【新】2019高中数学课后提升训练一分类加法计数原理与分步乘法计数原理..新人教A选修337

课后提升训练 一

分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用
(45 分钟 70 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2017·济南高二检测)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则 不同的选法种数为 ( A.3 B.6 ) C.9 D.12

【解析】选 C.分两步,第 1 步:甲从红、白、蓝 3 种颜色运动服中选 1 种,有 3 种选法. 第 2 步,乙从红、白、蓝 3 种运动服中选 1 种,也有 3 种选法,所以不同的 选法种数为 3×3=9(种). 2.从甲地到乙地,每天有直达汽车 4 班.从甲地到丙地,每天有 5 个班车,从丙地到乙地,每天有 3 个班车,则 从甲地到乙地不同的乘车方法有 ( A.12 种 B.19 种 ) C.32 种 D.60 种

【解析】选 B.从甲地到乙地乘车的方案可分为两类, 第 1 类,从甲地直达乙地有 4 种方法; 第 2 类,从甲地到丙地,再从丙地到乙地,共有 5×3=15 种方法,所以共有 4+15=19 种方法. 3.(2017·承德高二检测)某乒乓球队里有男队员 6 人,女队员 5 人,从中选取男、女队员各一人组成混合双 打队,不同的组队总数有 ( A.11 种 C.5 种
6

) B.30 种 D.6 种
5

【解析】选 B.先选 1 男有 6 种方法,再选 1 女有 5 种方法,故共有 6×5=30 种不同的组队方法. 4.某班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的种数为 ( A.50 B.26 C.24 D.616 )

【解析】选 A.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为 N=26+24=50(种). 5.(2017·广东高二检测)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( A.20 条 C.12 条 B.15 条 D.10 条 )

【解析】选 D.由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任 何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有 2 条.所以正五棱柱对角线的条数共有 2×5=10 条. 6.(2017·阜阳高二检测)若从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,作为直线 ax+by=0 的系数,则该直线方 程表示的不同直线的条数为 ( )
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A.16 C.10

B.1 2 D.8

【解析】选 C.第一步取 a 的值,有 4 种取法; 第二步取 b 的值,有 3 种取法. 其中当 a=1,b=2 时,与 a=2,b=4 时是相同的,当 a=2,b=1 时,与 a=4,b=2 时是相同的,故共有 4×3-2=10(条) 不同的直线. 【延伸探究】若将条件“{1,2,3,4 }”变为“{0,1,2,3,4}”,该直线方程表示的不同直线的条数如何? 【解析】按 a,b 是否为 0 进行分类: 第一类:a 或 b 中有一个为 0 时,方程表示不同的直线为 x=0 或 y=0,共 2 条. 第二类:a,b 中都不取 0 时,取 a 的值,有 4 种取法,取 b 的值,有 3 种取法,共有 4×3=12 条.但是,当 a=1,b=2 时,与 a=2,b=4 时是相同的,当 a=2,b=1 时,与 a=4,b=2 时是相同的. 综上所述,故共有 2+4×3-2=12(条)不同的直线. 7.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面个数为 ( A.40 B.16 C.13 D.10 )

【解析】 选 C.分两类:第一类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面;第二类,直线 b 分 别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面.由分类加法计数原理知,共可以确定 8+5=13(个)不同的平 面. 8.现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同 学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数 是 A.5
6

(

) B.6
5

C.

D.6×5×4×3×2
6

【解析】选 A.每位同学都有 5 种选择,共有 5×5×5×5×5×5=5 (种)选法.

二、填空 题(每小题 5 分,共 10 分) 9.(2017·青岛高二检测)从-1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)=ax +bx+c 的各项的系数, 可 组成不同的二次函数共有________个,其中不同的偶函数共有_ _________个.(用数字作答) 【解析】组成不同的二次函数分三步. 第 1 步:确定 a 的值,a 可以从-1,1,2 三个数中选一个,有 3 种选法. 第 2 步:确定 b 的值,b 可以从 a 选中的剩余 的三个数中选一个,有 3 种选法.
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第 3 步:确定 c 的值,c 从剩余的两个数中选一个,有 2 种选法. 所以共有:3×3×2=18(个). f(x)若是偶函数则必须有 a≠0,b=0 所以共有:3×2=6(个). 答案:18 6 10.同室四人各写一张贺卡 ,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡 ,则四张贺卡的不同的分配 方式有________种. 【解析】设 4 人为甲、乙、丙、丁,分步进行: 第一步,让甲拿 ,有三种方法; 第二步,让甲拿到的卡片上写的人去拿,有三种方法,剩余两人只有一种拿法,所以共有 3×3×1×1=9(种) 不同的分配方式. 答案:9 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 11.有 3 个不同的负数、5 个不同的正数,从中任取 2 个数,使它们的积为正数,问:有多少种不同的取法? 【解析】根据题意,知积为正数的情况分为两类. 第一类是 2 个数都是负数,分两步取数: 第一步,先从 3 个负数中任取 1 个负数,有 3 种不同的取法; 第二步,从剩下的 2 个负数中任取 1 个负数,有 2 种不同的取法,故有 3×2=6(种)不同的取法. 第二类是 2 个数都是正数,也分两 步取数; 第一步,先从 5 个正数中任取 1 个正数,有 5 种不同的取法; 第二步,从剩下的 4 个正数中任取 1 个正数,有 4 种不同的取法,故有 5×4=20(种)不同的取法. 综上所述,不同取法的种数为 6+20=26(种). 12.集合 A={a,b,c,d},B={1,2,3,4,5}. (1)从集合 A 到集合 B 可以建立多少个不同的映射? (2)从集合 A 到集合 B 的映射中,若要求集合 A 中的不同元素在 B 中对应的元素不同,这样的映射有多少个? 【解析】(1)由映射的定义和分步乘法计数原理知,安排元素 a 的有 5 种方法,同理安排元素 b,c,d 各有 5 种方法,故共有 5×5×5×5=5 =625(个)不同的映射. (2)由题意,第一步安排第一个元素有 5 种方法,第二步安排第二个元素有 4 种方法,以此类推,共有 5×4×3 ×2=120(个)不同的映射. 【能力挑战题】
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方程 ay=b x +c 中的 a,b,c∈{-2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛 物线共有多少条?

2 2

【解析】方程 ay=b x +c 变形得 x =

2 2

2

y-

,若表示抛物线,则 a≠0,b ≠0,所以,分 b=-2,1,2,3 四种情况:

(1)若 b=-2,

即 x = y,x = y- ,x = y- ;

2

2

2

x = y,x = y- ,x = y- ;

2

2

2

x = y,x = y- ,x = y- .

2

2

2

(2)若 b=2,

即 x =- y,x =- y- ,x =- y- ;

2

2

2

x = y+ ,x = y,x2= y- ;

2

2

x = x+ ,x = y,x = y- ; 以 上两种情况下有 4 条重复,故共有 9+5=14 条; 同理,若 b=1,共有 9 条;若 b=3,共有 9 条. 综上,共有 14+9+9=32 条.欢迎下载!

2

2

2

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