高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)


高中数学讲义之解析几何

圆锥曲线第 2 讲
【知识要点】 一、双曲线的定义 1. 双曲线的第一定义:

双曲线

平面内到两个定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于定长 2a (

0 ? 2a ? F1 F2

)的点的轨迹

叫双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注 1:在双曲线的定义中,必须强调:到两个定点的距离之差的绝对值(记作 2a ) ,不但要 小于这两个定点之间的距离 双曲线。具体情形如下:
1F2 的垂直平分线; (ⅰ)当 2a ? 0 时,点的轨迹是线段 F

F1 F2

(记作 2c ) ,而且还要大于零,否则点的轨迹就不是一个

(ⅱ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹是两条射线; (ⅲ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹不存在; (ⅳ)当 0 ? 2a ? 2c 时,点的轨迹是双曲线。 特别地,若去掉定义中的“绝对值” ,则点的轨迹仅表示双曲线的一支。 注 2:若用 M 表示动点,则双曲线轨迹的几何描述法为

MF1 ? MF2 ? 2a

( 0 ? 2a ? 2c ,

F1 F2 ? 2c

) ,即

MF1 ? MF2 ? F1 F2



2. 双曲线的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数 e ( e ? 1 )的点的轨迹叫做双 曲线。

二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程

x2 y2 ? 2 ?1 2 b (1)焦点在 x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是 a ( a ? 0 ,b ? 0) ;
1

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y2 x2 ? 2 ?1 2 b (2)焦点在 y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是 a ( a ? 0 , b ? 0 ).
注:若题目已给出双曲线的标准方程,那其焦点究竟是在 x 轴还是在 y 轴,主要看实半轴跟 谁走。 若实半轴跟 x 走, 则双曲线的焦点在 x 轴; 若实半轴跟 y 走, 则双曲线的焦点在 y 轴。 2. 等轴双曲线 当双曲线的实轴与虚轴等长时(即 2a ? 2b ) ,我们把这样的双曲线称为等轴双曲线,其标 准方程为 x ? y ? ? ( ? ? 0 )
2 2

注:若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线,则我们可设该等轴双曲线的方程为

x2 ? y 2 ? ? ( ? ? 0 ) ,再结合其它条件,求出 ? 的值,即可求出该等轴双曲线的方程。进
一步讲, 若求得的 ? ? 0 , 则该等轴双曲线的焦点在 x 轴、 中心在坐标原点; 若求得的 ? ? 0 , 则该等轴双曲线的焦点在 y 轴、中心在坐标原点。

三、双曲线的性质

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 以标准方程 a ( a ? 0 , b ? 0 )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关
结论。 (1)范围:

x ?a

,即 x ? a 或 x ? ?a ;

(2)对称性:关于 x 轴、 y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称;
1 (?a,0) 、 A2 (a,0) ; (3)顶点:左、右顶点分别为 A 1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ; (4)焦点:左、右焦点分别为 F

(5)实轴长为 2a ,虚轴长为 2b ,焦距为 2c ; (6)实半轴 a 、虚半轴 b 、半焦距 c 之间的关系为 c ? a ? b ;
2 2 2

x??
(7)准线:

a2 c ;

2

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b2 (8)焦准距: c ;

e?
(9)离心率:

c a 且 e ? 1 . e 越小,双曲线的开口越小; e 越大,双曲线的开口越大; b x a ;

y??
(10)渐近线:

x2 y2 ? ?1 P( x0 , y0 ) 为双曲线 a 2 b 2 (11)焦半径:若 右支上一点,则由双曲线的第二定义,有

PF1 ? ex 0 ? a



PF2 ? ex 0 ? a



b2 2 (12)通径长: a .

a y2 x2 a2 ? ? 1 y ? ? y?? x 2 2 b c , b ? 0) b 。 注 1: 双曲线 a (a ?0, 的准线方程为 渐近线方程为
x2 y2 ? 2 ?1 2 b 注 2:双曲线的焦准距指的是双曲线的焦点到其相应准线的距离。以双曲线 a 的 x? a2 a2 c2 ? a2 b2 c? ? ? c 为例,可求得其焦准距为 c c c ;

右焦点 F2 (c,0) 和右准线 l :

注 3: 双曲线的焦点弦指的是由过双曲线的某一焦点与该双曲线交于不同两点的直线所构成 的弦。 双曲线的通径指的是过双曲线的焦点且垂直于其对称轴的弦。 通径是双曲线的所有焦

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 点弦中最短的弦。设双曲线的方程为 a ( a ? 0 ,b ? 0 ) ,过其焦点 F2 (c,0) 且垂 A( c , b2 ) a ,

直于 x 轴的直线交该双曲线于 A 、 B 两点(不妨令点 A 在 x 轴的上方) ,则

b2 b2 b2 b2 B (c,? ) AB ? ? (? ) ? 2 a ,于是该双曲线的通径长为 a a a .

四、关于双曲线的标准方程,需要注意的几个问题 (1)关于双曲线的标准方程,最基本的两个问题是:其一,当题目已指明曲线的位置特征, 并给出了“特征值” (指 a 、 b 、 c 的值或它们之间的关系,由这个关系结合 c ? a ? b ,
2 2 2

3

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我们可以确定出 a 、 b 、 c 的值)时,我们便能迅速准确地写出双曲线的标准方程;其二, 当题目已给出双曲线的标准方程时, 我们便能准确地判断出双曲线的位置特征, 并能得到 a 、

b 、 c 的值。
(2)双曲线的标准方程中的参数 a 、 b 、 c 是双曲线所固有的,与坐标系的建立无关; a 、

b 、 c 三者之间的关系: c 2 ? a 2 ? b 2 必须牢固掌握。
(3)求双曲线的标准方程,实质上是求双曲线的标准方程中的未知参数 a 、 b 。根据题目 已知条件,我们列出以 a 、 b 为未知参数的两个方程,联立后便可确定出 a 、 b 的值。特别 需要注意的是:若题目中已经指明双曲线的焦点在 x 轴或 y 轴上,则以 a 、 b 为未知参数的 方程组只有一个解,即 a 、b 只有一个值;若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上,则以 a 、

b 为未知参数的方程组应有两个解,即 a 、 b 应有两个值。
(4)有时为方便解题,中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为 mx ? ny ? 1 ,但此时
2 2

m 、 n 必须满足条件: mn ? 0 .
(5)与椭圆不同,双曲线中, c 最大,离心率 e ? 1 ,它除了有准线,还有渐近线,而且渐 近线是双曲线特有的性质。 对于渐近线: ①要掌握渐近线的方程; ②要掌握渐近线的倾斜角、 斜率的求法;③会利用渐近线方程巧设双曲线方程,再运用待定系数法求出双曲线的方程。

b x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? 2 ?0 y?? x 2 2 2 b b a ; (6)双曲线 a ( a ? 0 ,b ? 0 ) 的渐近线方程可记为 a , 即 a y2 x2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?0 y?? x 2 2 2 b b b . 特 双曲线 a ( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线方程可记为 a ,即
别地,等轴双曲线 x ? y ? ? ( ? ? 0 )的渐近线方程为 y ? ? x . 反过来讲,若已知某一
2 2

y??
双曲线的渐近线方程为

n x m ( m , n 为给定的正数) ,则该双曲线的实半轴 a 与虚半

b n a n ? ? 轴 b 具有关系: a m 或 b m .
(7)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b .
4

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x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1 (?c,0) 、F2 (c,0) , 证明: 设双曲线的方程为 a ( a ? 0 ,b ? 0 ) , 其左、 右焦点为 F

y??
渐近线方程为

b x a ,即 bx ? ay ? 0 .

1 (?c,0) 到渐近线 bx ? ay ? 0 的距离 则焦点 F

d1 ?

b ? (?c) ? a ? 0 b2 ? a 2 ? bc c
2

?

? bc c2

?

bc ?b c ,

焦点 F2 (c,0) 到渐近线 bx ? ay ? 0 的距离 显然 d1 ? d2 ? b

d2 ?

b?c ? a?0 b ?a
2 2

?

bc ?b c .

