高二数学椭圆的标准方程1


椭圆的标准方程
普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2—1)

李堡中学

王伯平

是不是 椭圆呢
压扁

电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用 高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设 备都是运用椭圆的性质制造的。怎样才能 准确地制造它们?

复习回顾
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于 椭圆的定义: F1F2)的点的轨迹叫椭圆 P

定点F1、F2叫做椭圆的焦点。

说明
1、平面上这一个条件不可少

F1

F2

2、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数;记为2a; 两焦点之间的距离称为焦距,记为2c,即:F1F2=2c. 3、2a> F1F2 若2a=F1F2轨迹是什么呢? 若2a<F1F2轨迹是什么呢?

椭圆标准方程的推导: 求圆的标准方程的步骤是什么?

建立直角坐标系

设点坐标

列等式

代入坐标

化简方程

如何建立适当的直角坐标系? 原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所 在的直线作为坐标轴。)
y
P

F1 o

·

F2

·

x

建立直角坐标系

设点坐标

列等式

代入坐标

化简方程

以直线F1F2为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建 立如图坐标系。 设P(x,y)为椭圆上的任意一点,
y
P

∵F1F2=2c(c>0),

· F
1

o

· F
2

x

则:F1(-c,0)、F2(c,0)

PF1+PF2=2a

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a
2 2 2 2

∴ ∴

( x ? c ) ? y ? 2a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2

2

4a ( x ? c ) ? y ? 4a ? 4cx
2 2 2

a ( x ? 2cx ? c ? y ) ? a ? 2a cx ? c x 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ) 2 2 ? a?c?0 ? a ?c ? 0

2 2 2 2 4 2

2 2

设 a2 ? c 2 ? b2 , b ? 0 ∴ b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2

x y 则,椭圆的方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) a b

2

2

方程的推导
以直线F1F2为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立坐标系。 y

设P(x,y)为椭圆上的任意一点, ∵F1F2=2c(c>0), 则:F1(0,-c)、F2(0,c) ∴ PF1+PF2=2a

F2

o
F1

x

( y ? c) ? x ? ( y ? c) ? x ? 2a
2 2 2 2

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

y2 x2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) 2 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
问题1

2

2

y
( 1)

F1 O
( 2)

F2 y F2 O F1

x

椭圆的标准方程的特点:

1、方程的右边是常数1
2、方程的左边是和的形式,每一项的分子是 x2、y2,分母是一个正数。
问题2

x

根据上述讨论,如何判断椭圆的焦点的位置? 若 x2 项的分母大,则其焦点就在 x 轴上,若 y2 项 的分母大,则其焦点就在 y 轴上,

椭圆的定义

PF1 ? PF2 ? 2a ( 2a ? 2c ? 0)

图形
2 x 2 ? y ? 1( a ? b ? 0) a2 b 2

标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的 判断

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a 2 ? b 2 ? c 2 ( a ? c ? 0, a ? b ? 0 )

看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.

1.求适合下列条件的椭圆方程 1、a=4,b=3,焦点在x轴上;

x y ? ?1 16 9
2.b=1, c ? 15,焦点在y轴上

2

2

y 2 ? x ?1 16

a?4
2

2、已知椭圆的方程为: 10 ,b=____ 6 ,c=___ 则a=____ 8 , 焦点 (0,-8)、(0,8) ,焦距等 坐标为:___ 16 。该椭圆上一点P到焦点F1的距 于____ 离为8,则点P到另一个焦点F2的距离
12 。 等于______

3、若椭圆满足: a=5 , c=3 ,焦点在x轴上 求它的标准方程。

焦点在x轴上时: 焦点在y轴上时:

y x ? ?1 25 16
y x ? ?1 16 25
2 2

2

2

4、若动点P到两定点F1(-4,0),

F2(4,0)的距离之和为8,则动点
P的轨迹为( A. 椭圆

B )
B. 线段F1F2

C. 直线F1F2

D. 不存在

5、求下列椭圆的焦点坐标

x 2 (1) ? y ?1 9

2

?? 2
2

2 ,0 , 2 2 ,0
2

??

?

x y (2) ? ?1 3 12

2

2

(0,?3), (0,3)
(4) 16x ? 9 y ? 144
2 2

(3) x ? 2 y ? 4

??

2 ,0 ,

??

2,0

?

?0,? 7 ?, ?0, 7 ?

