0 ) =

( B)

A.0

B.-4

C.-2

D.2

7 . 设 x , y 是 正 实 数 , 且 满 足 x + 4y = 40 , 则 lgx+lgy 的 最 大 值 是

(A)

A.2

B.4

C.10

D.40

8. 已知数列{an},那么“对任意的 n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上”是“{an}为等差数








B )

A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要

条件

9.已知

x, y

?y ? 0

满 足 约 束 条 件 ??x ? y ? 0



??2x ? y ? 2 ? 0

则 W ? y ?1 的 取 值 范 围 为 是 x ?1

(D)

A.〔 —1, 1 〕 3

B.〔- 1 , 1 〕 23

C. 〔 - 1 ,+∞ ) 2

D. 〔- 1 ,1) 2

10.设 F1,F2 是 x2 +3y2 = 3 椭圆的焦点,点 P 是椭圆上的点,若∠F1PF2=900,则这样的点

P 有( D)

A.0 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

第Ⅱ卷 非选择题 (共 100 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上)

11.函数 y = x ? 2 的定义域为 _ 〔-2,1〕 __ 1? x

12.过点 P(-1,2 ) 且与曲线 y=3x2—4x+ 2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 y= 2x

+4

13 已 知 m,n,m+n 成 等 差 数 列 ,m,n,mn 成 等 比 数 列 , 则 椭 圆 x 2 ? y 2 ? 1 的 离 心 率 为 mn

2
____ ___
2

14.在△ABC 中∠A=600,b=1,S△ABC=

3 ,则 a = cos A

2 13

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

15.(本小题满分 12 分)求经过点 P(―3,2 7 )和 Q(―6 2 ,―7)且焦点在坐标轴
上的双曲线的标准方程。 解:依题意,设双曲线方程为 Ax2-By2=1(AB>0)---------3 分

∵双曲线过点 P(―3,2 7 )和 Q(―6 2 ,―7)



?9A ? 28B ? 1 ??72A ? 49B ? 1

------------7 分

解得:A=- 1 75

B=- 1 25

----------10 分

故双曲线方程为 y 2 ? x 2 ? 1 25 75

--------12 分

(若设为标准方程, 则需讨论焦点所在的轴)

16. (本小题满分 12 分)已知 p:x < -2,或 x > 10;q: 1 ? m ≤x≤1 ? m2 ;若?p 是

q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围。

解:∵ p:x < -2,或 x > 10;q: 1 ? m ≤x≤1 ? m2

∴?p: -2≤ x≤ 10
∵?p ?q



?1 ??1

? ?

m m

? ?2 解得m 2 ? 10

?

3

--------------------------3 分 ---------------8 分

又∵q 推不出?p ∴m ? 3

∴m 的取值范围为(3,+∞) ---------------------12 分

17.(本小题满分 14 分)某银行准备新设一种定期存款业务,经测算:存款量与存款利率的

平方成正比,比例系数为 k(k>0),贷款的利率为 4.8%,又银行吸收的存款能全部放贷出

去。

(1)若存款利率为 x,x∈(0,0.048),试写出存款量 g(x)及银行应支付给储户的

利息 h(x)与存款利率 x 之间的关系式;

(2)存款利率为多少时,银行可获得最大收益?

解:(1)由题意知,存款量 g(x)= kx2

---------------------------------------2 分

银行应支付的利息 h(x)= xg(x)= kx3 ------------------4 分

(2)设银行可获得的利益为 y,则 y = 0.048kx2-kx3

-------------------6 分

y 1 =0.096kx-3kx2

令 y 1= 0 即 0.096kx-3kx2=0 解得:x=0.032 或 x=0(舍去)---------9 分

当 x∈(0,0.032)时,y 1>0

当 x∈(0.032,0.048)时,y 1<0

∴当 x=0.032 时,y 取得最大值

-----------------------------------------13 分

故当存款利率为 3.2%时,银行可获得最大利益。-------------------------14 分

18.(本小题满分 14 分)函数 f(x)= 4x3+ax2+bx+5 的图在 x=1 处的切线方程为 y=-12x;