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 故双曲线 a 的焦点到其渐近线的距离为 b
(8)与椭圆类似,求双曲线的离心率 e 的值,就是要寻找除 c ? a ? b 这一等量关系之外
2 2 2

a 、 b 、 c 之间的另一等量关系;求双曲线的离心率 e 的取值范围,就是要寻找 a 、 b 、 c 之
间的不等关系,有时还要适当利用放缩法,这里面体现了方程和不等式的数学思想。

【例题选讲】 题型 1:双曲线定义的应用

,0)、F2 (1,0) 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为 常 数 a 1 (?1 1. 若 一 动 点 P( x, y) 到 两 个 定 点 F
(0? a ? 2 ) ,求点 P 的轨迹方程. 解:由题意知,

PF1 ? PF2 ? a

(0? a ? 2 ) ,

F1 F2 ? 2

(ⅰ)当 a ? 0 时,

PF1 ? PF2 ? 0 ? PF1 ? PF2

1F2 的垂直平分线,其方程为 x ? 0 此时点 P 的轨迹是线段 F

(ⅱ)当 a ? 2 时,

PF1 ? PF2 ? F1 F2

此时点 P 的轨迹是两条射线,其方程分别为 y ? 0( x ? 1) 或 y ? 0( x ? ?1) (ⅲ)当 0 ? a ? 2 时,

PF1 ? PF2 ? F1 F2

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1 a ,0)、F2 (1,0) 为左、右焦点的双曲线,其中实半轴长为 2 ,半 1 (?1 此时点 P 的轨迹是以 F

x2 y2 ? ?1 2 2 1 2 a a a 2 b ? c ? ( a) ? 1 ? 1? 2 4 ,所以其方程为 4 4 焦距 c ? 1 ,虚半轴 .
2

2. 方程 A. 椭圆

( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8
B. 双曲线

表示的曲线是() C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支

1 (?6,0) , F2 (6,0) 解:设 P( x, y) 是平面内一点, F

则方程

( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8

即为

PF2 ? PF1 ? 8

1 (?6,0) 、 F2 (6,0) 的距离之差等于定长 8. 显然 该式表示平面内一点 P( x, y) 到两个定点 F

8 ? 12 。故由双曲线的第一定义知,点 P( x, y) 的轨迹是双曲线,但仅是双曲线的左支。

3. 已知两圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 2 , C2 : ( x ? 4) ? y ? 2 ,动圆 M 与两圆 C1 、 C2 都相
2 2 2 2

切. 则动圆圆心 M 的轨迹方程是__________. 解:圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 2 的圆心为 C1 (?4,0) ,半径为 2 ;圆 C2 : ( x ? 4) ? y ? 2 的
2 2 2 2

圆心为 C2 (4,0) ,半径为 2 . 动圆 M 与两圆 C1 、 C2 都相切,有以下四种情况: (ⅰ)动圆 M 与两圆 C1 、 C2 都外切; (ⅱ)动圆 M 与两圆 C1 、 C2 都内切; (ⅲ)动圆 M 与圆 C1 外切、与圆 C2 内切; (ⅳ)动圆 M 与圆 C1 内切、与圆 C2 外切. 设动圆 M 的半径为 r 由(ⅰ)知,

MC1 ? MC 2 ? r ? 2

;由(ⅱ)知,

MC1 ? MC 2 ? r ? 2

于是由(ⅰ) 、 (ⅱ)可知,点 M 的轨迹方程是线段 C1C2 的垂直平分线,其方程为 x ? 0 由(ⅲ)知,

MC1 ? r ? 2



MC 2 ? r ? 2

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? MC1 ? MC 2 ? (r ? 2 ) ? (r ? 2 ) ? 2 2 ? 8 ? C1C2
由(ⅳ)知,

MC1 ? r ? 2



MC 2 ? r ? 2

? MC 2 ? MC1 ? (r ? 2 ) ? (r ? 2 ) ? 2 2 ? 8 ? C1C2
于是由(ⅲ) 、 (ⅳ)有,

MC1 ? MC 2 ? 2 2 ? 8 ? C1C2

这表明, 点 M 的轨迹方程是以 C1 (?4,0) 、C2 (4,0) 为左、 右焦点的双曲线, 其中 2a ? 2 2 ,

2c ? 8

?a ? 2, c ? 4, b2 ? c2 ? a2 ? 16 ? 2 ? 14

x2 y2 ? ?1 即由(ⅲ) 、 (ⅳ)可知,点 M 的轨迹方程为 2 14 x2 y2 ? ?1 故动圆圆心 M 的轨迹方程是 2 14 或x?0

4. 已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 有且仅有一个公共点,则 k =__________.
2 2

?x2 ? y 2 ? 1 ? 2 2 y ? kx ? 1 解:联立 ? 得, (1 ? k ) x ? 2kx ? 2 ? 0
2 (ⅰ)当 1 ? k ? 0 ,即 k ? ?1 时,直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 有且仅有一个公共

2

2

点 (1,0) 或 (?1,0) ,不满足题意. (ⅱ)当 1 ? k ? 0 ,即 k ? ?1 时,由直线与双曲线有且仅有一个公共点可知,
2

? ? (2k )2 ? 4(1 ? k 2 )(?2) ? ?4k 2 ? 8 ? 0 ,解得 k ? ? 2
故 k ? ?1 或 k ? ? 2

x2 y2 ? ?1 5. 已知过点 P(1,0) 的直线与双曲线 4 12 的右支交于 A 、 B 两点,则直线 AB 的斜率

k 的取值范围是__________.
x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 解:在双曲线 4 12 中, a ? 4, b ? 12, c ? a ? b ? 4 ? 12 ? 16

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?a ? 2, b ? 2 3, c ? 4
由直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点知,直线 AB 的斜率 k ? 0 由直线 AB 过点 P(1,0) 可知,直线 AB 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 1) ,即 y ? k ( x ? 1) 设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )

? x2 y 2 ? ? ?1 ? 4 12 2 2 2 2 ? y ? k ( x ? 1) 联立 ? ,得 (3 ? k ) x ? 2k x ? k ?12 ? 0 ( x ? 2 )

? 3? k2 ? 0 ? 2 2 2 2 2 ?? ? (2k ) ? 4(3 ? k )(?k2 ? 12) ?2?36k ? 144 ? 0 ? 2k 2k ? x1 ? x2 ? ? ? 2 ?0 2 3? k k ?3 ? ? ? k 2 ? 12 k 2 ? 12 x1 x2 ? ? 2 ?0 ? 3? k2 k ?3 由题设条件及韦达定理,有 ?
解得: ? 2 ? k ? ? 3 或 3 ? k ? 2 故直线 AB 的斜率 k 的取值范围是 (?2,? 3) ? ( 3,2)

注:对于中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线而言,若某一直线与其左支交于不同的两 点,则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后,一般有四个结论:①二次项 系数不为零,②判别式 ? ? 0 ,③两交点的横坐标之和小于零,④两交点的横坐标之积大于 零; 若直线与其右支交于不同的两点, 则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方 程后,一般也有四个结论:①二次项系数不为零,②判别式 ? ? 0 ,③两交点的横坐标之和 大于零,④两交点的横坐标之积大于零。这些基本结论在做题时,必须格外注意。

x2 ? y2 ? 1 2 6. 已知双曲线 a ( a ? 0 )的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 为该双曲线上一点,
? PF1 ? PF2 且 ?F1PF2 ? 90 ,则 =__________.

x2 ? y2 ? 1 2 2 2 2 2 2 a 解:在双曲线 中, b ? 1 ?c ? a ? b ? a ? 1

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PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4c 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 4a 2 ? 4 1PF 2 中, 在 Rt?F ①


2

2

2

? PF1 ? PF2 ? 2a
2 2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 4a 2
①代入②得,



(4a 2 ? 4) ? 2 PF1 ? PF2 ? 4a 2
( 4 a 2 ? 4) ? 4 a 2 ?2 2



PF1 ? PF2 ?

