1.4《直角三角形的射影定理》教案


直角三角形的射影定理
教学目标 (一) 知识与技能 1.能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题; 2.通过对射影定理的探究,使学生经历探索数学问题的过程,逐步形成 探究问题的意识,发展探究问题的能力. (二)过程与方法 类比正方体、长方体的表面积,讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法. (三) 情感态度与价值观 通过小组活动,让学生体验合作学习的愉悦,培养学生团队合作精神. 教学重点 教学难点 射影定理的证明. 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关 系. 教学方法 教学用具 师生协作共同探究法. 黑板 多媒体

教学过程设计 一 复习引入 前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理, 请学生回答以下两个问 题:1.相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么? 2.如何判定两个直角三角形相似? (通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题.) 二 新知探究 如图,⊿ABC 是直角三角形, CD 为斜边 AB 上的高. 提出问题:
A D B C

图1

1.在这个图形中,有哪几组相似三角形?(三组:△ACD 与△CBD,△BDC 与△BCA,△CDA 与△BCA) 2.把学生分为三组,分组讨论:结合相似三角形对应边成比例的性质,寻找
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每组三角形中的线段长度关系: △ACD 与△CBD 中,CD2= △BDC 与△BCA 中,BC2= △CDA 与△BCA 中,AC2= AD· BD BD· AB AD· AB , , .

这三个关系式形式上完全一样,但不便于记忆,因此,在这里教师适时的引 入射影的定义: 从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影. 一条直线在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之 间的线段. 点和线段的正射影简称为射影.
A A B

A′ M

N

M

A′

B′ N

图2

请学生结合射影定义及图 1,观察三个关系式的特点,在此基础上,即可得 出射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分
N

别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 三 例题分析 例1 如图 3,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D.AD=2,DB=8,求

CD、AC 和 BC 的长. 解:∵∠ACB 是半圆上的圆周角, ∴∠ACB=90° ,即⊿ABC 是直角三角形. 由射影定理可得: CD2=AD· BD=2× 8=16,解得 CD=4; AC2=AD· AB=2× 10=20,解得 AC=2 5 ; BC2=BD· AB=8× 10=80,解得 BC= 4 5 . (师生一起分析思路,由学生完成求解.)

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C C

A

D

O

B A D B

图3 例2

图4

如图 4, ⊿ABC 中, 顶点 C 在 AB 边上的射影为 D, 且 CD2=AD· BD. 求
N

证:⊿ABC 是直角三角形.

证明:在⊿CDA 和⊿BDC 中,∵点 C 在 AB 上的射影为 D,
N

∴CD⊥AB. ∴∠CDA=∠BDC=90° . 又∵CD2=AD· BD, ∴AD:CD=CD:DB. ∴⊿CDA∽⊿BDC. 在⊿ACD 中, ∵∠CAD+∠ACD=90° , ∴∠BCD+∠ACD=90° . ∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90° . ∴⊿ABC 是直角三角形.

(该例题表明,射影定理的逆定理也是成立的.学生在这个命题的证明中, 可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难.教学中可从如下两方面来引 导: ①“射影”总是与“垂直”相伴,由此可以与“直角三角形”相联系; ②我们往往将等式 CD2=AD· BD 变形为
AD CD ,这个比例式启发我们应当 ? CD DB

通过“相似三角形”来推出“直角三角形” .学生明确了上述思路就容易得出本例 的证明了.)

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课堂练习 1 在⊿ABC 中,∠C=90° , CD 是斜边 AB 上的高.已知 CD=60,AD=25,

求 BD、AB、AC、BC 的长.(直接运用射影定理.) 2 如图,已知线段 a、b,求作线段 a 和 b 的比例中项. (引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法.)
a b



课堂小结 (引导学生从知识内容和思想方法

两方面进行归纳.) 1 知识内容:掌握射影定理及其逆定理,并能熟练运用. 2 思想方法:化归.



课后作业 1 基础训练:在⊿ABC 中,∠C=90° , CD⊥AB,垂足为 D,AC=12,BC=5,

求 CD 的长. 2 小组探究: 请学生以四人学习小组为单位,探究是否还有其它的方法来证 明射影定理.(培养学生的创造性思维及团结协作的能力.)

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