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)求函数 f(x)在 [—3,1]上的最值。

解:(1)f 1(x)= 12x2+2ax+b

-----------------------------------2 分

∵y =f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=-12x



?k ? ?f

? ?12 ? f (1) ? ?12

1

(1)



?12 ? 2a ? b ? ?12 ??4 ? a ? b ? 5 ? ?12

解得:a=-3 b=-18 ∴f(x)=4x3―3x2―18x+5

-------------------------------6 分 ------------------------------------------------7 分

(2)∵f 1(x)= 12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3)

令 f 1(x)=0 解得:x=-1 或 x= 3 2

--------------------------------------9 分

∴ 当 x<-1 或 x> 3 时,f 1(x)>0 2

当-1< x< 3 时, f 1(x)<0 2

----------------------------------------11 分

∵ x∈[-3,1]

∴ 在[-3,1]上无极小值,有极大值 f(-1)=16

又∵f(-3)=-76 f(1)=12

----------------------------------------13 分

∴f(x)在[-3,1]上的最小值为-76,最大值为 16。-------------------------------14 分

19(. 本小题满分

14

分)设椭圆

x a

2 2

? y2 b2

? 1(a>b>0)的左焦点为 F1(-2,0),左准线

L1 与

x 轴交于点 N(-3,0),过点 N 且倾斜角为 300 的直线 L 交椭圆于 A、B 两点。 (1)求直线 L 和椭圆的方程; (2)求证:点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上。

解:(1)由题意知,c=2 及 a 2 ? 3 得 a=6 c

-----------------------------2 分

∴ b2 ? 6 ? 22 ? 2

∴椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 62

-----------------------4 分

直线 L 的方程为:y-0=tan300(x+3)即 y= 3 (x+3)------------6 分 3

?x2 ? 3y2 ? 6

(2)由方程组

? ?

?y ?

3 (x ? 3) 得 2x2 ? 6x ? 3 ? 0

?3

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-3 x1x2= 3 2

1

∵ k F1A

? k F1B

?

y1 ? x1 ? 2

y2 x2 ? 2

?

3 (x1 ? 3)( x2 ? 3) (x1 ? 2)( x2 ? 2)

-----------------8 分

?

x1 x2
3?x1 x2

? 3(x1 ? 2(x1

? x2 ) ? 9 ? x2 ) ? 4

? ? ?1

----------------12 分

∴ F1 A ? F1B则?AF1B ? 90 0
∴点 F(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上

-----------------14 分

(注:此问有多种解法)
20.(本小题满分 14 分)已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数 列 {bn }中, b1 = 1,点 P(bn , bn+1) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上.
⑴求 a1 和 a2 的值;
⑵求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ;
? ? ⑶ 设 cn ? an ? bn ,求数列 cn 的前 n 项和Tn .

解:(1)∵ an 是 S n 与 2 的等差中项

∴ Sn ? 2an ? 2

--------------------------------------------1 分

∴ a1 ? S1 ? 2a1 ? 2解得a1 ? 2

a1 ? a2 ? S2 ? 2a2 ? 2解得a2 ? 4 -------------------------3 分

(2) Sn ? 2an ? 2, Sn?1 ? 2an?1 ? 2,

?an ? 2an ? 2an?1, . an ? 0,

∵a1=2

∴ an ? 2n

-------------------------------------------------6 分

∴ bn?1 ? bn ? 2即数列?bn ?是等差数列,又b1 ? 1,?bn ? 2n ?1 -----------8 分

(3) cn=(2n ?1)2n ,

?Tn=a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ? ? (2n ?1)2n , ------------10 分

因此: ?Tn ? 1? 2+(2 ? 22+2 ? 23+ +2 ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1

------------12 分

即: ?Tn ? 1? 2 ? (23 ? 24 ? ? 2n?1)? (2n ?1)2n?1

∴ Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6

----------------------------------14 分


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