题型 2:求双曲线的方程

x2 y2 ? ?1 7. ( 1 ) 与双曲线 9 16 有 共同的 渐近线, 且过点 (?3,2 3) 的双曲 线的方程 是
__________;

x2 y2 ? ?1 4 (2)与双曲线 16 有公共焦点,且过点 (3 2,2) 的双曲线的方程是__________. x2 y2 ? ?? 解: (1)设所求双曲线的方程是 9 16 ( (? ? 0) )

9 12 1 ? ???? ? ( ? 3 , 2 3 ) 4 则由该双曲线过点 ,有 9 16

x2 y2 ? ?1 x2 y2 1 9 4 ? ? 故所求双曲线的方程是 9 16 4 ,即 4
x2 y2 ? 2 ?1 2 b (2)设所求双曲线的方程是 a ( a ? 0, b ? 0 )

18 4 ? 2 ?1 2 ( 3 2 , 2 ) b 则由该双曲线过点 ,有 a ①
又? c ? 16 ? 4 ? 20
2

?a 2 ? b2 ? 20 ②
由①、②得, a ? 12 , b ? 8
2 2

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x2 y2 ? ?1 8 故所求双曲线的方程是 12

y2 x2 ? ?1 9 8. 设 m 是常数,若点 F (0,5) 是双曲线 m 的一个焦点,则该双曲线的方程是
__________.

y2 x2 ? ?1 2 2 9 解:在双曲线 m 中, a ? m , b ? 9
而由题意知, c ? 5

? m ? 9 ? 52 ? 25 ? m ? 16
y2 x2 ? ?1 9 故该双曲线的方程是 16

P(3,
9. 已知双曲线的中心在坐标原点,两对称轴都在坐标轴上,且过 则该双曲线的方程是__________. 解:设所求双曲线的方程为 mx ? ny ? 1 ( mn ? 0 )
2 2

15 16 ) Q ( ,5) 4 、 3 两点,

225 1 ? ? ? 9m ? 16 n ? 1 ?m ? ? 16 ?? ? 256 1 15 16 ? m ? 25n ? 1 ? n ? P(3, ) Q ( ,5) 9 ? 4 、 3 则由该双曲线过 两点,有 ? 9
1 2 1 2 y2 x2 ? ?1 x ? y ?1 9 故所求的双曲线的方程是 16 ,即 9 16 . ?

C:

x2 y2 ? 2 ? 1, (2,3),60? , a 2 ? 1, b 2 ? 3 2 a b b b2 3 ? tan60? ? 3 ? 2 ? 3 ? , e ? 1? a a 1 2 2 2 c a ?b 1? 3 e2 ? 2 ? ? ? 4, e ? 4 ? 2 2 a a 1

x2 y2 ? 2 ?1 2 ? b 10. 已知双曲线 C : a 经过点 (2,3) ,两条渐近线的夹角为 60 ,则双曲线 C 的方
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程为__________.

4 9 x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 b b 解:由双曲线 C : a 经过点 (2,3) ,有 a ?
b ? tan 60? ? 3 ( 2 , 3 ) 由双曲线 C 的两条渐近线的夹角为 60 ,并且其经过点 ,可知 a ?
?

联立?、?,得 a ? 1 , b ? 3
2 2

故双曲线 C 的方程为

x2 ?

y2 ?1 3

x2 y2 5 ? ?1 4 11. 已知双曲线的离心率等于 2 ,且与椭圆 9 有公共的焦点,则该双曲线的方程
是__________.

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 4 解:在椭圆 9 中, a1 ? 9 , b1 ? 4 , c1 ? a1 ? b1 ? 9 ? 4 ? 5

?a1 ? 3 , b1 ? 2 , c1 ? 5
x2 y2 ? ?1 4 1 (? 5,0) 、 F2 ( 5,0) 于是椭圆 9 的左、右焦点分别为 F

又?所求双曲线的离心率

e?

5 2

?

c2 5 ? a2 2

而 c2 ? c1 ? 5

? a2 ? 2
于是 a2 ? 4 , b2 ? c2 ? a2 ? 5 ? 4 ? 1
2 2 2 2

x2 ? y2 ? 1 4 故所求双曲线的方程为

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x2 y2 ? ?1 4 12. 与双曲线 16 有相同焦点, 且经过点 (3 2,2) 的双曲线的标准方程是_________. x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 4 解:在双曲线 16 中, a1 ? 16, b1 ? 4, c1 ? a1 ? b1 ? 16 ? 4 ? 20

?a1 ? 4, b1 ? 2, c1 ? 2 5
x2 y2 ? ?1 4 于是双曲线 16 的左、右焦点分别为 F1 (?2 5,0) 、 F2 (2 5,0) x2 y2 ? 2 ?1 2 b 据此可设所求双曲线的方程为 a

18 4 ? 2 ?1 2 ( 3 2 , 2 ) b 则由其过点 ,有 a ?
又?c2 ? c1 ? 2 5

?a2 ? b2 ? c2 ? 20 ?
联立?、?,得 a2 ? 12 , b2 ? 8
2 2

2

2

2

x2 y2 ? ?1 8 故所求双曲线的方程为 12

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 13. 已知双曲线 a ( a ? 0, b ? 0 )的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点
在抛物线 y ? 24x 的准线上,则该双曲线的方程是__________.
2

b ? 3 ? b 2 ? 3a 2 y ? 3 x 解:由 是所求双曲线的一条渐近线知, a ①
由抛物线 y ? 24x 的准线方程为
2

x??

12 ? ?6 2 2 2 2 知, c ? 6 ? a ? b ? 6 ? 36 ②

由①、②得, a ? 9 , b ? 27
2 2

x2 y2 ? ?1 故该双曲线的方程是 9 27

12

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题型 3:双曲线的性质 14. 双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是__________.
2 2

x2 y2 ? ?1 2 2 8 解:在双曲线 2 x ? y ? 8 ,即 4 中, a ? 4, b ? 8 ? a ? 2, b ? 2 2
2 2

故该双曲线的实轴长 2a ? 2 ? 2 ? 4

15. 双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m =_________.
2 2

y2 ?
解:在双曲线 mx ? y ? 1 ,即
2 2

x2 ?1 1 1 b2 ? ? ? 2 m m 中, a ? 1 ,

? 2b ? 2 ? 2a ,即 b ? 2a

?b2 ? 4a 2
1 ? 4 ?1 ? 4 于是有 m ? m??


1 4

x2 y2 ? ?1 2 9 16. 设双曲线 a ( a ? 0 )的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a =__________. x2 y2 ? ?1 2 2 9 解:在双曲线 a 中, b ? 9 ? b ? 3

y??
于是该双曲线的渐近线方程为

3 x a

3 y?? x 2 又由题意知,该双曲线的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,即 3 3 ? ? a 2
故a ?2

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17. 已知点 P 和点 Q 的横坐标相同,点 P 的纵坐标是点 Q 的纵坐标的 2 倍,点 P 和点 Q 的 轨迹分别为双曲线 C1 和 C2 . 若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则 C2 的渐近线方程为 __________.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 2 2 2 2 a b a b C a ? 0 , b ? 0 C 1 1 2 2 1 解: 设 1 的方程为 ( 1 ) , 2 的方程为 ( a2 ? 0, b2 ? 0 )


Q( x0 , y0 ) ,则由题设条件知, P( x0 ,2 y0 )

? x0 2 4 y0 2 ? 2 ? 2 ?1 ? a ? a2 ? a1 b1 ?? 1 ? 2 2 ?b1 ? 2b2 ? x0 ? y0 ? 1 2 2 b2 P( x0 ,2 y0 ) 、 Q( x0 , y0 ) 两点分别在 C1 和 C2 上,有 ? ? a2 于是由
又?双曲线 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3x

?

b1 ? 3 a1

1 b b2 2 1 1 b1 1 3 ? ? ? ? ? 3? a1 2 a1 2 2 于是 a2

故双曲线 C2 的渐近线方程为

y??

3 x 2

题型 4:与双曲线的焦点有关的三角形问题

x2 ? y2 ? 1 ? F F 4 18. 设 1 、 2 为双曲线 的两个焦点, 点 P 在该双曲线上, 且满足 ?F1PF2 ? 90 ,
1PF 2 的面积为__________. 则 ?F

x2 ? y2 ? 1 2 2 2 2 2 解:在双曲线 4 中, a ? 4, b ? 1 ? c ? a ? b ? 4 ? 1 ? 5

?a ? 2, b ? 1, c ? 5
1 (? 5,0) , F2 ( 5,0) 于是 F

PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4c 2 ? 4 ? 5 ? 20 Rt ? F PF 1 2 在 中, ①
14

2

2

2

高中数学讲义之解析几何



? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 ? 2 ? 4
2 2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 16
20 ? 2 PF1 ? PF2 ? 16



①代入②得,

? PF1 ? PF2 ?

20 ? 16 ?2 2



S ?F1PF2 ?