例1:已知一个运油车上的贮油罐横 截面的外轮廓线是一个椭圆,它的 焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m,求这个椭圆 的标准方程。 y 待定系数法 解:以两焦点F 1, F 2 所 在直线为X轴,线段 F 1F 2 的垂直平分线为y轴,建立 F1 0 平面直角坐标系xOy。 则这个椭圆的标准方程为:
x ? y ? 1( a ? b ? 0) a 2 b2
2 2

M F2 x

根据题意:2a=3,2c=2.4,

所以:b2=1.52-1.22=0.81 因此,这个椭圆的方程为: 2 2 y x ? ?1 2.25 0.81

例2、将圆 x 2 ? y 2 ? 4上的点的横坐标保持 不变,纵坐标变为原来的一半,求所得的 曲线的方程,并说明它是什么曲线。
解:设所得曲线上任一点 坐标为P(x,y),圆上的 对应点的坐标P’(x’,y’),
y
P′

? x' ? x 由题意可得: ? ' ?y ? 2y

坐标转移法:即 P x o 利用中间变量求 曲线方程
2

因为 所以

x ? y ?4

'2

'2

x ? 4y ? 4
2 2

这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆。

2 x 即 ? y ?1 4

1.两类方程(焦点分别在x轴,y轴上的标准方程)
x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b
2 2

y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

2. 标准方程的简单应用 两种方法(待定系数法、坐标转换法) 两种思想(数形结合、分类讨论)

椭圆的定义

PF1 ? PF2 ? 2a ( 2a ? 2c ? 0)

图形
2 x 2 ? y ? 1( a ? b ? 0) a2 b 2

标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的 判断

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a 2 ? b 2 ? c 2 ( a ? c ? 0, a ? b ? 0 )

看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.

思考题
设动点P到点F(1,0)的距离是到直线

1 x=9的距离的 ,求点P的轨迹方程, 3
并判断此轨迹是什么图形?

作业
1、教材P26页习题2.2(1)第2,3,4题 2、推导:(用分子有理化) 焦点在y轴上的椭圆的标准方程

; http://zdays.com/ 百度网盘 百度云搜索 flp382bej 如果说过去的往事是我心灵上的伤疤,现在的现实却是我身躯的残疾,竟然成了一个瘸子拄着单拐苟延残喘地活在鬼屋里。 车祸又一次改变着我的命运,我的人生面临着又一次最大的考验。 “苏林,我们回家吧,离开这个伤心地,回到老家去过我们该过的日子,好吗?”妻子有点动摇了。 提起老家,我何尝不想回家呢?那里有我的父母,有我的兄弟,也有我的乡里乡亲;那里的一山一水一草一木无不留在我美好的记忆里;那才是 我的根!但是我不能这样回去。风风火火地来,灰溜溜地去,无脸见江东父老! “肖艳,你后悔了吗?” “如果人生还能重来,我选择的绝不是你??” 我呆了,无言以对。 “肖艳,我们分开吧,你回家搞你的蘑菇种植,我留下来陪宝根,好吗?” 妻子看着我,长长地叹了口气,“唉——!从种蘑菇到贩青菜,一干就是十几年,成了一种职业病,突然改行,真叫人有点舍不得??再说,小 荷和宝根正是用钱的时候,我们再去搞别的投资,万一亏了本,恐怕连孩子们的学费也拿不出,到那时??” 她没有再说下去,硬生生把要说的话咽了回去。 我知道她心里有多难受,我却不能帮她?? 过了良久,她才说:“你的腿也需要治,我不能撇下你不管??” “肖艳,分开吧,不要再为我难过??我已经想好了,你回老家去,过你想过的生活,我要留下来,买一辆电动三轮车,去捡破烂儿??你看, 捡破烂儿的吴疯子不是也活得很好吗?” “闭上你的乌鸦嘴!你不说话没人把你当哑巴!”妻子不高兴了。 “肖艳,我说的都是真心话,这可是件无本生意,既能赚钱又能环保,是一举两得的好买卖??”我一本正经地说。 “既然你决心已定,我也不阻拦你,你捡你的破烂儿,我做我的青菜生意,咱俩各干各的,等你干够了的时候,再来帮我守摊儿??” 这是我俩第一次发生的争执,也许妻子的看法是对的。因为从我的身体状况来看,我根本就是一个废人,恐怕什么也干不了。 但我不想成为生活的累赘,我必须要干点事,哪怕是一件很小的事,能自食其力地挣个能买馒头的钱我也很高兴!我毕竟还没有彻底地倒下去, 至少还说明我还活着,活得很自信,很充实?? 第二天,妻子果真给我买来了一辆电动三轮,让我载着她到附近的垃圾场去演习。 我拄着单拐,拿着自己特治的小铁钩蹒跚地在垃圾堆里寻找着我所需要的东西。 几个小时过去了,妻子见我见我满头大汗,便担心起我的身体来,催促我回家休息。 我执意要去一家回收点卖掉才回家。 我把卖的钱放这妻子跟前,“你看,短短几个小时就能挣七八块钱,要是一天下来,我们的房租和饭钱不就解决了吗?”其实我知道大多数是妻 子一个人捡的,我怕妻子不同意我再去捡破烂儿,故意扼杀了她的功劳。 她却出乎意料的没有反驳我的话,郑重其事地对我说:“苏林,钱是小事,关键要注意你的身子,累了就歇着??只要你活得开心,我就心满意 足了??” 她的话让我无言以对,二十多年过去了,我的妻子却依然那样的关心我爱护我,无怨无悔,永不抛弃。 假设人生真的有来世,我一定还娶她做我的妻子??我在心里暗暗地对自己说。 从此,县城的大街上便多了一个捡破烂儿的苏瘸子,住在城西的鬼屋里,是个早起晚归神出鬼没的家伙


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