1 1 PF1 ? PF2 ? ? 2 ? 1 2 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 b2 n 19. 已知椭圆 a ( a ? b ? 0 )与双曲线 m ( m ? 0, n ? 0 )有公共焦点,
点 P 是它们的一个公共点. (1)用 b 和 n 表示 cos?F1PF2 ; (2)设

S?F1PF2 ? f (b, n)

,求 f (b, n) .

1PF 2 中,由余弦定理有 解: (1)在 ?F

cos?F1 PF2 ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 ? PF2

2

2

2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 b2 n ?点 P 是椭圆 a 与双曲线 m 的一个公共点

PF1 ? PF2 ? 2m ? PF1 ? PF2 ? 2a ,
? PF1 ? PF2 ? F1F2 ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? F1 F2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 4a 2 ? 4c 2 ? 2 PF1 ? PF2
2 2 2 2

? 4b 2 ? 2 PF1 ? PF2
PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? F1 F2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 4m 2 ? 4c 2 ? 2 PF1 ? PF2
2 2 2 2

? ?4n 2 ? 2 PF1 ? PF2

?

cos ?F1 PF2 ?

4b 2 ? 2 PF1 ? PF2 2 PF1 ? PF2

?

2b 2 ? PF1 ? PF2 PF1 ? PF2

? PF1 ? PF2 ?

2b 2 1 ? cos ?F1 PF2 2n 2 1 ? cos ?F1 PF2



cos ?F1 PF2 ?

? 4n 2 ? 2 PF1 ? PF2 2 PF1 ? PF2

?

? 2n 2 ? PF1 ? PF2 PF1 ? PF2

? PF1 ? PF2 ?



15

高中数学讲义之解析几何

2b 2 2n 2 ? 1 ? cos?F1PF2 1 ? cos?F1PF2 于是由①、②有
2 2 2 2 2 2 2 2 ? b ? b cos?F1PF2 ? n ? n cos?F1PF2 ? (b ? n ) cos?F1PF2 ? b ? n

b2 ? n2 cos ?F1 PF2 ? 2 b ? n2 故

PF1 ? PF2 ?
(2)由(1)知,

2b 2 ? 1 ? cos?F1 PF2

2b 2 2b 2 (b 2 ? n 2 ) ? ? b2 ? n2 2 2 2 b ?n 2b 1? 2 2 b ?n

sin ?F1 PF2 ? 1 ? cos 2 ?F1 PF2 ? 1 ? (

b2 ? n2 2 4b 2 n 2 2bn ) ? ? 2 2 2 2 2 2 b ?n (b ? n ) b ? n2



f (b, n) ? S ?F1PF2 ?

1 1 2bn PF1 ? PF2 ? sin ?F1 PF2 ? (b 2 ? n 2 ) 2 ? bn 2 2 b ? n2

题型 5:双曲线的离心率计算问题

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 20. 已知点 (2,3) 在双曲线 C : a ( a ? 0 , b ? 0 )上, C 的焦距为 4,则它的离
心率 e 为__________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解:?点 (2,3) 在双曲线 C : a 上

4 9 ? 2 ? 1 ? 4b 2 ? 9a 2 ? a 2b 2 2 a b ? ①
又?双曲线 C 的焦距为 4

? 2c ? 4 ? c ? 2
于是有 a ? b ? c ? 2 ? 4 ②
2 2 2 2

2 2 由①、②得, a ? 1 或 a ? 16 (舍去) ?a ? 1 , b ? 3

故双曲线 C 的离心率

e?

c 2 ? ?2 a 1

21. 若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率
16

高中数学讲义之解析几何

e =__________.

解:由 2a , 2b , 2c 成等差数列,有 又? b ? c ? a
2 2 2

2 ? 2b ? 2a ? 2c ? b ?

a?c 2

?(

a?c 2 ) ? c 2 ? a 2 ? 3c 2 ? 2ac ? 5a 2 ? 0 2 ( ?) e?
解得:

( ? )式两边同时除以 a ,得 3e ? 2e ? 5 ? 0
2 2

5 3 或 e ? ?1 (舍去)

e?
故该双曲线的离心率

5 3

22. 若双曲线的两条渐近线的夹角为 60 ,则该双曲线的离心率为__________. 解: (ⅰ)当双曲线的焦点在 x 轴上时,

?

b 3 b2 1 ? tan30? ? ? 2? 3 a 3 由题意知, a
e2 ?
于是 而e ?1

c2 a2 ? b2 3 ? 1 4 ? ? ? a2 a2 3 3

?此时

e?

4 2 ? 3 3 3

(ⅰ)当双曲线的焦点在 y 轴上时,

b b2 3 ? tan 60 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? a 1 由题意知, a e2 ?
于是 而e ?1

c2 a2 ? b2 1 ? 3 ? ? ?4 a2 a2 1

?此时 e ? 4 ? 2

17

高中数学讲义之解析几何

2 3 故该双曲线的离心率为 3 或2

23. 已知双曲线的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率为__________.

3 b 3 a 3 y?? x ? ? 2 可知, a 2 或 b 2 解:由双曲线的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,即

b 3 b2 9 a 2 ? b 2 4 ? 9 13 c 2 13 ? ? ? ? ? ? 2 4 a2 4 4 ,即 a 2 4 当 a 2 时, a

e?
于是此时该双曲线的离心率

c c2 13 13 ? ? ? 2 a a 4 2

a 3 a2 9 a2 9 9 a2 9 c 2 13 ? ? ? ? ? ? ? 2 4 a 2 ? b 2 9 ? 4 13 ,即 c 2 13 ,亦即 a 2 9 当 b 2 时, b

e?
于是此时该双曲线的离心率

c c2 13 13 ? ? ? 2 a a 9 3

13 13 故该双曲线的离心率为 2 或 3

? ? ? (0, )
24. 设

4 ,则曲线

x2

1 ? y 2 tan ? ? 1 tan ? 的离心率 e 的取值范围是()

1 (0, ) 2 A.

1 2 ( , ) B. 2 2
1 ?0 4 ,有 tan ? , tan ? ? 0

(
C.

2 , 2) 2

D. ( 2,??)

? ? ? (0, )
解:由

x2
于是方程

1 ? y 2 tan ? ? 1 tan ? 表示的曲线是双曲线

x2 y2 ? ?1 1 1 2 2 tan ? x ? y tan ? ? 1 tan? 在双曲线 tan ? ,即 中,
a 2 ? tan ? , b 2 ? 1 1 tan 2 ? ? 1 , c 2 ? a 2 ? b 2 ? tan ? ? ? tan ? tan ? tan ?
18

高中数学讲义之解析几何

tan 2 ? ? 1 c2 tan 2 ? ? 1 1 ? e 2 ? 2 ? tan ? ? ? 1? 2 a tan ? tan ? tan 2 ?

? ? ? (0, )


4

? 0 ? tan ? ? 1

e2 ? 1 ?
于是

1 ?2 tan 2 ?

又双曲线的离心率 e ? 1 故e ?

2

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 25. 已知 F1 、 F2 是双曲线 E : a ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点,点 M 在 E 上,

MF1 与 x 轴垂直,且

sin ?MF2 F1 ?

1 3 ,则 E 的离心率为__________.

1 ? x轴 解: (法一)? MF

?

MF1 ?

b2 a

又?

sin ?MF2 F1 ?

1 3

sin ?MF2 F1 ? tan ?MF2 F1 ? ? cos ?MF2 F1

1 3 1 1 ? ( )2 3
b2 ? 2c a

?

1 3 2 2 3

?

1 2 2
,即

MF1 F1 F2

?

1 2 2

于是
2

2 2 MF1 ? F1 F2 ? 2 2 ?
2 2

?b2 ?

2 ac 2

又b ? c ?a

?c2 ? a 2 ?

2 2 ac ? c 2 ? ac ? a 2 ? 0 2 2 ( ?)

19

高中数学讲义之解析几何

( ? )式两边同时除以 a ,得

2

e2 ?

2 e ?1 ? 0 2

解得: e ?

2或

e??

2 2 (舍去)
2

故双曲线 E 的离心率 e ?

e?
(法二)

F1 F2 c 2c 2 R sin ?F1MF2 sin ?F1MF2 ? ? ? ? a 2a MF2 ? MF1 2 R sin ?MF1 F2 ? 2 R sin ?MF2 F1 sin ?MF1 F2 ? sin ?MF2 F1

1 2 2 1 ? ( )2 3 ? 3 ? 2 ? 1 2 1? 3 3 1 F2 的外接圆的直径. ,等式中的 2 R 表示 ?MF
故双曲线 E 的离心率 e ?

2

26. 设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么该双曲线的离心率 e 为__________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解:设双曲线的方程为 a ( a ? 0, b ? 0 )

y??
则该双曲线的渐近线方程为 设 F (c,0) , B(0, b)

b x a

则在该双曲线的两条渐近线中,与直线 FB 垂直的一条渐近线方程为 l :

y?

b x a

0?b b b2 ? ? ? ?1 ? ?1 2 k ? k ? ?1 c?0 a ac 由 FB ? l ,有 FB l ,即 b ? ac
又? b ? c ? a
2 2 2

c c 1? 5 ? c 2 ? a 2 ? ac ? c 2 ? ac ? a 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ? 1 ? 0 e? 2 a a 2 , 此即 e ? e ?1 ? 0 解得:
又e ?1

20

高中数学讲义之解析几何

e?
故该双曲线的离心率

1? 5 2

题型 6:与双曲线有关的综合问题 27. 若曲线 x ? y ? 1 与曲线 ( x ?1) ? y ? a ( a ? 0 )恰有三个交点,则 a =__________.
2 2 2 2 2

解:曲线 x ? y ? 1 表示左、右焦点分别为 F1 (? 2 ,0) , F2 ( 2 ,0) 的双曲线,其左、右顶
2 2

,0) , A2 (1,0) 1 (?1 点分别为 A
曲线 ( x ?1) ? y ? a ( a ? 0 )表示圆心为 C(1,0) ,半径为 a 的圆
2 2 2 2 2 2 2 2 ?双曲线 x ? y ? 1 与圆 ( x ?1) ? y ? a 恰有三个交点 2 2 2 2 2 ?圆 ( x ?1) ? y ? a 与双曲线 x ? y ? 1 的左支交于点 A1 (?1,0)

于是有 a ? (?1 ?1) ? 0 ? 4
2 2 2

又a ?0 故a ?2

28. 已知等轴双曲线的中心在原点,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,且过点 P(4,? 10) . (1)求该双曲线的离心率 e ; (2)求该双曲线的方程; (3)若点 M (3, m) 在该双曲线上,证明: MF1 ? MF2 ? 0 . 解: (1)在等轴双曲线中,实轴长=虚轴长,即 2a ? 2b

? a ? b, c ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? a 2 ? 2a

e?
故等轴双曲线的离心率

c 2a ? ? 2 a a

(2)?所求双曲线为等轴双曲线
2 2 ?可设其方程为 x ? y ? ? ( ? ? 0 )

又?该双曲线过点 P(4,? 10)
21

高中数学讲义之解析几何

?16 ?10 ? ?

?? ?6
2 2

x2 y2 ? ?1 6 故所求双曲线的方程为 x ? y ? 6 ,即 6 x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 6 (3)在双曲线 6 中, a ? b ? 6 ? c ? a ? b ? 6 ? 6 ? 12

?a ? b ? 6 , c ? 2 3
又? M (3, m)

于是 F1 (?2 3,0) , F2 (2 3,0)

? MF1 ? (?2 3 ? 3,?m) , MF2 ? (2 3 ? 3,? m)
2 2 于是 MF1 ? MF2 ? (?2 3 ? 3)( 2 3 ? 3) ? (? m)( ? m) ? ?(12 ? 9) ? m ? m ? 3

x2 y2 ? ?1 6 又点 M (3, m) 在双曲线 6 上 9 m2 ? ? ? 1 ? m2 ? 3 6 6
故 MF1 ? MF2 ? 3 ? 3 ? 0

x2 ? y2 ? 1 2 F ( ? 2 , 0 ) 29. 若点 O 和点 分别为双曲线 a ( a ? 0 )的中心和左焦点,点 P 为该双
曲线右支上任意一点,则 OP ? FP 的取值范围是__________.

x2 ? y2 ? 1 2 2 a 解:在双曲线 中, b ? 1
由 c ? 2 可知, a ? c ? b ? 4 ? 1 ? 3
2 2 2

x2 ? y2 ? 1 于是该双曲线的方程为 3 x2 ? y2 ? 1 P ( x , y ) 3 设 ,则由点 P 在双曲线 右支上知, x ? 3

? OP ? ( x, y ) , FP ? ( x ? 2, y )

22

高中数学讲义之解析几何

? OP ? FP ? x ( x ? 2) ? y 2 ? x 2 ? 2 x ? y 2 ? x 2 ? 2 x ? (

x2 4 ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 1 3 3

g ( x) ?


4 2 x ? 2x ?1 3 , x ?[ 3,??)
x?? 2 2? 4 3 ?? 3 4

其对称轴为

?函数 g( x) 在 [ 3,??) 上单调递增
于是对任意的 x ?[ 3,??) ,都有 这表明, OP ? FP ? 3 ? 2 3 故 OP ? FP 的取值范围是 [3 ? 2 3,??)

4 g ( x) ? g ( 3 ) ? ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 3

x2 y2 y2 2 ? ? 1 x ? ?1 2 b2 4 30. 已知椭圆 C1 : a ( a ? b ? 0 )与双曲线 C2 : 有公共的焦点, C2
的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A 、 B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分, 则椭圆 C1 的方程为__________.

x2 y2 y2 2 ? ? 1 x ? ?1 2 b2 4 解:由椭圆 C1 : a 与双曲线 C2 : 有公共的焦点知,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ? 4 ? 5 ? a 2 ? b2 ? 5
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 b2 于是椭圆 C1 的方程 a 可化为 b ? 5 b ,即 b x ? (b ? 5) y ? b ? 5b ? 0 x2 ? y2 ?1 4 的一条渐近线方程为 y ? 2x

双曲线 C2 :

设线段 AB 被椭圆 C1 所截得的弦为 CD ,则

CD ?

1 1 2a AB ? ? 2a ? 3 3 3 ,且 yC ? 2xC

?b 2 x 2 ? (b 2 ? 5) y 2 ? b 4 ? 5b 2 ? 0 ? 2 2 4 2 y ? 2x 联立 ? 得, (5b ? 20) x ? b ? 5b ? 0
23

高中数学讲义之解析几何

? xC ?

2

b 4 ? 5b 2 5b 2 ? 20
2 2 2 2

由此有

CD ? 2 xC ? yC ? 2 xC ? (2 xC ) 2 ? 2 5xC ? 2 5 ?

b 4 ? 5b 2 5b4 ? 25b 2 ? 2 5b2 ? 20 5b2 ? 20

5b4 ? 25b2 2a 5b4 ? 25b 2 a 2 b2 ? 5 2 ? ? ? ? ? 5b4 ? 45b 2 ? 100 ? 45b 4 ? 225b 2 2 2 5b ? 20 3 5b ? 20 9 9 于是有
? 40b ? 180b ?100 ? 0 ? 2b ? 9b ? 5 ? 0
4 2 4 2

b2 ?
解得:

1 2 (舍去 b 2 ? ?5 )

a 2 ? b2 ? 5 ?
于是

1 11 ?5 ? 2 2

x2 y2 ? ?1 11 1 2 故椭圆 C1 的方程为 2

31. 过点 P(1,2) 且与双曲线

x2 ?

y2 ?1 4 有一个公共点的直线方程为_________. y2 ?1 4 外

解:显然,点 P(1,2) 在双曲线

x2 ?

(1)当所求直线的斜率不存在时, 显然,过点 P(1,2) 且与双曲线

x2 ?

y2 ?1 4 有一个公共点的直线方程为 x ? 1

(2)当所求直线的斜率存在时,不妨设其斜率为 k 则由其过点 P(1,2) 可知,所求直线的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 y ? kx ? 2 ? k

? 2 y2 ?1 ? x ? 联立 ? ,得 (4 ? k 2 ) x2 ? (2k 2 ? 4k ) x ? k 2 ? 4k ? 8 ? 0 ( ? ) 4 ? y ? kx ? 2 ? k ?
2 (ⅰ)若 4 ? k ? 0 ,则 k ? ?2

当 k ? 2 时,由( ? )式,有 0 ? x ? 4 ? 0 ? x 无解,不满足题意,舍去 k ? 2 当 k ? ?2 时,由( ? )式,有 16 x ? 20 ? 0 ? x ? 而此时所求直线的方程为 y ? ?2 x ? 4

5 4

24

高中数学讲义之解析几何

5 5 5 3 代入 y ? ?2 x ? 4 中,得 y ? ?2 ? ? 4 ? 4 ? ? 4 4 2 2 2 y x2 ? ?1 5 3 4 即此时所求直线与双曲线 的唯一公共点为 ( , ) ,满足题意 4 2
将x? 于是当 k ? ?2 时,所求直线的方程为 y ? ?2 x ? 4
2 (ⅱ)若 4 ? k ? 0 ,即 k ? ?2 ,则对( ? )式,由所求直线与双曲线仅有一个公共点,有

? ? (2k 2 ? 4k )2 ? 4(4 ? k 2 )(?k 2 ? 4k ? 8) ? 4k 4 ?16k 3 ? 16k 2 ? 4(k 4 ? 4k 3 ? 4k 2 ? 16k ? 32)
? ?64k ? 128 ? 0 ? k ? 2 ,而这显然与 k ? ?2 矛盾,舍去 k ? 2 于是当 k ? ?2 时,所求直线不存在
故所求直线的方程为 x ? 1 或 y ? ?2 x ? 4

x2 y2 ? ?1 4 32. 过点 M (0,2) 且与双曲线 9 有一个公共点的直线方程为_________. x2 y2 ? ?1 4 解:显然,点 M (0,2) 在双曲线 9 外
由题意知,所求直线的斜率是存在的,不妨设为 k 则由其过点 M (0,2) 可知,所求直线的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 0) ,即 y ? kx ? 2

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 9 ,得 (4 ? 9k 2 ) x2 ? 36kx ? 72 ? 0 ( ? ) 4 ? y ? kx ? 2 ?
2 (ⅰ)若 4 ? 9k ? 0 ,则 k ? ?

2 3

2 时,由( ? )式,有 ?24 x ? 72 ? 0 ? x ? ?3 3 2 而此时所求直线的方程为 y ? x ? 2 3 2 2 将 x ? ?3 代入 y ? x ? 2 中,得 y ? ? (?3) ? 2 ? ?2 ? 2 ? 0 3 3
当k ?

x2 y2 ? ?1 4 即此时所求直线与双曲线 9 的唯一公共点为 (?3, 0) ,满足题意
当k ? ?

2 时,由( ? )式,有 24 x ? 72 ? 0 ? x ? 3 3

25

高中数学讲义之解析几何

而此时所求直线的方程为 y ? ? 将 x ? 3 代入 y ? ?

2 x?2 3

2 2 x ? 2 中,得 y ? ? ? 3 ? 2 ? ?2 ? 2 ? 0 3 3

x2 y2 ? ?1 4 即此时所求直线与双曲线 9 的唯一公共点为 (3, 0) ,满足题意

2 2 时,所求直线的方程为 y ? ? x ? 2 3 3 2 2 (ⅱ)若 4 ? 9 k ? 0 ,即 k ? ? ,则对( ? )式,由所求直线与双曲线仅有一个公共点,有 3
于是当 k ? ?

? ? (?36k )2 ? 4(4 ? 9k 2 )(?72) ? 362 k 2 ? 4 ? 72(4 ? 9k 2 ) ? 36[36k 2 ? 8(4 ? 9k 2 )] ? 36(36k 2 ? 32 ? 72k 2 ) ? ?36(36k 2 ? 32) ? 0
? k2 ? 32 8 2 2 ? ,即 k ? ? ,满足题意 36 9 3 2 2 2 时,所求直线的方程为 y ? ? x?2 3 3 2 2 2 x ? 2或 y ? ? x?2 3 3

于是当 k ? ?

故所求直线的方程为 y ? ?

x2 ? y2 ? 1 33. 已知双曲线 C : 2 .
(1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知点 M 的坐标为 (0,1) ,设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P 关于坐标原点的对称点. 记 ? ? MP ? MQ ,求 ? 的取值范围.

x2 ? y2 ? 1 2 2 解: (1)在双曲线 2 中, a ? 2 , b ? 1

?a ? 2 , b ? 1

b 1 2 y?? x?? x?? x a 2 2 故该双曲线的渐近线方程为
(2)设 P( x, y)
26

高中数学讲义之解析几何

则 Q(? x,? y) 又? M (0,1)

? MP ? ( x, y ? 1) , MQ ? (? x,? y ? 1)
2 2 2 2 于是 ? ? MP ? MQ ? x(? x) ? ( y ? 1)( ? y ? 1) ? ? x ? ( y ? 1) ? ? x ? y ? 1

x2 ? y2 ? 1 P ( x , y ) 2 又?点 在双曲线 上

? y2 ?

1 2 x ?1 2 1 2 3 2
,其中 x ? 2 或 x ? ? 2

? ? ? x 2 ? ( x 2 ? 1) ? 1 ? ? x 2 ? 2
于是

3 f ( x) ? ? x 2 ? 2 2 对于函数 , x ?[ 2,??)

?函数 f ( x) 在 [ 2,??) 上单调递减
3 f ( x) ? f ( 2 ) ? ? ? 2 ? 2 ? ?1 2 ?对任意的 x ?[ 2,??) ,都有 3 f ( x) ? ? x 2 ? 2 2 对于函数 , x ? (??,? 2 ]

?函数 f ( x) 在 (??,? 2 ] 上单调递增
3 f ( x) ? f (? 2 ) ? ? ? 2 ? 2 ? ?1 2 ?对任意的 x ? (??,? 2] ,都有
故对任意的 x ?[ 2,??) ? (??,? 2 ] ,总有 ? ? ?1,即 ? 的取值范围是 (??,?1] .

x2 y2 ? ?1 2 34. 已知双曲线 6 的顶点和焦点分别是椭圆 E 的焦点和顶点.
(1)求椭圆 E 的方程; (2)已知椭圆 E 上的定点

C( x0 , y0 ) 关于坐标原点的对称点为 D ,设点 P 是椭圆 E 上的任

意一点,若直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为零,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是定值
27

高中数学讲义之解析几何

吗?若是,求出此定值;若不是,请说明理由; (3)对于椭圆 E 长轴上的某一点 S ( s,0) (不含端点) ,过 S ( s,0) 作动直线 L (不与 x 轴重 合)交椭圆 E 于 M 、 N 两点,若点 T (t ,0) 满足: OS ? OT ? 8 ,证明: ?MTS ? ?NTS .

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 2 解: (1)在双曲线 6 中, a1 ? 6, b1 ? 2, c1 ? a1 ? b1 ? 6 ? 2 ? 8

?a1 ? 6, b1 ? 2, c1 ? 2 2
于是该双曲线的左右顶点分别为 A1 (? 6,0), A2 ( 6,0) ;左右焦点分别为 F1 (?2 2,0), F2 (2 2,0)

x2 y 2 ? 2 ?1 a 2 b2 设椭圆 E 的方程为 2 ( a2 ? b2 ? 0 )
则由题意知, c2 ? a1 ? 6, a2 ? c1 ? 2 2 于是 b2 ? a2 ? c2 ? 8 ? 6 ? 2
2 2 2

x2 y2 ? ?1 2 故椭圆 E 的方程为 8 x2 y2 ? ?1 C( x0 , y0 ) 关于坐标原点的对称点 2 (2)?点 D 是椭圆 E : 8 上的定点

? D(? x0 ,? y0 ) ,显然点 D 也在椭圆 E 上
设 P( x, y)

kCP ?


y ? y0 y ? (? y0 ) y ? y0 k DP ? ? x ? x0 , x ? (? x0 ) x ? x0
2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 ? ? ? 2 x ? x0 x ? x0 x 2 ? x0

kCP ? k DP
于是

x2 y2 ? ?1 C( x0 , y0 ) 都在椭圆 E : 8 2 又点 P( x, y) 和点 上
x2 y2 ? ?1 2 于是有 8 ①
2

x0 y ? 0 ?1 8 2 ②
2 2 2

2

2

x 2 ? x0 y 2 ? y0 x 2 ? x0 y 2 ? y0 ? ?0? ?? 8 2 8 2 ①-②得,
28

高中数学讲义之解析几何

2 y 2 ? y0 2 1 ?? ?? 2 2 x ? x0 8 4 于是



kCP ? k DP ? ?

1 1 ? 4 ,即直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值 4

(3)(ⅰ)当直线 L 不垂直于 x 轴时,设其斜率为 k 则由其过点 S ( s,0) 可知,直线 L 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? s) ,即 y ? k ( x ? s)

x2 y2 ? ?1 2 2 2 椭圆 E 的方程 8 可化为 x ? 4 y ? 8 ? 0
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 )

?x2 ? 4 y 2 ? 8 ? 0 ? 2 2 2 2 2 y ? k ( x ? s) 联立 ? ,得 (4k ? 1) x ? 8k sx ? 4k s ? 8 ? 0

? ? 8k 2 s 8k 2 s x ? x ? ? ? ? ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ? 4k 2 s 2 ? 8 ? x1 x2 ? ? 4k 2 ? 1 由韦达定理,有 ?

kMT ? k NT ?
于是

0 ? y1 0 ? y2 y y y ( x ? t ) ? y2 ( x1 ? t ) ? ? 1 ? 2 ? 1 2 t ? x1 t ? x2 x1 ? t x2 ? t ( x1 ? t )(x2 ? t )

?

k ( x1 ? s)(x2 ? t ) ? k ( x2 ? s)(x1 ? t ) kx1 x2 ? ktx1 ? ksx2 ? kst ? kx1 x2 ? ktx2 ? ksx1 ? kst ? ( x1 ? t )(x2 ? t ) ( x1 ? t )(x2 ? t )
2kx1 x2 ? kt( x1 ? x2 ) ? ks( x1 ? x2 ) ? 2kst k[2 x1 x2 ? ( s ? t )(x1 ? x2 ) ? 2st ] ? ( x1 ? t )(x2 ? t ) ( x1 ? t )(x2 ? t )

?



? 2 x1 x2 ? ( s ? t )( x1 ? x2 ) ? 2 st ? 2 ?

4k 2 s 2 ? 8 8k 2 s ? ( s ? t ) ? ? 2 st 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

?

8k 2 s 2 ? 16 ? 8k 2 s 2 ? 8k 2 st ? 8k 2 st ? 2 st 2 st ? 16 ? 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

而由 OS ? ( s,0) , OT ? (t ,0) , OS ? OT ? 8 ,有 st ? 8

? 2 x1 x2 ? ( s ? t )( x1 ? x2 ) ? 2st ?

2 ? 8 ? 16 ?0 4k 2 ? 1

29

高中数学讲义之解析几何

于是

kMT ? k NT ? 0 ,即 kMT ? ?k NT

故 ?MTS ? ?NTS (ⅱ)当直线 L 垂直于 x 轴时,由椭圆的对称性可知, ?MTS ? ?NTS 综上可知,总有 ?MTS ? ?NTS

x2 ?
35. 已知双曲线 线交于 A 、 B 两点.

y2 ?1 b2 ( b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,直线 l 过点 F2 且与该双曲

? (1)若直线 l 的倾斜角为 2 , ?F1 AB 是等边三角形,求该双曲线的渐近线方程;
(2)设 b ? 3 . 若直线 l 的斜率存在,且 ( F1 A ? F1 B ) ? AB ? 0 ,求直线 l 的斜率.

x2 ?
解: (1)在双曲线

y2 ?1 2 b2 中, a ? 1

? ?直线 l 的倾斜角为 2
2 2 2 ? A 、 B 两点关于 x 轴对称,并且点 A 的横坐标 x A ? c ? a ? b ? 1 ? b

于是 y A ? b ( xA ?1) ? b [(1 ? b ) ?1] ? b
2 2 2 2 2

4

又? ?F1 AB 是等边三角形

? tan ?AF1 F2 ?

AF2 F1 F2

?

yA 2c

?

yA 2 1 ? b2

?

3 3

b4 1 2 ? b2 ? ? 2 4 2 2 3 (舍去) 于是有 4(1 ? b ) 3 ? 3b ? 4b ? 4 ? 0 解得: b ? 2 或

?b ? 2

y??
故该双曲线的渐近线方程为

2 x ? ? 2x 1

30

高中数学讲义之解析几何

(2)当 b ? 3 时,双曲线的方程为 由 a ? 1 , b ? 3 ,得 c ?
2 2

x2 ?

y2 ?1 3

a2 ? b2 ? 1 ? 3 ? 2

? F1 (?2,0) , F2 (2,0)
又?直线 l 的斜率存在,不妨设为 k 则由直线 l 过点 F2 (2,0) 可知,直线 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) ,即 y ? k ( x ? 2)

x2 ?
双曲线

y2 ?1 2 2 3 的方程可化为 3x ? y ? 3 ? 0

设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )

联立

?3 x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 ? ? y ? k ( x ? 2)
2

,得 (3 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 3) ? 0
2 2 2 2

显然 k ? 3

? 4k 2 4k 2 x ? x ? ? ? ? ? 1 2 3? k2 k2 ?3 ? 2 2 ? x1 x2 ? ? (4k ? 3) ? 4k ? 3 ? 3? k2 k2 ?3 由韦达定理,有 ?
又 ( F1 A ? F1 B ) ? AB ? 0 而 F1 A ? ( x1 ? 2, y1 ) , F1 B ? ( x2 ? 2, y2 ) , AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

?( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? 0 ? ( x2 ? x1 ? 4)(x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 0

? x2 ? x1 ? 4( x2 ? x1 ) ? y2 ? y1 ? 0 ( ? )
又? y2 ? 3x2 ? 3 , y1 ? 3x1 ? 3
2 2 2 2

2

2

2

2

?由( ? )式有, x2 ? x1 ? 4( x2 ? x1 ) ? 3( x2 ? x1 ) ? 0
2 ? 4( x2 ? x12 ) ? 4( x2 ? x1 ) ? 0 ? ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 1) ? 0

2

2

2

2

而 x1 ? x2

31

高中数学讲义之解析几何

? x1 ? x2 ? ?1
3 15 4k 2 3 k ?? ?? ? ?1 k2 ? 2 2 2 5 5 5 , 解得: ? 4k ? 3 ? k ,即 于是有 k ? 3

15 15 ? 5 故直线 l 的斜率为 5 或

【双曲线中常用的几种数学思想方法】 一、数形结合思想

11 x2 y2 ? ?1 A( ,3) 2 1. 已知 为一定点,F 为双曲线 9 27 的右焦点,M 在双曲线的右支上移动,
AM ?
则当

1 MF 2 最小时,点 M 的坐标是__________.

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 解:在双曲线 9 27 中, a ? 9, b ? 27, c ? a ? b ? 9 ? 27 ? 36

?a ? 3, b ? 3 3, c ? 6
e?
其离心率

c 6 a2 9 3 x? ? ? ? ?2 c 6 2 a 3 ,右准线 l :

过点 M 作 MP ? l 于点 P

MF
则由双曲线的第二定义知,

MP

? e ? 2 ? MF ? 2 MP

AM ?
于是

1 1 MF ? AM ? ? 2 MP ? AM ? MP ? AP 2 2 ,当且仅当 A 、M 、 P 三点共
1 ? ? 1 AM ? MF ? ? AP MF ? 2 ? min 2 最小,且 ? .

AM ?
线时,

由 A 、 M 、 P 三点共线有, yM ? y A ? 3

x2 y2 y 9 4 2 ? ?1 xM ? 9(1 ? M ) ? 9(1 ? ) ? 9 ? ? 12 27 27 3 把 yM ? 3 代入双曲线方程 9 27 中,得
于是 xM ? 2 3 或 xM ? ?2 3 (舍去)
32

2

高中数学讲义之解析几何

故点 M 的坐标为 (2 3,3)

二、对称思想 2. 若曲线 x ? y ? a 与曲线 ( x ? 1) ? y ? 1恰有三个交点,则实数 a 的值为__________.
2 2 2 2 2

解: (法一)由于变量 a 在两个方程中都以平方的形式出现,因此若 个交点,则

P( x0 , y0 ) 是两曲线的一

P?( x0 ,? y0 ) 也是它们的一个交点. y0 ? ? y0 ,

这表明,一般情况下,这两个曲线的交点个数不可能有三个(奇数个) ,除非有 即 把 把

y0 ? 0 . y0 ? 0 代入 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1中,得 x0 ? 0 或 x0 ? 2 x0 ? 0 或 x0 ? 2 , y0 ? 0 代入 x 2 ? y 2 ? a 2 中,得 a2 ? 0 或 a2 ? 4 ,即 a ? 0 或 a ? ?2

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 4 若 a ? ?2 ,则两曲线分别为 x ? y ? 4 ,即 4 和 ( x ? 1) ? y ? 1,显然它们有
且只有一个交点,不满足题意。 若 a ? 0 ,则两曲线分别为 x ? y ? 0 ,即 y ? ? x 和 ( x ? 1) ? y ? 1,显然它们有三个交
2 2 2 2

点,满足题意。 故a ?0

? x2 ? y2 ? a2 ? 2 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 (法二)联立 ? 得, 2x ? 2x ? a ? 0

x?
解得:

? (?2) ? (?2) 2 ? 4 ? 2 ? (?a 2 ) 2 ? 4 ? 8a 2 1 ? 1 ? 2a 2 ? ? 2? 2 4 2

?x ? 1 ? x ? 1 ?x ? 0 ? ? ? y ? 1或 ? y ? ?1 或 ? y ? 0 (ⅰ)当 a ? 0 时, ?
即此时两曲线恰有三个不同的交点 (1,1) , (1,?1) , (0,0) ,满足题意. (ⅱ)当 a ? 0 时,两曲线交点的个数情况如下: 若 ? 2 ? a ? 2 ,两曲线有两个交点;

33

高中数学讲义之解析几何

若 a ? ?2 ,两曲线有且只有一个交点; 若 a ? ?2 或 a ? 2 ,两曲线无交点. 以上情况,均不符合题意. 故a ?0

注:当 a ? 0 时,曲线 x ? y ? a ,即为 x ? y ? 0 ,亦即直线 y ? ? x . 数形结合可见,
2 2 2 2 2

此时它与曲线 ( x ? 1) ? y ? 1, 即圆心为 (1,0) , 半径为 1 的圆恰有三个交点; 而当 a ? 0 时,
2 2
1 (?a,0) ,A2 (a,0) 的双曲线, 曲线 x ? y ? a 为左、 右顶点分别为 A 同样由数形结合可见,

2

2

2

它与圆心为 (1,0) , 半径为 1 的圆 ( x ? 1) ? y ? 1的交点个数根据参数 a 取值的不同而不同。
2 2

三、分类讨论思想

x2 y2 ? ?1 3. 判断方程 9 ? k k ? 3 所表示的曲线. x2 y2 ? ?1 解:由于方程 9 ? k k ? 3 中含有未知参数 k ,因此对于其所表示的曲线,需要分情况
进行讨论。具体如下:

x2 y2 ? ?1 2 2 3 (ⅰ)当 9 ? k ? k ? 3 ,即 k ? 6 时,原方程可化为 3 ,即 x ? y ? 3
此时原方程表示圆心在坐标原点,半径为 3 的圆。

(ⅱ)当 圆。

? 9?k ? 0 ? ? k ?3 ? 0 ?9 ? k ? k ? 3 ?

,即 3 ? k ? 6 时,原方程表示中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭

(ⅲ)当 圆。

? 9?k ? 0 ? ? k ?3 ? 0 ?9 ? k ? k ? 3 ?

,即 6 ? k ? 9 时,原方程表示中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的椭

34

高中数学讲义之解析几何

?9 ? k ? 0 ? k ? 3 ? 0 ,即 k ? 3 时,原方程表示中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线。 (ⅳ)当 ? ?9 ? k ? 0 ? k ? 3 ? 0 ,即 k ? 9 时,原方程表示中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线。 (ⅴ)当 ?

四、转化思想

B 两点, 4. 已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1交于 A 、 则当 a =__________时, 以 AB
2 2

为直径的圆过坐标原点? 解:设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )

联立

?3 x 2 ? y 2 ? 1 ? ? y ? ax ? 1

,得 (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0
2 2 2 2 2 2 2

2 由题设条件,有 3 ? a ? 0 ①,? ? (?2a) ? 4(3 ? a )(?2) ? 4a ? 24 ? 8a ? ?4a ? 24 ? 0 ②

由韦达定理,有

x1 ? x2 ? ?

? 2a 2a ?2 ? x1 x2 ? 2 2 3? a 3? a , 3 ? a2

又?以线段 AB 为直径的圆过坐标原点

?OA ? OB ? OA? OB ? 0
而 OA ? ( x1 , y1 ) , OB ? ( x2 , y2 )

? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ( ? )
y1 y 2 ? ( ax1 ? 1)( ax 2 ? 1) ? a 2 x1 x2 ? a ( x1 ? x2 ) ? 1 ? a 2 ? ?2 2a ? 2a 2 ? 2a 2 ? 3 ? a 2 ? a ? ? 1 ? ?1 3 ? a2 3 ? a2 3 ? a2



?2 ? 2 ? 3 ? a2 1? a2 ? 1 ? 0 ? ? ?0 2 3 ? a2 3 ? a2 ?由( ? )式,有 3 ? a
2 ?1 ? a ? 0

解得: a ? ?1

满足①、②

故当 a ? ?1 时,以 AB 为直径的圆过坐标原点.

五、函数与方程思想

35

高中数学讲义之解析几何

B 两点, 5. 已知直线 l1 :y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的左支交于 A 、 直线 l2 过点 P(?2,0)
2 2

和线段 AB 的中点 M ,则直线 l2 在 y 轴上的截距 b 的取值范围是__________. 解:设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )

联立

?x2 ? y 2 ? 1 ? ? y ? kx ? 1

,得 (1 ? k ) x ? 2kx ? 2 ? 0 ( x ? ?1 )
2 2

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 2 ?? ? (?2k ) ? 4(1 ? k )(?2) ? ?4k ? 8 ? 0 ? ? 2k 2k ?1? k ? 2 ? x1 ? x2 ? ? ? ?0 2 1? k 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ? ?0 ? 1? k 2 由题设条件及韦达定理,有 ?


M ( x0 , y0 )

2k 2 x ?x k x0 ? 1 2 ? 1 ? k ? 2 2 1? k 2 , 则由点 M 是线段 AB 的中点,有
y ? y2 (kx1 ? 1) ? (kx 2 ? 1) k ( x1 ? x2 ) ? 2 y0 ? 1 ? ? ? 2 2 2 k? 2k ?2 2k 2 ? 2 ? 2k 2 2 1 1? k 2 ? ? ? 2 2(1 ? k 2 ) 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2

由直线 l2 过点 P(?2,0) 、

M ( x0 , y0 ) 可知,直线 l2 的方程为

y ?0 ?

y0 ? 0 y0 y0 [ x ? (?2)] ? ( x ? 2) y? ( x ? 2) x0 ? (?2) x0 ? 2 x ? 2 0 ,即 y0 y 2 y0 ( x ? 2) b ? 0 (0 ? 2) ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 中, 令x?0, 则直线 l2 在 y 轴上的截距

y?
在方程

1 2 2 1? k 2 ? ? ? 2 2 k ? 2 k ? 2(1 ? k ) ? 2k ? k ? 2 2 1? k 2?
令 f (k ) ? ?2k ? k ? 2 , k ? 1, 2
2

?

?

k??
其对称轴为

1 1 ? 2 ( ?2 ) 4

?函数 f (k ) 在 1, 2 上单调递减

? ?

36

高中数学讲义之解析几何

于是对任意的 k ? 1, 2 ,都有 f ( 2 ) ? f (k ) ? f (1) 而 f ( 2 ) ? ?4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 , f (1) ? ?2 ? 1 ? 2 ? 1

?

?

? 2 ? 2 ? f (k ) ? 1
又 f (k ) ? 0

? 2 ? 2 ? f (k ) ? 0 或 0 ? f (k ) ? 1
1 ? f (k ) 1 2?2 ? ? 2 ? 2 ( 2 ? 2)( 2 ? 2) 2?2 ?2
1 ?1 f ( k ) 或

于是

?b ?

2 1 2 ?2 2 1 ? 2? ? 2 ?1 ? 2 ? 2? ? 2? ? ? 2 ?2 b ? f (k ) f (k ) f (k ) f (k ) ?2 或

故直线 l2 在 y 轴上的截距 b 的取值范围是 (??,? 2 ? 2) ? ?2,???

37


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